книги из ГПНТБ / Алексеев, А. М. Сетевые модели в перспективном планировании развития производства

средственное сокращение сроков выполнения проекта осуществ­ ляется руководителем путем активизации производственного процесса на критических работах, задерживающих завершение проекта. Возникающие при этом проблемы перераспределения ре­ сурсов, изменения технологических решений, целесообразности дополнительного финансирования и пр. решаются руководителем на основании интуиции и опыта.

В поисках формализованных методов решения подобных во­ просов в сетевое планирование вводятся экономические характе­ ристики (объем, интенсивность и стоимость выполнения работы). В связи с этим коренным образом меняется сущность сетевых мо­ делей. Переход от анализа «узких мест» к процессу принятия ре­ шений вызывает качественное усложнение —замену простой ими­ тационной схемы производства его оптимизационной модель ю.

Оптимизация на сети предполагает выбор наилучшего сочета­ ния вариантов выполнения оаботКритериями оптимизации могут быть простота технологии производства, эффективность капитало­ вложений, затраты ресурсов, стоимость. Последний критерий на­ иболее универсален: при сравнении вариантов в стоимостной фор­ ме могут быть отражены сложность выполнения работ, продук­ тивность, дефицитность используемых ресурсов. Например, ис­ пользование дефицитных трудовых ресурсов можно связать с ка­ питаловложениями в жилищное строительство или затратами на привлечение и обустройство рабочих. Подходя с этой точки зрения к вопросу оптимизации5, необходимо затронуть вопрос о предпо­ чтении вариантов на основе стоимости.

В терминах сетевых моделей каждой работе (г, /) сети должно соответствовать несколько вариантов выполнения. Естественно, что технологическими условиями может быть определено раз­ личное число вариантов (в том числе и единственный). Вариан­ ты задаются двумя параметрами: продолжительностью, выполне­ ния (ту) и стоимостью S{i(rii). Полагая, что все прочие факторы находят отражение в стоимости, из двух вариантов с одинаковой продолжительностью выполнения всегда будет предпочтителен бо­ лее дешевый. Если же варианты имеют одинаковые параметры, то, считая их идентичными, можно брать любой из них, а остав­ шиеся отбрасывать. Таким образом, теперь для любой пары ва­

зависимости ^ (т).

Одна из первых оптимизационных задач на сети в случае ли­

5 В специальной литературе модели оптимизации на сети по критери стоимости именуют PERT — cost. (Кофман, 1968).

20

нейной зависимости 8ц(т) решена Келли (Kelley, 1961). При за­ данном характере зависимости стоимости работ от их продолжи­ тельности из установленных сроков выполнения проекта необхо­ димо выбрать тот, при котором стоимость проекта (сумма стоимо­ стей всех работ).минимальна. Математически эта задача записыва­ ется следующим образом.

Пусть задан сетевой график Г с событиями i = 0, 1, .. .., п и ра­ ботами (г, /) е б . Продолжительность каждой работы ту по усло­ виям технологии имеет верхний и нижний предел:

Для времени наступления событий U должно выполняться усло­ вие

сти работы от ее продолжительности, то целью задачи является отыскание такого расписания работ {£,} , при котором достигается минимум суммарных расходов на выполнение всего проекта:

Алгоритм заключается в последовательном решении задачи параметрического программирования при значениях параметра Т от Ттах до Tmin. При Т — Ттах оптимальное расписание находится тривиально:

Сокращение продолжительности выполнения проекта производит­ ся самым экономным способом: на каждом шаге с минимальным приростом затрат (ценой) при единичном сокращении. Эту цену определяют максимизацией потока в сети (Форд, 1966), пропуск­ ные способности дуг принимаются равными Су.

Рассматриваемый алгоритм приведен к форме, допускающей реализацию на ЭВМ. В блок-схеме алгоритма (см. схему 1) ис­ пользованы следующие обозначения:

лее сокращаться не может); /а — поток через дугу (г, j);

: — — знак присвоения кода; S г — г'-е событие графика;

г* или Sj — закодированное событие; i~ или 5 — — незакодированное событие.

21

Изложенный метод решения позволяет найти точный оптимум, но линейная зависимость затрат от продолжительности работы обедняет постановку задачи.

В литературе описана аналогичная сетевая задача, усложнен­ ная введением непрерывной выпуклой вниз зависимости стои­ мости от продолжительности работы <рц(тц) (Berman, 1964). Метод оптимизации заключается в приближенном решении систе­ мы уравнений

22

Выполнение равенств обеспечивает станцнонарность расписа­ ния: сдвиг вправо по времени /-го события вызывает удешевле­ ние входящих и удорожание выходящих работ, причем в силу выпуклости функции cp(tij) удорожание превзойдет удешевление.

Сложность предложенной системы уравнений автор предлагает обойти путем решения отдельных уравнений последовательно для каждого события /, фиксируя при этом время наступления осталь­ ных событий (сходимость процесса не исследуется). При этом нет разделения работ на критические и некритические (сильно услож­ нившего алгоритм Форда-Фалкерсона), а также ограничений на продолжительность работАвтор статьи указывает на возмож­ ность учета этих ограничений путем «исправления» исходной за­ висимости срц(Тц) . На интервале [0, ф3] фу(А) дооп­ ределяется сильно убывающей функцией (от оо до ф;3(<А)) для

Хц'>В^ не приводят к увеличению стоимости и соответствуют за­

Однако в самой постановке задачи не учтена разновременность затрат на выполнение работ (в конце статьи автор отмечает это), тем самым в стороне остается важнейшая экономическая пробле­ ма соизмерения затрат во времени (дисконтирования). Отражение этого фактора меняет постановку, метод оптимизации и, конечно, само решение. Представим простейший случай, когда сетевой гра­

и соответствующие стоимости заданы графиками на рис. 2. Пусть выделен период времени, равный трем годам, на выполнение обе­ их работ, тогда допустимые расписания представлены на рис. 3. По суммарной стоимости наиболее предпочтительным является первое расписание (Si —60).

Найдем расписание с минимальной приведенной стоимостью выполнения работ. Затраты будем приводить к моменту времени

23

расписанию (ti2 = l; тгз= 1) предполагается интенсивное выполне­ ние работ после годового бездействия (лага). В данном случае такая стратегия неоправдана: возрастание стоимости выполнения не компенсируется обесцениванием затрат во времени. Минимум затрат достигается на втором расписании (ti2= 2 , т2з= 1). В этом условном примере наглядно проявилась тенденция к смещению капиталоемких вариантов на последние годы планового периода.

Таким образом, при оптимизации сетевых моделей с продолжи­ тельным плановым периодом (от двух лет и более) приведение затрат во времени является непременным условием получения ме­ тодически верных результатов.

Один из методов сопоставления затрат во времени предложил Л. Брискин (Briskiin, 1966). Как и в предыдущих постановках, здесь задаются варианты выполнения отдельных этапов работ, характеризуемых продолжительностью выполнения и затратами. В терминах теории графов целью оптимизации является отыска­ ние цепи направленных дуг из источника в сток, на которой до­ стигаются оптимальные затраты. Отбор оптимальной комбинации вариантов ведется по двум критериям: минимизации стоимости и сокращения времени выполнения последовательности работ. От­ меченные цели оптимизации противоречивы: с одной стороны, расходы на выполнение работы падают с увеличением продолжи­ тельности, а с другой — за сокращение времени выполнения на единицу заказчик готов платить дополнительно и тем больше, чем продолжительнее общее время выполнения заказа. Функция доплат за сокращение срока выполнения предлагается в виде экспоненты 6'=с(1—ekl) + h (с, h подбираются аппроксимацией), весьма близкой к форме дисконтной зависимости

(7+Я )‘ = gl = е~ Ы’ где к = 1п С1 + Е )-

Трактовка доплат как потерь исполнителя при чрезмерно про­ должительном выполнении заказа аналогична росту дисконтиро­ ванных затрат при увеличении времени выполнения (если срок окончания фиксирован, то увеличение продолжительности выпол­ нения связано с более ранним началом работ).

24

Метод оптимизации в общем случае совпадает с полным пе­ ребором комбинаций вариантов. Доплата за сокращение продол­ жительности выполнения заказа учитывается на последнем этапе при сравнении двух вариантов выполнения всего комплекса ра­

первому варианту, если доплата за сокращение срока выполнения с Т\ до Т2 меньше, чем разница S2—S 1 и наоборот. '

Другая близкая по смыслу задача в сетевой постановке (Ле­ вицкий, 1967)—максимизация произведения экономии времени выполнения проекта на экономию затрат по сравнению с мак­ симально возможными. Приведения затрат во времени при этом

планировании6. Рассмотрим возможности и эффективность такого синтеза с позиций достигнутого уровня разработки сете­ вых моделей и моделей перспективного отраслевого пла­ нирования.

Построение варианта развития предприятия и его оптимиза­ ция по внутренним параметрам на основе сетевых моделей. В этой части работы будет рассмотрено два направления исполь­ зования сетевых моделей, которые позволяют снять предположе­ ние о мгновенности превращения капитальных вложений при фор­ мировании способа функционирования объекта, т. е. рассмотреть процесс создания объекта в динамике. Первое направление сво­

Чтобы описать процесс создания производственного объекта сетевым графиком, введем унифицированную форму задания ва­ риантов выполнения его отдельных работ7. Будем использовать общую единицу времени как шаг в дискретном задании функции стоимости приведенной к началу работы от срока выполнения. Эта функция задана в интервале с целочисленными (согласно выбранной единице) границами и определена в каждой целочис­ ленной точке. Для этого: 1) в качестве единицы времени выбира­ ется наибольший общий делитель продолжительностей создания

6 Возможность использования сетевых моделей в области перспек­ тивного планирования отмечалась А. Г. Аганбегяном в период первых раз­ работок и распространение системы PERT (Аганбегяи, 1964).

7 Выявить зависпмость срок-затраты можно рассмотрением процесса создания объекта на стадии проектирования, когда выбирается один из многих возможных технологических вариантов выполнения данной работы.

25

мый срок выполнения работы, достаточный для реализации ва­ рианта с наименьшей продолжительностью

(Ь ^ '' -j) •

В пределах выделенного времени т« единственным образом определяется продолжительность выполнения itj с минимальной стоимостью приведенной к началу отрезка времени т;3 и устанав­ ливается начало U выполнения работы. Для срока окончания ра­ боты во всех случаях верно тождество:

В противном случае приведенную стоимость можно уменьшить сдвигом работы на конец интервала тгз. Выбором оптимальной продолжительности ti} и минимальной приведенной стоимости Ztj для допустимого срока т,-3- выполнения работы устанавливается зависимЬсть Zy(Ty), и вместе с этим соотношение между продол­ жительностью выполнения £,-3 и допустимой продолжитель­ ностью т,3:

Так, работа (г,/) с единственным вариантом выполнения ( а = £ у— продолжительность, 5° — стоимость) приводится к виду

ных вложений, принятая для рассматриваемой отрасли. Графйк этой функции приведен на рис. 5.

Для произвольного допустимого срока т « = Ь > а конец работы совпадает с моментом Ь, начало смещается на (Ъ—а), приведен-

ные затраты падают в g (b~a) раз. Область определения функции z ( T i3) , теоретически не ограниченная справа, будет устанавливать­ ся по другим соображениям. В этой области каждому значению Ту соответствует отличное от других значение приведенной стои­ мости, хотя технологический вариант и вместе с ним время вы­ полнения остаются постоянными: tij= a='i¥ (т,-,) (рис. 6).

Для нескольких вариантов выполнения работы (£, /) (зависи­

26

Если минимум достигается на нескольких значениях tih то одно из них фиксируется, остальные отбрасываются. Таким образом, строится однозначная функция

(1- 21)

по которой нетрудно восстановить вариант выполнения работы и тем самым вернуться к исходной форме задания информации.

Требуется установить моменты времени (расписание) {th} так, чтобы общая сумма приведенных к моменту 1\ затрат на весь комплекс работ сетевого графика была минимальной:

тивный коэффициент эффективности капитальных вложений. Оптимизация осуществляется с использованием процедуры ди­

намического программирования8. Направленным перебором опре­ деляются минимальные затраты на выполнение двух (трех и т. д.) последовательных работ: работы «сшиваются», значения затрат и соответствующие t{ заносятся в таблицу. После нахождения ми­ нимума затрат для всех работ графика по таблицам восстанавли­ вается оптимальное время наступления событий9. Задача решает­ ся несколько раз для некоторого набора различных значений па­ раметра Т (срок создания объекта). Область допустимых значе­ ний Т определяется исследованием сети. В результате решения параметрической задачи находится функция изменения затрат от продолжительности создания объекта.

Из рассмотренных типов сетевых моделей самым совершенным является последний. В моделях этого типа отражены структура и продолжительность производственного цикла, разнообразие тех­ нологии и мощностей производства, нелинейная зависимость стои­

8 Алгоритм решения этой задачи разработан А. М. Алексеевым Б. А. Вертгеймом и изложен в докладе авторов на семинаре отдела опти­ мального планирования отраслей промышленности ИЭ и ОПП СО АН СССР

и ЛЭМИ НГУ в январе 1969 г.

9 Таблицы, составляемые в процессе оптимизации, удобны при ру ном счете, при использовании ЭВМ они сильно загромождают память ма­ шины и вынуждают ограничить размеры решаемых задач. Программа, реализующая данный алгоритм на БЭСМ-6 (автор Э. Н. Долинина), рассчи­ тывает сетевые графики объемом не более 500 работ.

■27

мости от продолжительности работ, обесценивание затрат во вре­ мени. Однако полная адекватность модели реальному процессу не обеспечена: не учтены переменные во времени цены, дефицит­ ность ресурсов, влияние технического прогресса. Это ограничивает ценность и сферу применения модели, тем не менее, на основании ее можно проанализировать влияние дисконтирования, сделать ин­ тересные экономические выводы и уже в таком виде применить сетевую модель предприятия в задаче оптимизации сроков ввода в действие производственных объектов отрасли.

Для анализа функции z = z(T) (см. (1—12)) введем два пара­ метра: срок строительства Тс и допустимый срок строительства Т0. Допустимый срок строительства — отрезок времени (от t\ до Тд) на протяжении которого может быть построен объект. С измене­ нием Т изменяется значение Та, причем всегда значения Та сов­ падают с Т. Срок строительства — отрезок времени, на протяжении которого фактически осуществляется создание объекта. Таким об­ разом, допустимый срок строительства отражает выделенное, а срок строительства фактически используемое время на создание объекта. В общем случае Та^ Т с.

Исследуем случай, когда Тс<С.Та во всем интервале изменения Та. В рассматриваемой ситуации для всех значений существует единое оптимальное расписание {тД, однозначно определяющее Тс. Действительно, пусть допустимому сроку строительства Та со­ ответствует приведенная к начальному моменту стоимость строи­

z[T1a + A T ) = z { T ie).gLT.

Другими словами, в этом случае технологический способ созда­ ния объекта и «физический» объем капитальных вложений оста­ ются неизменными во всей области изменения Т„. Последнее легко просле­ дить, если исключить влияние дискон­ тирования, умножив функцию z = z ( T a)

на g Q— а, х1Т0 соответствует прямой ВС на рис. 7.

Рассмотрим другую ситуацию, в ко­ торой Та= Те (рис. 8). Это означает, что при изменении Та начало строительства t\ совпадает с t = 0 и строительство ве­

дется на протяжении всего допустимого срока. Применение техно­ логических вариантов со сроками строительства, меньшими Та, в этом случае неоптимально. Графически это означает, что кривая

28

ваиия нового технологического варианта экономичнее простого сдвига предыдущего расписания (уменьшение приведенных затрат при сдвиге расписания отражено отрезком BD, при переходе к новой технологии — DA, экономия — ВА). Тем самым обоснована целесообразность применения нового технологического способа для каждого нового значения Та. Такая ситуация представляется иде­ альной по «гибкости» сети, моделирующей объект, и по обилию ва­ риантов выполнения каждой работы сети.

Общий случай Та^ Т с допускает обе вышеописанные ситуа­ ции: в соответствии с этим график функции z = z ( T ) сочетает в се­ бе дисконтный характер изменения затрат, свойственный случаю Гв>Ге, и более быстрое по сравнению с ним убывание, связанное с отношением Та= Т с (рис. 9).

Теперь ясно, как по произвольно заданной функции z — z{Ta) выделить интервалы, на которых Та^>Тс: достаточно умножить

z=z{T) на g~T, при этом на интервале [Т% 7д] функция при­ мет вид z( Ta)- gT. Если z = z(T) представляется в виде z= z(2ng) X

29