книги из ГПНТБ / Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

Рассмотрим вначале вопрос об оценке приближения оригинала, получаемого .LJr-алгоритмами. Будем исходить из того, что ряд Лагерра (2.1) сходится абсолютно. Посколь­ ку функции Лагерра равномерно ограничены в совокупно­ сти |ср*(£)|==;1 (й= 0, 1 , 2 , ...), то последнее ограничение равносильно требованию

оо

Замечание. Из оценки (4) следует, что даже в случае равномерной и абсолютной сходимости ряда Лагерра оцен­ ку приближения функции f(t) рядом (2 .1 ) нельзя считать равномерной за счет присутствия множителя e'ff. Последнее требует известной осторожности при выборе параметра у. Во всех случаях задачи численного обращения преобразо­ вания Лапласа параметр у желательно выбирать ближе к абсциссе абсолютной сходимости у0 интеграла Лапласа. Вы­ бор больших значений параметра у, как правило, сужает интервал аппроксимации [0, Т] функции оригинала f(t). Для сравнения порядка сходимости Lfr-алгоритмов со схо­ димостью ряда Лагерра (2.1) оценим на максимум величину

JV—1

R n (Ltr, t/h) = e-ft f(t) — ^ aknyu (t/h). k—0

120

С этой целью воспользуемся тем, что

(5.4.5)

Следовательно, аппроксимация L^’-алгоритмами имеет тот же порядок малости, что и аппроксимация f{t) ортогональ­ ным рядом Лагерра.

то при достаточно быстром убывании коэффициентов а тве­ личина |fitjv I может служить численной характеристикой точности рассматриваемого приближения.

Заметим, что оценка (5) может быть несколько улучше­ на, если коэффициент о0 вычислить точно по формуле

<7 + -is>=«(o>-

Тогда

шах | R N (Ltr, t/h) | < | aN | + 2pjv-+i.

ОСКсо

Возможность вычислить точно коэффициент о0 имеет дру­ гую замечательную сторону.

Так как а0п — о0 = aN + агы + . . . ,

то с точностью до порядка малости коэффициента a 2n раз­ ность о0л—а0 определяет величину ан. Тем самым, во-пер­ вых, порядок малости разности а 0л —а0 может служить вспомогательным критерием достаточности числа интерполя­ ционных узлов N, обеспечивающих требуемую точность, во-

121

В этом свете следует отметить, что затраты, связанные с точным вычислением некоторого числа первых коэффи­ циентов ряда (2 .1 ) по формулам

а0= £ (0), a1 = g'(0), а2 = g"(0), . . .

оправдываются повышением степени уверенности правиль­ ности выбора числа узлов, обеспечивающих требуемую точ­ ность аппроксимации оригинала, о которой можно судить по порядку малости величин

Кроме того, вычисленные значения о0, а ь а2, ... позволяют несколько расширить расчетный лагеррсвский спектр за счет величин о, ® ® лг+2= ^глг ^2,...

Это качество может быть использовано для контрольных вычислений. Как уже отмечалось выше, сравнение оценок

(4) и (5) показывает, что аппроксимация искомого оригина­ ла посредством LZr-алгоритмов имеет тот же порядок мало­ сти, что и аппроксимация оригинала ортогональным рядом Лагерра. Следовательно, объем вычислений и точность ап­ проксимации существенно определяется скоростью убыва­ ния спектра Лагерра (т. е. скоростью затухания спектра Ла­ герра). Анализ скорости убывания коэффициентов ряда Лагерра в зависимости от дифференциальных свойств ори­ гинала выходит за рамки данной книги. Эти вопросы осве­ щаются в работе [93]. Вместе с тем то, что искомые коэф­ фициенты а* ряда (2 .1 ) являются коэффициентами тригоно­ метрических рядов функций р(0 ) и р(0 ):

указывает на возможность использования методов ускоре­ ния сходимости посредством выделения особенностей, прак­ тикуемого в гармоническом анализе.

Так, в предположении, что изображение F(p) не имеет особых точек в полуплоскости И е р ^ у за исключением быть может бесконечно удаленной точки, вопрос об улучшении сходимости ряда (2 .1 ) сводится к улучшению сходимости рядов (6) или (7) средствами гармонического анализа путем

122

учета поведения функций ц(0 ) и р(0 ) на границе интервала

Os^ 0 sCt.

Рассмотрим в общих чертах процедуру улучшения схо­ димости. Ограничимся классом изображений, для которых справедливы предельные теоремы:

lim pF (р) = f 0,

p - ^ - r ос

lim р (pF(p) — f 0) = f о, p-> + oo

lim p[p(pF(p) — f 0) — f ' 0l = f" o,

Посредством конформного отображения (2.5) от изобра­ жения (9) перейдем к функции

123

В предположении, что Rm+i (? + f+ i) имеет конечное

значение в точке 2 = —1 , функция gm(z) будет иметь в точке z = — 1 нуль-порядка не меньше, чем т.

Таким образом, функция gm{z) удовлетворяет условию: в точке 2 = — 1 она обращается в нуль вместе со своими производными до тп-порядка включительно.

Теперь остается преобразовать функцию gm(z) в функ­

цию gm(z), такую, чтобы были выполнены условия

Тогда искомая функция g m(z) принимает вид

ёт (2) ёт. (2) ri2m (2 ).

В соответствии с общими принципами гармонического

анализа коэффициенты ak разложения функций р(0 )=

= Reg (ег6), p(0) = lmg(ei6) в ряды типа (6) и (7) будут иметь порядок 0^ 5-) .

Обозначим через Gm(t) оригинал, отвечающий g m(z) и восстанавливаемый приближенно посредством ряда Лагерра, а через Н ?m(t) — оригинал, соответствующий многочлену ri2m(2), тогда искомая функция примет вид

f(f) — fo + fa* + f"o~2i— I- . • . + fom) + H ^Jt) -j- Gm(£).

Замечания 1. Если положить h — lliy, то выражение (10) несколько упростится.

2. Предельные соотношения (8), в частности, верны при любом тп, когда изображение F(p) аналитично в окрестно­ сти бесконечно удаленной точки.

124

Большие вычислительные трудности возникают, когда изображение F(p) имеет сложное поведение в окрестности бесконечно удаленной точки. (Например, бесконечно уда­ ленная точка является существенно особой точкой и даже быть может неизолированной).

Рассмотрим, как в таких случаях осуществить регуляризирующую процедуру, которая бы улучшила сходимость ряда Лагерра.

Пусть g(z) 6 Н2, и причем g{z) имеет на контуре | z | = 1

в точке z = — 1 существенно особую точку.

00

Имеем g(z)= ^ я*2*, ПРИ |z| < 1 .

k = 0

Пусть z = r егеи 0 < г < 1 , тогда ^(гег0)=рГ(0)+ ф Г(0), причем

где Ък (г) = акг*.

Отсюда искомые коэффициенты ak принимают вид аА= —jbk(r).

Коэффициенты bk(r) могут быть исчислены в соответ­ ствии с ££г-алгоритмами. Поскольку г < 1 , то множители

1 /г* с возрастанием k могут оказывать существенное влия­ ние на накапливание погрешностей округления.

В связи с этим рассмотрим предварительно вопрос о вы­ боре параметра г таким образом, чтобы избежать указан­ ного влияния на точность вычислений.

Пусть для вычисления дискретных коэффициентов Фурье

таким образом подобран параметр г, можно перейти к про­ цедурам ускорения сходимости рядов (11). С этой целью по­ строим многочлен

125

Ът (2) = (г + Г)т(«о + ®i« + • • • + amZm) +

+ (2 — r)m(Po + Pi2 + • • • + Pm2m),

вместе со своими производными до то-порядка включитель­

но в точках z = ± r , что обеспечивает для функции gm (г eih) скорость убывания коэффициентов рядов вида (1 1 ) (при изб-

ранном г) до порядка О

Если через г(5тЛ-(£) обозначить N-ую частичную сумму

Лагерра, отвечающую функции gm(z), а через — ориги­ нал, отвечающий функции Т12т (;г), то искомый оригинал бу­ дет приближенно восстанавливаться выражением Ст (?) -)-

+ tlBJV (*)•

Замечание. Приведенные алгоритмы ускорения сходимо­ сти рядов Лагерра являются аналогами улучшения сходи­ мости тригонометрических рядов, описанными в [55]. Они не зависят от того, как исчисляются коэффициенты ряда Ла­ герра (в соответствии с £?г-алгоритмами или по точным формулам (2.11)). В § 8 рассматривается еще один метод улучшения сходимости рядов Лагерра (аналог метода А. Н. Крылова [59]).

§ 5. Ш/г-алгоритмы

Возвращаясь к функции g{z) (2.6), заметим, что для вы­ числения коэффициентов ак степенного представления функ­ ции g(z) можно использовать чебышевские аппроксимации функции g(z) с узлами на действительной оси [—1 , + 1 ]. Этот подход порождает ряд алгоритмов, которые естествен­ но назвать Lth-алгоритмами.

Отметим, например, LThn — алгоритм. Функция g{z) аппроксимируется многочленом

126

где

п

мер, в [33].

Коэффициенты akn аппроксимируют коэффициенты ak

интерпретировать на языке тригонометрического интерпо­ лирования, то в случае слабой сходимости чебышевской ап­ проксимации целесообразно применять (в тех случаях, ког­ да это возможно) преобразование функции g{z) к функции

gm(z) для обеспечения ускорения сходимости.

С вычислительной точки зрения ЬТТг-алгоритмы облада­ ют преимуществом перед Lfr-алгоритмами в том смысле, что они используют значения функции g(z) в действитель­ ных узлах zk.

§ 6. Формула суммирования Пуассона и задача обращения

Рассмотрим аналог формулы суммирования Пуассона для одностороннего преобразования Лапласа. Соответствую­ щую модернизацию вывода формулы Пуассона можно полу­ чить, используя единичную функцию Хевисайда г|(£).

Пусть функция ср(7) абсолютно интегрируема на [0, оо) и

сходится равномерно.

Нетрудно убедиться, что u(t) функция периодическая с периодом I. Пусть далее Ф(р) изображение Лапласа функ­ ции <p(£)ri(f). Вычислим коэффициенты Фурье функции u,(t):

127

— 00

Таким образом, если ряд (1) сходится равномерно на [0, Z], а его сумма u{t) удовлетворяет условиям разложимо­ сти в ряд Фурье, то при O ^Z^Z имеет место равенство

Замечания 1. Из (2) следует справедливость формулы

(5.6.3)

при условии, что ряд в правой части равенства (3) сходится. Формула (3) представляет собой аналог формулы суммиро­ вания Пуассона для случая одностороннего преобразования Лапласа.

2. Полезно отметить, что ряд (1) при OsSjZs^Z представля­ ет собой решение разностного уравнения

O ^Z^Z в виде тригонометрического ряда

со

Используем формулу (2) для задачи численного восста­ новления оригинала fit), заданного изображения F(p).

Пусть уо — абсцисса абсолютной сходимости интеграла Лапласа от функции f(t).

Положим cp(Z)= e~^ f(t) (у>уо), тогда Ф (р)=Р(р+у).

Так как в этом случае |<p(Z+&Z)| —- 0(е~(т -т»)*,)»то ряд (1)

128

сходится равномерно на любом отрезке [О, Г ]. Равенство (2) соответственно принимает вид

k = -

В частности, если в разложении (6) положить t = 0, то полу­

чим так называемое z-изображение функции f(t): ^ ( 3) = 00

=^ n k ) z k. ft=0

Соответственно формула (7) связывает z-изображение функ-

00

на подинтервалы равной длины 2л/1 точками р k = y+ ik —

(fe=0, ± 1 , ± 2 , . ..) и применим к интегралу (8) формулу трапеций, тогда получим

Y+ioo