книги из ГПНТБ / Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

Оо

= ^(Р ).

110

Если здесь, в частности, положить Р„(д:)=const, то полу­ чим известную производящую функцию [93] для обобщен­ ных многочленов Лагерра:

Ill

разложения искомого оригинала в ряд (2 .1 0 ) наводит на вопрос: возможно ли для приближенного вычисления коэф­ фициентов ак ряда (2 .10 ) использовать методы тригономет­ рического интерполирования.

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, являю­ щаяся частным случаем одной более общей теоремы, изло­

и стремление к пределу равномерно на любом замкнутом множестве внутри контура С( |г | = 1).

Введем обозначение a>=e2lziln+1 и представим интерполя­ ционный многочлен L„(co, z) в форме Лагранжа:

л+1

L nК z)= 2 g 0°*) (zn+1 — !)/(» + 1) (z — “>*). A-l

Воспользуемся тем, что для g(z) QН2 выполнено:

112

Представим последний интеграл в форме предела интеграль­ ной суммы, образованной путем деления окружности С точ­

ками со *:

Тогда

lim \g{z) — L n(со, 2)] = Л-* 00

\u g (u )

ограничена по п и z, так как lim 2 d со*jr(coA)/(<0*—2)== 0J~^z:zи 2,du.

то при | г | г ^ г < 1 последовательность (2 n+1 —1 )/(п + 1 )(со—1 )

из единицы при п->-оо сходится равномерно к g(z) внутри круга |г | =R наибольшего радиуса (Д >1), где функция g\z)

' продолжает быть аналитичной [106].

Таким образом, если изображение F(p) удовлетворяет ограничению (2.9), то допустимы методы тригонометриче­

ского интерполирования для приближенного вычисления коэффициентов ak разложения (2 .1 0 ).

Ниже рассматривается частный случай, когда искомый оригинал является вещественной функцией. Тогда коэффи­ циенты а* разложения

являются также вещественными. Поэтому последнее разло­ жение эквивалентно разложению

00

В этом случае для приближенного вычисления коэффициен­ тов a k можно использовать алгоритмы интерполирования по косинусам и синусам кратных углов.

Введем обозначения

Из приведенной выше теоремы и методов тригонометри­ ческого интерполирования вытекают следующие алгорит­

мы.

Если изображение F(p) функции /(f) таково, что выпол­ нено условие (2.9), то для функции /(f) справедлива прибли­ женная формула

А= 0

где коэффициенты с „ исчисляются согласно следующим алгоритмам:

114

алгоритм Ltric

для приближенного вычисления коэффициентов о* можно воспользоваться алгоритмами интерполирования по сину­ сам.

Соответственно имеем: алгоритм Ltr\s

n

Совокупность алгоритмов численного обращения преобра­ зования Лапласа посредством рядов Лагерра с использова­ нием алгоритмов тригонометрического интерполирования в последующем будем называть Lfr-алгоритмами.

Погрешность Lfr-алгоритмов слагается из суммы по­ грешностей обрывания ортогонального ряда Лагерра и представления точных коэффициентов Фурье а* приближен­

ие

ными скп, вычисленными согласно формулам тригономет­ рического интерполирования. Оба типа погрешностей суще­ ственно зависят от быстроты убывания коэффициентов ак степенного ряда g(z). Остановимся на анализе погрешностей второго типа. С этой целью вновь вернемся к связи между «интегральными» коэффициентами о* и «дискретными» коэффициентами с к,п.

В таблице 2 характеризуется степень приближения ис­ численных коэффициентов скп к искомой величине ak при достаточно быстром убывании коэффициентов ак.

Из сравнения данных таблицы следует, что при доста­ точно быстром убывании коэффициентов ak предпочтение следует отдать чебышевским узлам.

Недостатком этих алгоритмов является неравноценность погрешностей приближения коэффициентов о, величинами osn с возрастанием индекса s. Поставим вопрос о сглажива­ нии указанного эффекта и повышении точности представ­ ления коэффициентов as.

С этой целью воспользуемся тем, что искомые коэффи­

т=0

116

Алгоритм Ltris:

причем

00

Из сравнения разложений (6) и (7) заключаем, что

5 = 1

т. e. среднеарифметическая величин с kn и d kn дает сущест­ венно лучшее приближение искомых коэффициентов а*, причем порядок точности приближения величин os улуч­ шается с возрастанием индекса s :

Более того, из разложений (6) и (7) следует, что полуразность величин скп и dhn, каждая из которых приближает величину ак, позволяет пролонгировать частичную сумму

(3) ряда Лагерра. Действительно,

Приведенный анализ показывает, что в случае, когда искомый оригинал является действительной функцией, ис­ пользование только косинус-ряда функции Reg(eib) или только синус-ряда функции Img(e'-°) ведет к потере инфор-

117

мац,ии относительно искомой функции /(f) и, следовательно, к потере точности представления /(f). Поскольку при вы­ числении значений любой из функций Reg1 ( е1Ь) или Img(ei6) неизбежно приходится использовать действительные и мни­ мые части значений функции F(p), вычисленных в соответ­ ствующих комплексных точках, то упомянутая выше поте­ ря информации ничем не оправдывается, ибо, как правило, наиболее трудоемкой частью является расчет значений F(p) в комплексных точках.

Подводя итог изложенному, приходим к следующим формулам численного обращения преобразования Лапласа.

Алгоритм Ltr\.

Здесь ckn и dkn коэффициенты, исчисляемые по схемам за­ дач fric и tviS соответственно.

Алгоритм Ыг2.

2п

/ ( f ) « g i * 2 a*ncp(f/ft),

Пол == Сол? П кп 2 (П/гл 4~ ^йл)> 1 ^ ^ ^ И ,

а к п — - |- (C 2 n - f - l- fc , л — ^ 2 п + 1 - * , л ), П + 1 < k < 2 П ,

причем

а *л= а А + а (2л41)+й + 02(2n-fl)+ft 4" • » •

118

алгоритм использует значение функции pF(p) в бесконечно

р=оо исключается из состава интерполяционных узлов.

§ 4. Оценка сходимости Lfr-алгоритмов

Относительно условий, достаточных для того, чтобы функция /(£), определенная на (0 , °о), разлагалась в сходя­ щийся ряд по многочленам Лагерра

Известна теорема [71]: пусть функция /(£) интегрируема

тогда ряд (1 ) сходится и его сумма равна /(£) в каждой

точке, где /(£) непрерывна, и равна -у [/(? + 0)-(-/(?—0)] в

тех точках, где она разрывна4. Нетрудно эту теорему пере­ фразировать для случая разложения в ряд по функциям Лагерра. Отсюда следует, что для широкого класса оригина­ лов /(£), интегралы Лапласа которых имеют абсциссу абсо­ лютной сходимости уо, сходимость ряда (2 .1 ) при у = уо+ е ( е > 0) обеспечена при некоторых ограничениях на возмож­ ные степенные особенности /(£) в окрестности точки £ = 0 .

Таким образом, аппарат теории рядов Лагерра может служить основой для решения проблемы обращения в ши­ роком классе оригиналов. С точки зрения вычислительных методов ограничения возникают в связи с оценкой скоро­ сти убывания коэффициентов ак разложения (2 .1 ).

Методы гармонического анализа в ряде случаев позво­ ляют не только эффективно организовать вычислительный процесс, но и эффективно преодолевать вычислительные трудности, связанные со слабой сходимостью рядов Ла­ герра.

4 Доказательство теоремы при более слабых ограничениях приводит­ ся в работе [93].

119