книги из ГПНТБ / Шмутцер, Э. Симметрии и законы сохранения в физике

Подробный анализ показывает [3], что построенный с ее помощью комплекс энергни-импулъса неудовлетворителен с точки зрения физики. Хотя в этом случае принцип Гамильтона записывается в общековариаптиом виде, что подчеркивает особо ценимую в общей теории относитель­ ности общую ковариантность, все же эта лагранжева плотность не оправдывает себя в ряде узловых пунктов, как детально было показано Мёллером [5] 1).

В эйнштейновском варианте лаграпжева плотность имеет вид

Индексы Q п L использованы для того, чтобы подчеркнуть, что мы имеем дело с выражениями квадратичными и линейными соответственно по символам Кристоффеля (и их производным). Индекс D указывает на то, что речь идет о дквергенциалыюм выражении. Тот факт, что обе приведенные лагранжевы плотности дают одни и те же

х) Читатель должен иметь в виду, однако, что проблема энер- гип-импульса далеко еще не решена в общей теории относительно­ сти, и пока преждевременно выносить категорическое суждение против инвариантной лаграижевон плотности в пользу эйнштей­ новского лагранжиана. См. дальнейший анализ в этой книге и в ре­ комендуемой литературе, в частности [25—27]. Что касается работ [5], то последняя из них, вышедшая несколько раньше первой, была затем более подробно изложена на русском языке [25], хотя в это изложение не вошел анализ принципа простоты лагранжиана.—

Прим, перев.

уравнения Эйнштейна, следует из тождества (1.2.9), согласно которому х)

л

вВтп

так что

Конкретный расчет [3] приводит к результату:

Подставляя это равенство в (1.4.19) и сравнивая с урав­ нениями (1.5.1), находим выражение

для симметричного тензора энергии-импульса.

§ в. Дифференциальные законы сохранения

Под дифференциальным законом сохранения мы пони­ маем выполнение уравнения непрерывности в частных • производных вида

Особое”значение имеет использование частных, а не ковариантных производных в связи с переходом к интеграль­ ной формулировке закона, так как, если бы вместо частной производной стояла ковариантная производная, такой

переход был бы невозможен.

о

Поскольку лаграижева плотность Л неметрического поля, как уже говорилось, должна быть инвариантом (скаляром) относительно преобразований координат, для

J) Тождество (1.2.9) при данных здесь определениях неприме­ нимо к величинам, содержащим вторые производные потенциалов; все будет вполне корректно, если вариационную производную в нем понимать согласно формуле, приведенной в примечании на стр. 25.— Прим, перев.

Однако положение существенно меняется при формули-

и G

ровке теоремы Нётер для лаграпжевой плотности А = А + Л подпой системы полей, где гравитационное поле представ­ лено эйнштейновской лаграпжевой плотностью; в этом

G

случае ввиду иеннвариантиой природы Л лагравжева плотность А инвариантна лишь относительно линейных преобразований. Ввиду этого обстоятельства следует опи­ раться на полное соотношение (1.4.7), откуда

Для этой вслпчипы справедливо соотношение, аналогич­ ное (1.4.17):

о1/Г\ь- -~0. (1.6.16)

Канонические комплексы энергии-импульса метрического и неметрических полей определяются следующим образом:

(1.6.17) при подстановке (с дифференцированием) (1.5.7) следует выражение

.hr

— {Q)Rg,a . (1.6.29)

Заметим, кроме того, что вследствие (1.6.18) соотношение (1.6.2а) может быть приведено к виду

(1.6.30)

и в силу (1.6.7) справедливо равенство

(1.6.31)

Итак, мы привели здесь всю совокупность дифферен­ циальных соотношений, следующих из теоремы Иётер при сделанных выше предположениях. Теперь остается дать нм правильное физическое истолкование.

Прежде всего сделаем некоторые замечания по поводу симметричного тензора энерпш-пмпульса (1.5.13). Соглас­ но результатам, полученным Розепфельдом [6], дифферен­ цирование по метрическому тензору и его производным удается частично выразить через дифференцирование по функциям неметрических полей и их производным. Клю­ чевым пунктом при этом является использование свойства антисимметрии (1.6.5), имеющего место для лагранжианов первого порядка. В самом деле, используя обозначение

(1.6.32)

находим

+ y [g,h {M h™ + M ahm+ f f l m* - - M hma- m amh- 3 e nha)i м. (1.6.34)

В частности, если для полей выполняется свойство

последнее выражение принимает простои вид:

В частнорелятивистском случае выражение (1.6.34) тожде­ ственно совпадает с построенным ad hoc тензором Белин-

фанте [7].

Дадим еще раз сводку дифференциальных законов сохранения, важных для физической интерпретации ре­ зультатов. Так как мы потребовали выполнения уравне­ ний полей, то из соотношения (1.4.2), связанного с функ­ циональными преобразованиями, следует дифференциаль­

естественно назвать полным комплексом энергии-импульса

полного поля, ибо для нее

Мы дали такое истолкование именно этим последним урав­ нениям (из всех аналогичных им, приведенных выше), так как они представляются наиболее ему отвечающими, обладая тем особым свойством, что при переходе к случаю частной теории относительности дают в точпости част­ норелятивистский закон сохранения эпоргип-импульса (в этом пределе в полном комплексе эиергии-пмпульса гравитационная часть обращается в пуль).

На выражение (1.6.37) уже в 1915 г. опирался Эйн­ штейн, хотя он и работал в специальной системе коорди­ нат, так что не получил выражения (1.6.29) в приведенном здесь общем виде. Эйнштейн исходил из соотношения (1.6.8), в котором ему удалось с помощью своих уравнений гравитационного поля привести второй член слева к тре­ буемому виду.

Однако уже введение в общей теории относительности

комплекса момента импульса оказывается весьма затруд­ нительным. Разумным образом можно опереться лишь

Мы предприняли такое преобразование, хотя тем самым и отошли от вида дифференциального закона сохранения (1.6.39), по дело в том, что полученное соотношение в слу­ чае частной теории относительности переходит в хорошо известный закон сохранения момента импульса и цен­ тра масс.

В связи с этил! хотелось бы указать на то, что многие авторы при апализе сохранения энергии-импульса осно­ вываются па соотношениях

следующих из уравнений Эйнштейна, обходя тем самым

типа энергии-импульса, для которого справедливо урав­ нение вида

(1.6.44)

Однако ввиду того, что теорема Нётер приводит к закону (1.6.38), а также пз физических соображений, к которым мы верпемся в следующем параграфе, мы отдадим пред­ почтение уравнению вида (1.6.38).

§ 7. Интегральные законы сохранения

Исследуем в общем виде вопрос о том, при каких усло­ виях можно перейти от дифференциального закона сохра­ нения в форме

где пока пе делается никаких предположений о трансфор­ мационных свойствах величины к интегральному закону сохранения.

(пространстбеннопсдодноя)

Фиг. 1.

Для этого проинтегрируем последнее равенство по изображенной на фиг. 1 четырехмерной области, грани которой пе делят ее на изолированные части, и попытаемся перейти к интегралу по этим гиперповерхностям (если же область «разрезана» на части гиперповерхностями гранен, то аналогичное рассуждение применимо к каждой из получаемых частей). В дальнейшем мы рассмотрим два основных случая: