книги из ГПНТБ / Алексеев, А. М. Сетевые модели в перспективном планировании развития производства

ределить интервалы времени, на которых оптимальна некоторая постоянная технология (выполняется условие (1—24) и моменты перехода к новой технологии (условие I—25)). Выделение интер­ валов первого и второго типа осуществляется умножением функ­ ции z(T) на величину g ~ Te. Интервалы, на которых полученная функция постоянна, относятся к первому типу, интервалы строгого убывания — ко второму.

Важно отметить, что первая из рассмотренных ситуаций соот­ ветствует существующей практике планирования строительства, когда для единственного технологического плана, полученного на основании приближенных нормативных показателей, устанавли­ вается только срок начала строительства. Рассмотренный нами общий случай предусматривает также возможность использова­ ния всего допустимого срока строительства и выбора из всех воз­ можных оптималького варианта.

Вид полученной зависимости допускает новый, более широкий подход к выбору сроков и затрат строительства объекта с пози­ ций интересов отрасли (минимизация суммарных затрат) и позво­ ляет рассмотреть в новом свете существующие методы планиро­ вания развития отрасли.

Если известна потребность в продукте отрасли по годам, а так­ же предлагаемые объемы производства строящихся объектов и зависимости z(T) для каждого из них, то сроки ввода объекта вы­ бираются таким образом, чтобы спрос был удовлетворен, а сум­ марные приведенные во времени затраты по всем объектам были минимальными.

Пусть зависимость между затратами и допустимым сроком со­

с момента t\=0 .

где t — год планового периода, Ti — момент ввода объекта в дей­

30

ствие. Эта функция определяет выпуск продукции г-го объекта по годам. До окончания строительства (2\) выпуск продукции ра­ вен 0, а после ввода объекта в действие — а,-. Условие удовлетво­

i = l

Функционал отражает суммарные затраты на строительство

всех объектов:

т

2Zi(Ti) -v m in .

Вдискретной форме эта задача легко сводится к однопро­

которых совпадают с их левыми границами: так, отрезок [tj, t}+i] обозначается через t}. На каждом отрезке известна потребность b(tj)\ заданным считается возможный объем производства а, каж­ дого объекта в течение отрезка времени tj. Приведенная стои­ мость объекта есть функция от срока ввода объекта в действие Zi(Ti). Любой объект может быть введен в действие, начиная с ti и кончая годом to—1, поэтому варианты его развития записыва­ ются (t2 —1\—1) технологическими способами:

Q-i

Общее число вариантов развития по всем т объектам равно {t2 —t\—1) те. Каждому технологическому способу ставится в со­ ответствие xi (I’i) — интенсивность применения данного способа, где i — индекс объекта, 1\ — срок ввода в действие. На Xi(Ti) на­ ложены условия целочисленности

и однозначности

У XifT-iKl, i = l,m.

T ~ t t

Если столбцы матрицы технологических способов обозначить через А((Т{), а вектор потребности — В, то условие удовлетворе-. ния потребности запишется следующим образом:

Каждому технологическому способу соответствуют затраты по созданию объекта. Целевая функция выражается через введенные неизвестные Xi{U) с коэффициентами, равными затратам:

m 12—1

22 (?i) • Zi (Tt) -► min.

i-l Ti=it

Сформулированная задача относится к первой группе моде­ лей, описанных в § 1. Представление производственного объекта сетевым графиком позволило согласовать вариант развития по внутренним параметрам — по времени завершения отдельных эта­ пов в процессе создания предприятия — и найти оптимальное (для фиксированного срока ввода) значение приведенных во времени затрат. Однако это не исчерпывает проблемы внутренней согласо­ ванности варианта развития предприятия.

В конкретных условиях строительства и эксплуатации объек­ та существенным является факт ограниченности различного рода ресурсов: механизмов, спецоборудования, рабочей силы, раз­ меров строительной площадки и т. п. Если первое направление использования сетевых моделей заключается в учете внутренних ограничений по каждой работе (пределы продолжительности вы­ полнения, зависимость затрат от сроков), то второе направление принимает во внимание внешние, общие для всего объекта, огра­ ничения. Без этого способ функционирования недьзя считать реа­ лизуемым.

Напомним, что сетевой график — это не просто перечень работ и очередных этапов создания объекта. На каждой дуге графика можно задать нормативное и экспертное время выполнения, вид и объемы, используемых ресурсов. Расчеты на сети дают возмож­ ность концентрировать внимание на критических работах; остаю­ щимися степенями свободы для некритических работ можно вос­ пользоваться для оптимизации той или другой характеристики графика. Такими характеристиками могут быть равномерность загрузки механизмов, потребления ресурсов, освоения капиталь­ ных вложений.

Понятие критического пути изменяется с введением ограниче­ ний по необходимым ресурсам: мера критичности работ опреде­ ляется не только временными оценками, но и наличием соответ­ ствующих ресурсов в рассматриваемый момент времени.

Различают два типа ресурсов: складируемые (денежные ре­ сурсы, строительные материалы и пр.) и нескладируемые (тру­ довые ресурсы, механизмы и пр., объем которых не зависит от их использования и не накапливается). Для адекватности сетевой модели реальным условием функционирования производственного объекта необходимо принять во внимание многие независимые и комбинированные ограничения: приоритет подразделений произ­ водства, наличие рабочей силы по специальностям, мощности специализированных обслуживающих предприятий, возможности снабжения материалами и оборудованием. Важно обеспечить, что­ бы громоздкое оборудование не планировалось к использованию

32

в двух различных местах, чтобы бригады не мешали друг другу на ограниченной территории. Учет этих факторов без их выраже­ ния в стоимостной форме сводится к проблеме оптимального ис­ пользования нескладируемых ресурсов.

В сетевой постановке переменными такой задачи будут момен­ ты начала и продолжительности работ, интенсивности потребле­ ния учитываемых ресурсов. Ограничениями служат технологиче­ ские связи, указанные сетевым графиком, и технологические ог­ раничения на интенсивности и продолжительности выполнения работ. Строгая математическая постановка и отыскание точного оптимума подобной задачи связаны с большими трудностями. Да­ лее в наиболее простом случае, когда интенсивности (а потому и длительности) всех работ постоянны и единственными перемен­ ными остаются моменты начала работ, задачу не удается свести к форме, допускающей применение эффективных методов мате­ матического программирования.

В связи с этим все большее применение получают эвристиче­ ские методы решения подобных задач, которые, сочетая строгий расчет с интуицией, дают вполне удовлетворительные результа­ ты. В нашей стране созданы действующие программы такого ти­ па (Садовский, 1965; Коренблюм, 4965; Петрова, 1969).

Одним из авторов данной работы разработан алгоритм, поз­ воляющий (в отличие от упомянутых) учесть постоянство интен­ сивностей и непрерывность выполнения работ сетевого графика, распределить несколько видов ресурсов, провести корректировку (уплотнение) расписания (Крючков, 1969). Сущность алгоритма заключается в следующем.

Выделяется фронт работ Ф(к), подсчитываются резервы вре­ мени и вводится упорядочение работ, упрощающее алгоритм.

ли объем Z-ro ресурса окажется недостаточным, то все работы, на­ чатые на предыдущем интервале, сдвигаются па два интервала вперед. Затем обеспечиваются ресурсом критические работы фрон­ та. Если обеспечить их полностью (по максимальным интенсивно­ стям) не удается, то ресурс распределяют равномерно между максимально и минимально возможными нтенсивностями или на­ правляют нескольким первым работам списка CP(Zo) по минималь­ ным интенсивностям. Последними обеспечиваются ресурсом ра­ боты, имеющие резерв.

Алгоритмом предусматривается проверка эффективности ис­ пользования ресурсов. Если выбранные на предыдущем (to—1) шаге интенсивности оставляют недоиспользованные ресурсы на шаге to, то интенсивности пересматриваются.

После распределения ресурса Z рассматриваются работы, ис­ пользующие (Z-fl)-fi ресурс. К следующему (Z o +l)-M y фронту работ переходят после распределения всех I* ресурсов, отбора вновь начатых работ и их упорядочения, удобного для алгоритма.

Важность такого рода задач подтверждается тем фактом, что даже неоптимальное решение (эвристические алгоритмы обеспечивают лишь допустимость плана распределения ресурсов) дает на прак­ тике вполне удовлетворительные результаты.

Дальнейшее совершенствование связано с исследованием в единстве процесса распределения ограниченных ресурсов на сети с минимизацией «потерь от отвлечения средств в процессе строи­ тельства» (Авербах, 1968). В этом случае критерий оптимально­ сти имеет следующий вид:

где первая сумма учитывает прямые затраты, вторая — потери от отвлечения средств.

Здесь Сц — сметная стоимость;

Шц — интенсивность освоения средств в t-ю единицу вре­ мени;

TnV— длина критического пути.

Метод пригоден для фиксированных сметных стоимостей ра­ бот и основан на очевидном положении: при сдвиге сроков выпол­ нения работы вправо по оси времени затраты, приведенные к од­ ному моменту, убывают. При сопоставлении требования ограни­ ченности ресурсов и убывания затрат во времени приоритет отда­ ется первому: сдвиг работ производится в последнюю очередь при полном использовании имеющихся ресурсов.

На наш взгляд, учет фактора времени сетевой моделью возмо­ жен путем введения некоторой шкалы переменных во времепи оценок на все виды используемых ресурсов и производимой продук­ ции. Эти оценки, полученные, например, из статических отрас­ левых моделей, отражают во всей полноте факторы, определяющие условия производства (можно ввести в рассмотрение и обесценива­ ние затрат во времени посредством дисконтирования о. о. оценок). Таким образом, затраты на каждой работе могут быть рассчитаны в оценках по известным объемам используемых ресурсов:

то нетрудно определить сроки начала и завершения строительст­ ва объекта, период освоения, мощность и предлагаемый срок экс­ плуатации. Суммированием по всем работам графика, выполне­ ние которых приходится на момент t (фронт работ Ф (£)), можно установить соответствующие найденному расписанию размеры ка­ питальных вложений по годам, трудовых затрат, выпуска продук­ ции всех видов, т. е. подсчитать все показатели, составляющие

34

содержание способа функционирования объекта в производствен­ ной многономенклатурной модели отраслевого планирования. Бо­ лее того, изменением расписания работ графика и аналогичным суммированием потребляемых ресурсов и выпускаемой продукции можно сформулировать любой из возможных технологических спо­ собов развития. Все множество допустимых способов получает, таким образом, компактную и удобную для расчетов форму записи.

Естественной при этом является попытка нахождения из вы­ деленного множества оптимального плана развития отрасли. Сфор­ мировать и включить в отраслевую модель все возможные техно­ логические способы абсолютно нереально, общее количество ва­ риантов составляет астрономическое число. Единственным выхо­ дом может служить представление каждого объекта в отраслевой модели ограниченным числом вариантов развития и организа­ ция итеративной замены «представителей» вариантами, обеспечи­ вающими улучшение функционала. Как было показано выше, улучшение функционала отраслевой задачи возможно в связи с существованием некоторого «сверхрентабельного» в объективно обусловленных оценках способа функционирования объекта. Проб­ лема оптимизации в этом случае сводится к максимизации 10 рен­ табельности на сети. Задача приобретает следующую математи­ ческую форму.

Задан конечный ориентированный граф Г, не имеющий конту­ ров и отображающий процесс создания и функционирования

боты, tj — момент окончания.

Затраты Д по всем работам рассчитаны на основании объемов работ и шкалы оцеиок и, планового периода [Q, Г ].

Требуется определить такое расписание (моменты времени th), чтобы сумма затрат на весь комплекс работ была минимальной:

Z = 2

( U ) S G

Предлагаемый метод основан на использовании идей динамиче­ ского программирования. Рассмотрим его на примере вполне упо­ рядоченного графа:

В этом случае для каждого фиксированного значения парамет­ ра Г и заданной функции /;, г+ДД fi+i) с областью определения ti+\— 1 задача минимизации принимает следующий вид;

10 Излагаемый ниже алгоритм минимизации затрат на сети после из­ менения знака оцепок па противоположный пригоден для максимизации рентабельности.

Соотношение (1—28) позволяет последовательно, одну за другой находить функции Zk(ti, tk) (для к = 2, 3 ,..., п), а именно:

ной минимизации, причем моменты времени тк изменяются вмес-

11 В процессе минимизации rft может быть определено неоднозначно и тогда допустим выбор любого значения.

I,

36

те с изменением t\, th:

rh = (ph(tu tk)-

Введенные обозначения и выявленные зависимости позволяют для каждого фиксированного Т найти («ходом назад»), начиная с п— 1, моменты наступления каждого события. Значения 1\ и tn определяются по минимальному значению функции Z„(ti, tn). Возможно, что минимум Z (Т) достигается при нескольких наборах (f1, tn) тогда расписание выбирается из других соображений, на­ пример, минимальное по продолжительности (tn—1\), либо с наи­ более поздним моментом начала t\ и пр. Зная t\ и t„, остальные tt определяем следующим образом:

Отметим, что для нахождения наименьшего допустимого зна­ чения Т нужно известными методами найти критический путь из

шее значение по сравнению с другими путями, соединяющими вершины 1 и п.

Покажем, что получаемая в результате оптимизации функция

В самом деле, невозрастание функции затрат на выполнение про­ екта следует из возможности принять для Т2 прежнее расписание работ (оптимальное для Т 1), т. е., по крайней мере, сохранить прежние затраты.

Более строго найдем минимальные затраты при T=Ti, и пусть Z(T 1) достигается при t\, t2, .. ., tn так, что

= (i.J5eG^

Рассмотренная процедура оптимизации применима также для графа с параллельными путями. Схему исследования разберем применителхло к конкретному графу. Введем два множества вер­ шин: М\ — (2, 3, 4, 5}, Ми —{2, 6}. Процесс исследования выбран­ ного графа разбивается на ряд последовательных стадий, f

37

На первой стадии описанным выше методом исследования упо­ рядоченного графа определяется

^7^ai2 + max {(й23 + аз4+а45 + а57) ; (a26 + «67)} = а27;

£з— ^2^Й23; t\— h ^ a u ;

Ha второй стадии этим же методом определяется

Полученные функции имеют общую область определения. Про­ стым суммированием находятся затраты, необходимые для выпол­ нения комплекса работ, начинающихся с события 2 и оканчиваю­ щегося событием 7:

%27 (£2- £7) = ^27 (t2, £7) Jf ^2 7 (t2, t7).

Функция Z27 (t2, h) характеризует комплекс работ аналогично то­ му, как £ 2 7 (£2 , £7 ) некоторую работу (2,7). Воспользуемся этой аналогией и будем считать комплекс новой «сшитой» работой.

Следующий этап — оптимизация на упорядоченном графе

------- “~(z)-------“"(f)

Решается задача:

38