книги из ГПНТБ / Шмутцер, Э. Симметрии и законы сохранения в физике
.pdfПриложения теоремы Нетер о механике и теории поля 61
так как, очевидно, Д8 тй = 0. Поскольку введенные беско нечно малые параметрьГдруг от друга не зависят и про извольны, из последних двух соотношений мы получаем закон сохранения импульса
|
|
|
dt |
о (из сдвига во времени). |
|
ш |
mntQJ = 0 (из пространственного сдвига), |
||
закон центра масс, |
имеющий характер закона сохранения, |
|||
d |
[ 2 |
|
— |
= 0 (из поступательного движения), |
dt |
|
|||
закон |
сохранения |
момента импульса |
||
|
|
|
[ 2 |
П1аТа X tqj = 0 (из вращения) |
|
|
|
п |
|
и |
закон сохранения энергии |
|||
|
|
|
dll |
|
На языке^бесконечно малых^канонических преобразо ваний теория может быть представлена следующим обра зом [3]. Бесконечно малый канонический генератор прини мает вид
I = — Q 2 Рп— W — ь 2 *0 х Ра — |
|
|
й |
й |
|
— b (« 2 p a — 2 |
maTa). |
(2.1.35) |
йй
Всоответствии с (2.1.15) это дает при дифференцировании
бга = а + b X Та + Ь* + £га , |
|
брй = b X Рп+ Ьта -1- |ра, |
(2.1.36) |
я - я = ь 2 м ^ .
Гамильтониан, соответствующий лагранжиану (2.1.30), имеет вид
Н = у 2 m Gr n2 + V ( I г' а — г г I )• |
(2.1.37) |
62 |
1'лава 2 |
Разложение в ряд Тейлора в приложении к (2.1.20) дает
&н= b S ^ + ^4 r = - § - |
(2.1.38) |
л |
|
Тем самым показано, что Н обладает требуемыми свойства ми симметрии, так что величина (2.1.35) в соответствии с (2.1.24) является константой движения. К отдельно взя тым законам сохранения можно перейти аналогично тому, как это уже сделано выше.
§ 2. Релятивистская механика материальных точек
В этом случае естественно исходить из соответствия
k (математический параметр) или
UQ-
х (собственное время).
Принцип Гамильтона записывается в виде (в этом парагра фе точкой обозначена полная производная по параметру к)
|
|
to |
|
|
|
|
|
-Рг |
|
|
|
|
|
|
|
б j |
L(x\ P)dk = 6 j X (**, - ^ - ) й т = |
0. |
(2.2.1) |
||||||||||
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
Здесь Pj |
и Р г — фиксированные точки пространства-вре |
|||||||||||||
мени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения Лагранжа имеют вид |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
8L |
дЬ |
|
d дЬ = 0, |
|
|
( 2. 2. 2) |
|||
|
|
|
|
|
8xi |
dxi |
|
dX dxi |
|
|
|
|
||
если в качестве параметра берется |
к, или вид |
|
|
|||||||||||
8% _ _ _ д Х _ ___ d_ |
[ |
д Х |
|
. 1 |
/ |
dJS |
dxi |
*)£} + |
||||||
8xi ~ dxi |
|
dx |
\ |
d {dxi/dx) |
+ |
c2 |
\ d (dxi/dx) |
dx |
||||||
, |
1 |
/ |
|
dS6 |
dxi |
|
с^\ „ |
fam |
dxn |
= 0, |
(2.2.3) |
|||
1 2c2 |
\ 8 {dxi/dx) |
~dx |
|
X |
) Smn’ i dx |
dx |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
если параметром служит |
|
т |
[3]. |
Канонический |
4-импулъс |
|||||||||
определяется |
выражением |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
дЬ _ |
|
d% |
. |
1 |
/ |
|
dx |
|
dxh _dxi |
/2 2 41 |
||||
|
|
д {dxi/dx) "г |
с2 |
\ |
д (dxh/dx) |
fa |
' dx ' |
' ' * > |
||||||
ЙрилЪжепк'я tnebpeMU Нетер в механике it hiebpUu пЬЛЯ бЗ
Для электрически заряженной частицы в электромаг нитном поле имеем
+ |
(2.2.5) |
где т0 — масса покоя частицы, е — ее электрический заряд, А т — 4-потенциал поля. Канонический 4-импульс при этом принимает вид
P i= m 0^ + ± A h |
(2.2.6) |
а уравнение Лагранжа (2.2.3) переходит в уравнение движения
т 0 |
dzxi |
dx™- dxn |
Ы |
dxm |
(2.2.7) |
||
dx2 |
’ ётп, } ' dx |
dx |
|
в jm dx |
|||
где Bjm= A m, j — Aj, m— тензор |
|
напряженности |
электро |
||||
магнитного |
поля. |
|
|
|
|
|
|
Применимость теоремы Нётер в этом случае оказы вается весьма ограниченной, так как функция Лагранжа (2.2.5) инвариантна лишь относительно преобразования параметра
v = х + t
Поэтому теорему Нётер следует брать в формулировке (1.4.3), что дает соотношение
Однако оно выполняется тривиально, так как для этого случая справедливо равенство
(2.2.8)
д х *
Обнаруженная ситуация с точки зрения физики вполне естественна, так как заряженная частица, помещенная в электромагнитное поле, вообще не характеризуется никакими сохраняющимися механическими величинами. Сохранение реализуется лишь в том случае, если наложить ограничения на потенциал (например, энергия сохраняет ся, если поле консервативно или потенциально, и т. д.).
64 |
Глава 2 |
§ 3. Система, состоящая из гравитационного максвелловского и клейп-гордоиовского полей
Для такой системы лаграижева плотность [в смысле разложения (1.4.18)] имеет вид
А |
(0)д |
~ втпвтп- - ~ [(Ф % + г«АтФ*) X |
|
2х |
|
X (Ф' т - юДтФ) + ^ ф*ф] = А + А. (2.3.1)
Здесь Ф — комплексная волновая функция поля^Клейна — Гордона, т0 — масса покоя бесспииовых клейп-гордо- новских частиц, Я = Я/2л (Я — нлаиковскпй квант дей ствия) и а = elhc (е — электрический заряд частицы). Звездочкой обозначена соответствующая комплексно со пряженная величина.
Так как тензор электромагнитной напряженности Втп = А п, т — А т, п представляет собой ротор 4-потен циала, система уравнений Максвелла с циклической пере становкой индексов
B<mn,h>— Вmn,h~\ B]im, п \ BnjJt m—0 |
(2.3.2) |
удовлетворяется тождественно. Система неоднородных уравнений Максвелла совпадает с соответствующими урав нениями Лагранжа в коварпаптной записи [3] х):
6Л _ ОА |
/ ал \ п |
(2.3.3) |
|
бA t ~ d A t |
[ d A i . j ) ~ U |
||
|
|||
При этом дифференцирование дает |
|
||
ал |
■Bi3 |
(2.3.4) |
|
дА;. |
|||
|
|
||
и |
|
|
|
Еф *ф ’ ^— ф!;’ *®-21иФ *ФА1]. |
(2.3.5) |
||
*) Читателю может быть интересно, пользуясь добавлением дивергепциальиых членов, перестроить лагранжиан (2.3.1) так, чтобы для электромагнитного поля действовал метод Палатнни (см. примечания на стр. 25 и 30), дающий наряду с уравнениями поля (2.3.6) и стандартную связь напряженности п потенциала, не задаваемую заранее (это просто сделать для свободного электро магнитного поля).— Прим, перво.
Приложения теоремы Дётер в механике и теории ноля 65
Подставляя эти выражения в (2.3.3), получаем явный внд системы неоднородных уравнений Максвелла
(2.3.6)
где величина
f = |
[ф *Ф ’ { - Ф*' *Ф - — ■Ф*Ф/Н] (2.3.7) |
представляет собой 4-вектор плотности электрического тока, образованного полем Клейна — Гордона.
Уравнение Клейна — Гордона и соответствующее ком плексно сопряженное уравнение вытекают из уравнений Лагранжа в ковариантной записи *)
вл |
ЗА |
(2.3.8) |
|
6Ф* ~ |
ЗФ* |
||
|
|||
бЛ |
_ ЭЛ |
(2.3.9) |
|
6Ф — ЗФ |
|||
|
|||
Дифференцирование лагранжиана (2.3.1) приводит к выражениям
ЗЛ
ЗФ
ЗА ЗФ*
и
_й2_ 2т0 [ - г я А т(ф :т + ^ А тФ*)
ЗА |
ГР |
|
+ йхД’ Ф*], |
|
дф, з |
2т о [Ф' |
|||
|
||||
|
(Ф' т — гаДт Ф) + |
|||
ЗА |
|
[Ф '7’ — ЬаАЩ. |
||
ЗФ* |
j |
|||
|
|
|||
mgc2 |
Ф *] , |
ГР |
|
|
(2.3.10) |
|
(2.3.11) |
Ф ] |
(2.3.12) |
|
(2.3.13) |
*) Добавденпе к лагранжиану скалярного поля днвергснциальпого члена позволяет получить выражение, обращающееся в нуль
всилу уравнений поля, как это автоматически имеет место для лаг ранжиана поля Дирака; аналогичная процедура возможна и в при менении к электромагнитному лагранжиану наравпе с указанной
впримечании на предыдущей странице.— Прим, персе.
5 — 0 1 3 5 0
66 |
Глава 2 |
Подставляя эти выражения в (2.3.8) и (2.3.9), получаем два указанных уравнения поля:
— Е - Л ' . Р - т - ® - 0 |
(2.3.14) |
И
+ Ж - ^ 1 ф * “ Ч р - ф * = 0- |
<2-ЗЛ5> |
Следующий шаг состоит в нахождении тензоров энер гии-импульса максвелловского и клейи-гордоповского полей с учетом их взаимодействия, т. о. тензора энергииимпульса полного неметрического поля.
Канонический комплекс эиерггш-импудьса (1.6.18) при нимает вид
, чV |
U |
|
и |
|
|
(кап)£ i |
ОХ |
Ф |
ох |
Ф * у S I |
|
|
ОФ , |
'дф* ■ |
|
||
|
о х |
Ат.,-и ,* Х . |
(2.3.16) |
||
|
ОА |
|
|
|
|
Чтобы перейти к симметричному комплексу энергииимпульса, нужно сначала вычислить на основании (1.4.5) выражение (1.6.32):
и
m imh = |
A h= Y~g B miA h. |
(2.3.17) |
^Лт, г
При этом мы учитываем, что поле Клейна — Гордона описывается инвариантной волновой функцией (скаляром), и поэтому в последнем выражении отсутствуют представ ляющие его члены. Так как выражение (2.3.17) антисим метрично по двум первым индексам, мы можем применить конструкцию (1.6.35). В результате, учитывая (2.3.4), (2.3.11) и (2.3.13), получаем для симметричного тензора
Приложения теоремы Нетер в механике и теории поля 67
энергии-импульса полного неметрического поля выражение
-|- |
ф *ф ] } • (2.3.18) |
Канонический комплекс эиергии-импульса калибровочно пеиивариантен (относительно фазовых и градиентных пре образований). Симметричный же комплекс энергни-импуль са, напротив, обладает калибровочной инвариантностью,
а именно из пего и строятся наблюдаемые величины.
Рассмотрим подробнее эти калибровочные преобразования
(X — вещественная калибровочная функция)
Ai = Ai + x, г, Ф = Ф е х р ( ~ х )
(2.3.19)
При таком комбинированном преобразовании лаграпжева плотность (2.3.1) остается форм-ннвариантпой, так что мы имеем дело с одним (единственным) непрерывным пре образованием симметрии, не сводящимся к преобразова ниям координат. Поэтому, согласно теореме Пётер, нужно ожидать появления соответствующей сохраняющейся вели чины. Чтобы лучше разобраться в этой ситуации, перейдем сначала от (2.3.19) к соответствующим бесконечно малым преобразованиям (% инфинитезимально)
A t = A t + %, м Ф = Ф + ~ Ф х - Ф* = Ф *—
(2.3.20)
или
6Л- = х. бф= £ Фх, 6Ф*= - £ Ф*х- (2-3.21)
5*
68 Глава 2
Подставляя эти величины в соотношение Петер (2.3.7), которое здесь записывается как
[-ШГ, т № * + - я г г M ' L - ° '< 2 А 22>
получаем, используя обозначение (2.3.7), уравнение непре рывности
(Vr£ / * b = 0, |
(2.3.23) |
которое выражает дифференциальный закон сохраиения электрического заряда как следствие калибровочной инва риантности.
§4 . Система, состоящая из грае и пищиони ого, максвелловского и дираковского полей
Для такой системы лаграижева плотность [в смысле разложения (1.4.18)] имеет вид
А = |
«Яд |
1 |
ВтпВмп- |
2х |
4 |
||
— |
— |
|
w } . (2.4.1) |
Здесь тй — масса покоя электрона или позитрона; yh —
метрические биспинтензоры (обобщенные матрицы Дира ка), удовлетворяющие соотношению
YVn-f v V = 2gftm; |
(2i4.2) |
¥ — диракоеский биспинор; ¥ — г1;+(3 — сопряженный ему биспинор.
Индекс «+ » обозначает операцию эрмитова сопряжения (¥ + — эрмитово сопряженный биспинор). Ковариаитная производная биспииора определяется как
¥ ;(i= 4 ',H -IV F , |
(2.4.3) |
где биспинорные коэффициенты связности имеют вид [3]х)
(-VAfe— { } |
тО — |
|
- 4 SP W y r ft) v - i |
Ah+ i 0. *. |
(2.4.4) |
x) Эти понятия рассматриваются также в более доступной для нашего читателя книге [22].— Прим, перво.
Приложения теоремы Иётер о механике и теории, ноля 69
В этом выражении
У= ТГТ &птмУ7Y W . |
(2.4.5) |
причем 0 определяется через
yi2 = V~yeie, где у = у12у.^ |
(2.4.6) |
(уАВ — метрический спинор). Если подставить выражение (2.4.4) в (2.4.3) и ограничиться частным случаем мира Минковского с галилеевыми координатами, то ковариантиая производная биспипора сведется к его калибровочной производной, т. е. к операции, обычной в теории поля.
В теориях спинорных полей лагранжиан [см. (2.4.1)] обладает принципиально иной структурой, чем в теории тензорных полей, а именно имеет вид
— <2/ (JJя, U г, 8mm ётп, ii Ymi У’п, ii X*).
Поэтому здесь становится неприменимой тензорная теория, изложенная в гл. 1, § 4, и кладущая в основу структуру лагранжиаиа
= J?(/7jj, j, 8mm 8 m n .ii X*).
Положение усложняется связью между матрицами ут и метрическим тензором gmn, выражаемой соотношением (2.4.2). Поэтому мы откажемся здесь от подробного вос произведения расчетов, отсылая к полному анализу ситуа ции в [3].
Дифференцируя лагранжиан (2.4.1) и подставляя про изводные в уравнения Лагранжа
|
д Х |
/ д Х |
\ |
_ 0 |
(2.4.7) |
|
Sw |
~ дЧ |
\ дЧ , и K h ~ |
||||
|
||||||
бZ |
д Х |
t д % |
\ |
п |
(2.4.8) |
|
6ЧГ — 54' |
\ дЯ\ h |
),h ~ U’ |
||||
|
||||||
получаем уравнение Дирака |
|
|
|
|||
|
ThlF;fc + -^ !£T = 0 |
|
(2.4.9) |
|||
и сопряженное ему уравнение |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(2.4.10) |
|
70 |
Глава 2 |
Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе при выводе системы неоднородных уравнений Максвелла, находим для 4-вектора плотности электри ческого тока поля Дирака
jk = iecWy4r. |
(2.4.11) |
Поле Дирака обладает тем интересным свойством, что лагранжева плотность этого поля для реальной его эволю ции тождественно обращается в нуль в силу уравнений Дирака (2.4.9) и (2.4.10) *).
В конечном итоге тензор энергии-импульса полного неметрического поля можно привести к виду
Та = BimBmj + i guBmnBmn -
— Т ^ (T i¥ ; }+ y / F ; i) - |
m + % n v) ¥ ] . (2 .4 .1 2 ) |
|
Его след равен |
|
|
T i^ m ^ W W . |
(2.4.13) |
|
Из формы лагранжиана (2.4.1) видно, что существует еще одно (которое здесь также является единственным) непре рывное преобразование симметрии, не сводящееся к пре образованиям координат. Формально речь идет о тех же законах преобразования, которые ранее были записаны в виде (2.3.19), но здесь они приобретают новое содержа ние (х сиова вещественная калибровочная функция):
Ai = Ai + x, h Ф = WWO*. Y = 1Fe-(i«/ft'9* (2.4.14)
или в инфинитезимальном случае (когда % бесконечно мала)
A ^ A i + x.t, 'F = ¥ + -|L'Fx ,
(2.4.15)
Yx,
Интересно также, что систему уравнений (2.4.9) и (2.4.10) легко решить алгебраически относительно электромагнитного 4-потенциала Ат (см. [25]).— Прим, перво.