книги из ГПНТБ / Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра
.pdfпостроения такой теории операционного исчисления, в рамках которой любая аналитическая функция может рассматриваться как функцияизображение.
Вопросы восстановления оригинала по изображению исследовались, многими авторами: например, Екартом6, Пиконе6, Трикоми [214, 215], Уиддером [224], Шохатом [208].
Практическая ценность рядов Лагерра состоит в том, что соответст вующая рядам Лагерра аппроксимация изображения степенным рядом может быть заменена аппроксимацией интерполяционными полиномами с узлами интерполирования, являющимися корнями IV-й степени из еди ницы. Достаточно полная теория аппроксимации функций, аналитиче ских внутри единичного круга, интерполяционными полиномами с узла ми, являющимися корнями N-й степени из единицы, изложена в рабо тах [33, 106].
Благодаря этому родству двух вариантов аппроксимации изображе ния появляется возможность использовать в решении задачи обращения посредством рядов Лагерра идеи и методы практического гармоническо го анализа. В литературе, посвященной проблеме численного обращения преобразования Лапласа,.впервые на такую возможность указал К. Лан-
цош [70].
Бутрос [127] изучил возможности применения алгоритмов конечно го преобразования Фурье к задаче численного обращения посредством рядов Лагерра. Он также дал анализ влияния особых точек изображения на быстроту сходимости ряда Лагерра.
Впоследствии этой же идеей воспользовался Уикс [222] с той разни цей, что коэффициенты лагерровского разложения исчислялись им по формулам тригонометрического интерполирования с чебышевскими узла ми.
Достаточно полный обзор методов этого типа можно найти в настоя щей книге (Lfr-алгоритмы). Следует отметить, что здесь впервые для оценки вопросов сходимости и анализа точности представления оригина ла посредством рядов Лагерра использована связь между «дискретными» и «интегральными» коэффициентами лагерровских разложений.
Аналогичные исследования для тригонометрической интерполяции проведены в работе [68]. Легко заметить, что замена х = е~* отображает
полубесконечный промежуток |
[0 , оо] |
в отрезок |
[0, 1 ], |
и в этом случае |
|||
задача |
обращения |
может |
быть |
сведена |
к хаусдорфской |
проб |
|
леме |
моментов на |
конечном промежутке |
[0,1 ]. |
Хаусдорф |
[160] |
||
решает эту проблему посредством ортогональных рядов Лежандра. В ча стности, он же указывает на тесную связь проблемы моментов с задачей интерполирования аналитических функций дробно-рациональными функ циями. Эта мысль получила свое развитие в работе [162], в которой ана лизируются классы оригиналов, изображения которых принадлежат классу Н2.
Вычислительные аспекты этой идеи в некоторых частных вариантах (разложение оригинала в ряд по многочленам Лежандра и в синус-, ко
синус-ряды по углам, кратным 0 /2, где sin 0 /2 = e ~ f 2 ) рассмотрены
Эрдейи [143]. Он изучал также взаимосвязь проблемы численного обра щения с проблемой интерполирования изображения дробно-рациональ ными функциями [141]. Этот подход дает возможность конструирования разнообразных формул численного обращения.
По идейному содержанию к работе [143] примыкают исследования Папулиса [183], цде описаны схемы вычислений коэффициентов разло жения оригинала в синус-ряд Фурье и в ряд по полиномам Лежандра,
6 Цитируется по [118].
140
а также В. М. Амербаева [1], которым рассмотрены алгоритмы разложе ния оригиналов в ряды по многочленам, ортогональным на отрезке [0, 1 ]
весом ы(х) (в частности, случаи Якоби, Лежандра, Чебышева). К этому циклу следует отнести работы Армстронга [116] и Мендела [177].
В*. В. Солодовниковым, А. Н. Дмитриевым, Н. Д. Егуповым [99] эти методы развиты применительно к задачам анализа и синтеза систем ав томатического управления. Ими показана высокая практическая цен ность методов разложения оригиналов в классические ортогональные ряды.
Практическое значение численного восстановления оригинала пос редством ортогональных рядов во многом определяется скоростью сходи
мости рядов. В этой связи представляет |
интерес работа [62], в ко |
торой формулируются некоторые критерии |
сходимости ортогональных |
рядов в терминах функции-изображения. |
|
Отметим, что метод разложения оригинала посредством ортогональ ных рядов в случае двумерного преобразования Лапласа был обсужден Бергером [122] и Р. Т. Джаембаевым [37].
Из ранних работ, посвященных проблеме обращения, необходимо также упомянуть исследование Бейтмена [118]. В отличие от предыду щих в ней аппроксимации ортогональными рядами подвергается не ори гинал, а само изображение. Это приводит к новым типам разложения оригиналов по семействам функций, отличных от классических ортого нальных функций и вместе с тем сохраняющих некоторые свойства ортогональных функций. Этот подход использован в данной книге при раз работке БГЛ-алгоритма, а также в других [14, 17, 19]. Кроме того, сле дует указать на работы П. И. Кузнецова [66, 67], широко использующе
го функции Ломмеля двух переменных в качестве аппарата восстановле ния оригиналов, соответствующих специальному классу изображений.
В. М. Амербаев [4, 7] рассматривал общие принципы разложения оригиналов в ряды Неймана. Им, в частности, получены новые функци ональные соотношения, представляющие независимый интерес для тео рии рядов Неймана.
Несколько ранее ряды Неймана по функциям Бесселя с целыми ин
дексами использовал Кэмби [130] в качестве аппарата численного обра щения преобразования Лапласа.
Г л а в а 6
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЯДЕР УРАВНЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
Рассмотрим уравнение восстановления t
U(t) + X § K ( t — х)U(x)dx = f(t).
О
Представляет интерес изучение следующего вопроса: ука зать приемы построения таких ядер K(t—т), для которых резольвента R(t—г) выражается посредством той же функ
ции, что и само ядро.
Примером такого ядра может служить функция Работнова7
00
э.(M )= t-2 Г[.('+1Д ■ <о<«<1). |
а) |
|
71=0 |
|
|
Для такого ядра справедливо свойство: если |
|
|
г7(0 + ц Jt |
Э« (A, t—x)U(x)dx = f(t), |
|
0 |
|
|
t |
|
|
то U(t) = f(t)—ц JiJa (К, |
t —x)f(x)dx, где Ra( l , t —т) = Эа(^+ [х» |
|
О |
|
|
t —т).
Следует отметить, что на поведение ядра K(t—т) могут налагаться некоторые дополнительные ограничения. Так, в наследственной теории упругости ядра K(t—т) достаточно хорошо описываются функциями вида
7 Если функцию (2, 3. 2) обозначим через Эа (X, f), то функция (1)
связана сЭ а (X, t) соотношением Эа (X, 4)= Э1_ а(Х, t).
142
K(t—т)= A(t—x) aexp[—(it—x)i_K] — ядро Вронского,
K(t—x)=A(t—x)~“exp[— —x)] — ядро Ржаницына.
Поведение функции Работнова качественно близко к по ведению ядер указанного типа. Вместе с тем, как отмеча лось выше, достоинством этой функции является то, что резольвента ядра, представленного функцией Работнова, также выражается через функцию Работнова. Это свойство явилось причиной большой популярности функции Работ нова в прикладных задачах наследственной теории упру гости.
В настоящей главе методами операционного исчисления (главным образом методами разложения) изучаются неко торые новые свойства функции Работнова, а также приво дится общий принцип конструирования функций, обладаю щих важнейшими функциональными свойствами функции Работнова. Рассмотрены частные реализации этого принци па. Уравнение восстановления ниже интерпретируется в основном в терминах наследственной теории упругости. Так, ядро этого уравнения называется ядром последействия, а резольвента этого ядра — ядром релаксации.
§1. О представлении функции Работнова
взамкнутой форме
Изучению свойств функции Работнова и построению различных аппроксимаций для нее посвящены работы [10, 18, 24, 85, 86, 88]; исследование ее асимптотических
t
свойств, а также функции Эя (Я, x)dx проведено в работе
0
[18].
Ниже изучается вопрос о представлении рассматривае мой функции в замкнутой форме, удобной для решения за дач табулирования. Под термином «замкнутая форма» по нимается такое представление функции Работнова, которое обеспечивает возможность применения более эффективных способов вычисления значений функции, чем простое сум мирование медленно сходящегося ряда (1.1). Очевидно, что для упрощения задачи табулирования функции Работнова требуется выделить имеющуюся особенность в точке t = 0, иначе говоря, представить функцию Эа (Я., t ) в виде суммы Э« (Я, t) = фа (Я, г) + Фа(Я, it), где Фа (Я, t ) — замкнутая форма суммы слабо сходящихся компонент ряда (2.3.2), причем
143
фа (X, 0) = 0, а другое слагаемое qv(A, t) — конечная часть выделенной особенности функции Работнова в точке (= 0 и имеет форму, удобную для вычислений.
Отметим некоторые ограничения, налагаемые на пара метры а и А функции Эа (А,, £), представленной рядом
|
\п +ап |
(6.1.1) |
|
0 < а < 1. |
|
|
71=0 |
|
1. |
При пользовании различного рода таблицами функ |
|
ций, содержащих много параметров, известное неудобство представляет наличие большого числа входов в таблицу. Ясно, что выписывание параметра А независимо от основ ного аргумента t в ряде (1) диктуется как соображениями компактности записи, так и некоторыми функциональными
свойствами функцииЭа (Я, £). |
|
Я = | Я | signA |
|
Однако, так как при любом вещественном |
|||
справедливо равенство |
|
|
|
Эа (A, t) = I А| |
l—i |
_i_ |
(6.1.2) |
* Эа (signA, | А| а £), |
|||
то анализу достаточно |
подвергнуть |
лишь |
функции |
Эа ( + 1, t) |
и Эа (—1, £), чем мы и воспользуемся в этой главе. |
|
2. Будем считать, что индекс а принимает рациональные |
||
значения |
( а = — , где 0 < — < 1 и т и п — вообще говоря, |
|
|
71 |
71 |
взаимно простые числа).
Остановимся вначале на интегральном функции Работнова.
Случай Я = + 1 .
Имеем Э* (+ 1, t) •*- m/ |
. |
ПР
Так как
— |
м 71““Х/ ^ »^ ^ |
^ »_ |
|
И |
* = 0 4-7' “ г2= 0 т |
||
|
|
п— 1 |
, ч , mk |
p m (N+ Un) |
г г ~, 20 |
\№Р I . |
|
то |
|
|
|
|
п — 1 |
N |
|
Э т (1, £)= 22
*= 0 г - 0
представлении
+
J
144
л—1 |
|
|
|
|
|
- t ) |
|
|
|
|
|
э т(1, х) dx. |
||
+2 Г [mN + m(k + 1)/л] j V |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m l f + m ( k ± l ) _ 1 |
|
|||||
А=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, при N = О имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
п—1 |
m (k + l) |
|
|
|
|
|||
|
|
Эт (1, t) — ~ |
'S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.1.3) |
, |
Л — 1 |
|
1 |
|
(* |
|
У*П!Ч |
|
|
|
|
|||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
2d г I |
т (А + 1)1 |
] V — *) |
в |
|
Bm{l,x)dx. |
||||||||
|
*“ ° |
[ |
л |
Jo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай |
л = —1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем Эт (—1, f)-*- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Р т >п + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как при «-четном |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
»—* |
, „ |
, т(*+1) |
ЛГ , _ |
|
|
||||||
|
4 - 2 |
H |
) * |
7 |
r 2 |
|
7 |
' |
+ |
|||||
|
|
|
|
*=0 |
|
|
|
|
|
г—0 |
|
|
||
|
I 1 |
\тя |
|
1 |
^ |
|
|
|
/1 |
-,™<*+1> |
||||
|
+ |
т |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
/ |
|
" |
, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хг |
|
ш(ft+1) . |
|
|
|
||||
|
|
|
Л — 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
К |
|
— —— + т г —1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
» |
|
|
|
|
|
Э т ( |
1» 0 = 2 ( ~ 1 ) 4 2 И-(¥+-)] + |
|||||||||||||
У |
|
( - D * |
|
г |
|
m (ft+ l) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
v--------- - +7rciV-*l |
9m(l,^)dx |
||||||||||
+ £ г [ „ |
( i t ! + „ ) ] ] < * |
|
") |
* |
|
|
|
|||||||
и в частности, при 2V= О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
п—1 |
|
|
t |
m(k+1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
Э » ( - 1, й - |
4 |
2 ( - » * |
-г^< *+ я'1 |
+ |
(6.1.4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
& |
|
г (— s - ^ J |
|
|
|
||||
1 0 - 5
145
”v |
- |
|
( - 1 ) " |
C |
mUt+1) —^ |
|
|
|
( - Ц * |
j (f |
*0 * |
3m(l,t)dT |
|
+ 2 j V [m(t+l) j |
||||||
2d v |
[ |
n |
|
|
|
|
ft=0 |
|
|
|
|||
Аналогично при и-нечетном получаем
э „ ( - 1 , t ) = 2 ( - D * 2 |
t |
n |
+ В Г-1 |
+ |
||||||
В | Ш +Г |
||||||||||
|
|
|
* = 0 |
|
r = 0 |
|
||||
|
___(-1У\i+iV—1 |
|
|
|
|
|
|
|||
+ 2 |
^ * ± 1+ ^ ] I |
|
71 +* |
|
|
|||||
*=o |
Г [ |
\ n |
1 1 |
о |
|
|
|
|
|
|
и в частности при N = О |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n—3. |
„ |
"L * * ” |
|
||
|
|
Э r - 1 |
rt== J _ y |
<-»** |
" ■+ |
|
||||
|
|
3f ( h t ) |
* j " r p ^ ± i > ] + |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.1.5) |
|
|
^ |
(-1)*-1 |
* |
”»(*+!) |
|
|
|
|||
+ |
2 d |
V r » ( * + l ) l |
] (* — |
x) |
" |
Э щ ( — 1» T)d x - |
||||
|
* = “ |
[ n |
J o |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, как видно из формул (3)—(5), функция |
||||||||||
Работнова рационального индекса а = |
|
выражается через |
||||||||
ту же функцию целого индекса т.
В связи с этим представляет интерес рассмотреть свой ства функции Работнова целого индекса.
Покажем, что функция Эт (А, t) целого индекса выража
ется через элементарные функции. |
урав |
|||
Действительно, пусть га — первообразный корень |
||||
нения 2 т-—1 = 0. |
|
|
|
|
Тогда, суммируя по р ( О ^ т ^ р —1) следующие ряды |
|
|||
|
00 |
(xt)k = topxt exp (txmP), |
|
|
|
У. ~ |
|
||
получим |
к - 1 l w |
|
|
|
|
m —1 |
т —1 |
|
|
ce |
|
(6.1.6) |
||
2 |
"гШ |
2 |
фТк— xt 2 “'’expi^xt). |
|
к- 1 |
1 ' |
р - 0 |
г - 0 |
|
146
Так как
”^ ,1 |
[т, если й = О (mod т), |
|
> |
0)г*= | |
(6.1.7) |
г=о |
10, |
если й ^ О ( т о й т ), |
то равенство (6) преобразуется к виду
t ( r + l ) m — l |
п— 1 |
. . 1 — т о |
г - 0 Г[т(г+1)1 |
X" |
2 |
exp ((okxt). |
|
k=0 |
|
Выражение, стоящее в левой части этого равенства, есть функция Эт(хт , t) , поэтому окончательно имеем
у,I-
Эт (хт, t) = ■ ~ 2d со*ехр (wkxt), (6.1.8) k=0
|
|
2 % i |
|
|
где х произвольный параметр и со = ёт. |
для произвольного |
|||
Следствие 1. При я = + 1 |
получим |
|||
четного или нечетного т |
|
|
|
|
|
т—1 |
|
|
|
Эт(+1, t) = ~ |
^ |
й)*ехр (ta>k). |
(6.1.9) |
|
|
k—0 |
|
|
|
При х = —1, если т — нечетно, из |
равенства |
(8) имеем |
||
|
т —1 |
|
|
|
э т (—1, *) = -^- |
2 |
ш*ехР (—иок). |
(6.1.Ю) |
|
|
|
n i |
|
любого ш |
Следствие 2. Положим х=%—ёт, тогда для |
||||
(четного или нечетного) справедлива формула |
|
|||
|
77t—1 |
|
|
|
Это (—1, t) = — ± |
2XoJ*exp(fXo>*). |
(6.1.11) |
||
As—О
В целях дальнейшего изучения свойств функции Работнова целого индекса удобно ввести в рассмотрение функцию
то—1 |
' |
(2) = ~ 2 “^*ехр(2(В*), где СО= ей". fe—0
Функция (г) обладает следующими свойствами.
14Т
Свойство |
1. Эт фт, t) = |
|
|
|
|
||
При р= + 1 имеем Эт (1, f) = Zi(m)(0 и Р = —1 ( т — нечет |
|||||||
ное) Эл(—1, t) = h (mK— t). |
|
|
|
|
|||
Если |
|
Tzi |
любом |
т имеем |
э т (—1, f) = |
||
р==>„ = ёт, то при |
|||||||
= —W |
mHK t). |
,r„wm |
f 1, если 2V=0(mod/n), |
|
|||
_ |
.. |
_ |
|
||||
Свойство |
2. |
Z(®) (0) = |
[0, если 2V#0(modm). |
|
|||
|
|
|
N |
|
|||
Отсюда сразу следует, что |
|
|
|
||||
|
|
|
Э , ( + 1 , 0 ) - { ^ е с л и т ” 1’ |
|
|||
|
|
|
|
10, если гпф 1. |
|
||
Свойство 3. |
|
|
|
|
|
||
Справедливы следующие равенства |
|
||||||
|
1%Чг) |
7(2) / |
\ _ |
f chz, если 2V=0(mod2), |
|||
|
N |
jshz, если ZV^0(mod2), |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2iti ЛГ |
2ict |
4n i |
4tel |
|
1{$ з = -у ez-\-e 3 |
|
-f- e 3 + e 3 |
||||
или для функции Работнова целого индекса будем иметь
(ЭхЖ, t ) < = e *
19, ( - 1 |
, |
|
ГЭ2(+ 1, |
t) = s h t |
|
1Э2(—1, t) = sinf, |
||
э 3(+ 1 . 0 = |
— 4 ~ е~ Т cos( ^ r f — т ) |
|
Эз(-1,*) = 4-е~‘ + Т е1Гsin(*т *~ т)* |
||
Свойство 4. (z) = |
Z(™' (z), |
|
где r=ZV(mod/n), причем г — наименьший неотрицательный вычет числа ZV(modm). Это свойство следует непосредствен
но из равенства u>Nk=mrk, если r=2V(modwi). Из этого свойст
ва, в частности, следует, |
что Эт (1, Z)= Z(r'n) (Z), если г—1= |
sO(modm). |
Zlnm) (z). |
Свойство 5. Z(nm)((osz) = |
Действительно, с одной стороны, справедливо равенство
О) |
- m—1 |
8 |
|
Z<e">(o>sz) = |
o>(nfc+*>exp(«>ft+*z), |
иа |
А—О |
|
с другой стороны, при изменении k от 0 до т—1 последова тельность чисел S k, определяемых соотношением
S* = |
k + s (mod/n), |
— 1, |
|
|
пробегает полную |
систему |
наименьших |
неотрицательных |
|
вычетов, поэтому имеем |
|
|
|
|
т —1 |
|
т—1 |
2 |
«С* е х р (»% |
т г 2 |
|
(»•*■*)= i |
||
*=о |
|
*=о |
|
|
откуда и следует искомое равенство. |
|
|
||
Свойство 6. Производная |
s-ro порядка |
функции Z(nm) (г) |
||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
где r = n + s(modm).
Это равенство можно доказать следующим образом:
|
т —1 |
JP {1(пт) (2)} = |
2 ш(П+В)к ехр (со*г) = |
т —1
=— 2 шГ*еХР(w*2)= *rm1(2)-
т*=О
Вчастности, из этого свойства и равенств (7), (9)—(11) следует, что
d*-1 fr> . .. |
_ |
fl, если s =0(modm) |
|
dt*~1 |
m ’ |
*“‘° |
|о, если s #0(modm) |
и, наконец, для любого целого |
О |
||
dt*ds—1-1 {Эт ( - 1 , |
f))t-o = |
|
если s = 0 (modm), k — ■— |
|
если s^O(modTn). |
||
|
|
|
|
Свойство 7. Повторный интеграл s-ro порядка функции l^-) (xz) вычисляется по формуле
1 |
t |
т —A-f m r |
|
[ (t — r)s- 4 (nm>(xz)dx |
|||
( s - l ) ! |
г= 0 Г [ т —А + т я г] |
||
|
О |
149