книги из ГПНТБ / Шмутцер, Э. Симметрии и законы сохранения в физике

Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 51

рии относительности. Из определения (1.7.17) для пре­ образований Лоренца приближенно следует

где = дхЧдх•?' — коэффициенты этих преобразований. Требование, чтобы 4-импульс вел себя как истинный вектор при преобразованиях Лоренца, означает, что

(ПОЛИ)р _ _J_ Г 1 (nojiii)fj- т

с 13 V s

Сравнивая это выражение с (1.7.16), заключаем, что интеграл здесь не должен зависеть от выбора простран­ ственноподобной гиперповерхности. Но, как известно, это может иметь место лишь при выполнении условия (1.7.15). Тогда, выбирая гиперповерхность интегрирования в нештрихов энной системе отсчета как

V3 при |4 = const,

а в штрихованной системе — как

V’3 при £4' = const,

находим, что ввиду конечности угла, образуемого гипер­ поверхностями интегрирования (которые становятся гиперплоскостями на бесконечности), высота охватывающей гиперповерхности оказывается пропорциональной ее радиусу. Вследствие этого сама охватывающая гиперповерх­ ность, которую снова можно определить, полагая р = = const, растет теперь как р3, и в результате интересую­ щий нас интеграл обладает асимптотикой в ковариантном случае

I s ~ j -i- р3 d£l const Ф О,

а в эйнштейновском случае

S 2 Глава 1

здесь dQ — элемент телесного угла. Тем самым показано, что с точки зрения физического смысла единственно пред­ почтительным является эйнштейновское определение ком­ плекса энергии-импульсау1).

Вернемся теперь еще раз к вопросу, поставленному в предыдущем параграфе, а именно, следует ли строить выражение для эиергни-нмпульса согласно (1.6.38) или согласно (1.6.44). Иными словами, какая из^ величин, (полн)р4 ипи (шмпрр^ должна^ быть связана с полной энер­ гией? Мы отдаем предпочтение определению, принятому в (1.7.21), по той, в частности, причине, что в принципе следует стремиться к установлению соответствия между теорией поля и механикой. Ыо в механике материальной точки, как известно, энергия Шчастицы связана с ковариантной 4-компонентой p k импульса соотношением

Ш— —ср4,

которое отвечает именно определению (1.7.21). Было бы странно в теории поля остановиться па величине, иной, чем в механике.

Проделаем поучительное упражнение — применим эйн­ штейновский вариант определения энергии и импульса к решению Шварцшильда с покоящейся точечной особен­ ностью 2). При использовании координат протяженности интегралы (1.7.20) и (1.7.21) легко берутся, так как подын­ тегральные выражения записываются в виде дивергенций

*) В этом сжатом обзоре автор дает характеристику лишь не­ многих сторон проблемы энергии в общей теории относительности (и в частности, гравитационной энергии как таковой), так что при­ веденная им информация неполна. Последнее высказанное им суждение разделяют не все исследователи; можно адресовать чита­ теля к другим обзорам, в частности [25, 27], хотя они также не мо­ гут быть полными при быстром развитии событий в этой области.—

Прим, перев.

2) Заметим, что мировая линия этой «покоящейся точечной особенности» не временноподобна (и даже не изотропна), а простран­ ственноподобна, т. е. лежит вне светового конуса и соответствует «движению» сверхсветового типа (!). Это требует осторожности в под­ ходе к чисто вакуумному решению Шварцшильда и вызвало к жизни ряд исследований, хорошо освещенных в новейшей литературе (например, при анализе проблемы гравитационного коллапса).—

Прим, перев.

в физике элементарных частиц уже произошло открытие новых фундаментальных законов сохранения, знаменую­ щих собой более глубокое проникновение в структуру вещества 1).

х) Мощно считать, что указанная «девальвация» некоторых интегральных понятий при переходе к искривленному миру свя­ зана прежде всего с кривизной пространства-времени как со своеоб­ разной негояономностыо: все тр ебуете величины превосходно определяются локально (т. е. как плотности) вместе со своими локальиымп (т. е. дифференциальными) законами, однако все это не может быть «сшито» в интегральные величины и интегральные законы. Такая ситуация подобна невозможности в искривленном мире (или области) установить голопомную декартову систему координат, позволяющую четко разграничить «настоящие» сдвиги и повороты. Однако в простейших случаях искривленного мира, когда действуют те или иные симметрии и существуют соответст­ вующие векторы Кнллинга, возникает и (ограниченная) возмож­ ность голономного интегрирования сохраняющихся величин и зако­ нов сохранения, хотя из общего хаоса удается выделить лишь какую-то часть их общего множества.

С другой стороны (автор говорит об этом очень мало), для определения понятий типа энергии и импульса фундаментальную роль играет введение конкретных систем отсчета; по-видимому, это будет чрезвычайно важно и при общерел ятивпстской формули­ ровке понятий квантовой механики (подчеркнем интегральный смысл операторов, описывающих в ней наблюдаемые). Здесь невоз­ можно подробно останавливаться на этих проблемах, поэтому мы адресуем читателя к некоторым работам (весьма различного плана), по которым можно составить представление о предмете: [3, 25—27].—

Прим, персе.

Приложения теоремы Ветер в механике и теории поля 57

Эти последние соотпошеиия и выражают каноническое преобразованиех).

В. Бесконечно малые канонические преобразования

Бесконечно малый канонический генератор I (гд, рд, t)

вводится с помощью равенства

Й

Дифференцированием получаем отсюда

и путем сравнения с равенством

dF = ~ dt + 2 PgdrQ— 2 Й1'й

йй

находим, наконец, формулы бесконечно малого канони­ ческого преобразования

2) Здесь рассмотрен один из многочисленных вариантов канони­ ческих преобразований. См. по этому поводу учебник [20]('и цити­ руемую там литературу. О связи с квантовой механикой см. в ста­ тье Фока в приложении к книге Дирака [21].— Прим, перев.

Поэтому бесконечно малый канонический генератор I является константой движения, если L обладает такой структурой, что

С другой стороны, раскрытие полной производной по вре­ мени с учетом уравнений Гамильтона (2.1.5) дает

Поэтому I есть константа движения, если гамильтониан Н таков, что имеет место равенство

Это равенство является аналогом в теории Гамильтона равенства (2.1.19) теории Лагранжа.

60 Глава 2

так что уравнение Лагранжа (2.1.2) принимает привычный вид уравнения движения

(2.1.30). Эти параметры соответствуют:

b — скорости поступательного движения, b — вращению,

а — пространственному сдвигу (трансляции), | — сдвигу во времени.

При этом (2.1.32) соответствует преобразованию функций, а (2.1.33) — преобразованию координат теории поля. Мы имеем конкретно

+ b it [ 2 ?ПаХах Гп] = °>

п

а закон (2.1.29) — вид

О,