книги из ГПНТБ / Шмутцер, Э. Симметрии и законы сохранения в физике

Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 21

не меняет уравнений поля, если фигурирующая в ра­ венстве

#(TV TV а, :сй)= £(Ув, Ve,a, xb) - Q a.a (1.2.8)

величина Q“ обладает функциональной структурой:

0 “ = 0° (TV V&. ь, *')■

Действительно, непосредственное вычисление показывает, что имеет место тождество г)

§ 3. Теорема Нетер

Мы отойдем здесь от первоначальной формы, в которой Нётер [1] рассматривала эту теорему с точки зрения абстрактной теории групп, и специально приспособим ее математическое выражение к потребностям физики.

Понятие, которое лежит в основании теории, развитой Нётер,— это понятие преобразования симметрии. Мы бу­ дем понимать под ним такое преобразование (вообще говоря, и преобразование координат и функциональное преобразование), относительно которого данная лагранжева плотность Л обладает свойством

Л (TV, TV, a ' ^ V l =Л(Ув, TV a, Xb) V g - Q a, а, (1.3.1)

где <Эа — векторная плотность веса 1, обладающая функ­ циональной структурой

в (1.2.8) зависит и от F0 ь с; поэтому в данном подходе, исключаю­

щем применение вторых производных в лагранжиане, нельзя включать в £3“ вторые производные полевых функций. Отметим, од­ нако, что обобщение на случай таких высших производных весьма просто.— Прим, перев.

'-h[n0aAs7 0 + r 4 W - n ea70,m) + (9“I.a = O. (1.3.3)

Кроме того, величину Оа можно разбить на слагаемые

относящиеся соответственно к функциональным и коор­ динатным преобразованиям, что охватывает все практи­ чески интересные случаи. Если при этом учесть тот факт, что координатные и функциональные преобразования по определению не зависят друг от друга, то мы получим два конкретных выражения теоремы Нётер:

и

щ - ( А - Ve. » П -г [ПеаА5Уе +

+ Г {Xgma- П0аЕе, т ) + О Д , „ = 0. (1.3.6)

§ -L Разложение полного поля па .петричееиое

ипеметрическгье поля

Вэтом разделе мы переформулируем только что выве­ денную теорему Нётер для частного случая, охватывающе­ го ее физические приложения и утверждающего, что полное поле составлено из метрического поля gab и неме­ трических полей Uq:

ут ьаЬ

У 0

^ и а '

где

(tfo) = (£7lt U* . . . , Ujj).

Таким образом, через N обозначается число независимых неметрических полевых функций. Так как прежде число всех вообще независимых полевых функций было принято равным N , то имеет место соотношение

N = N + 10,

ибо, как известно, метрический тензор обладает десятью независимыми компонентами gab. В дальнейшем прини­ мается, что прописные греческие индексы Й, Г и Л пробе­

гают значения от 1 до N .

перепишем конкретизированные формы теоремы Нётер

(1.3.5) и (1.3.6) в впде

Уравнение (1.4.2) уже имеет тот вид, который нам будет нужен в дальнейшем; второе же уравнение еще нуждается в^преобразовании.

| Учитывая равенства (1.1.3), из законов преобразования тензоров получаем следующие соотношения для полевых функций (если последние — тензоры):

ДsUm= - U rl r, m, Д.Е7т = 17'Г\г,

Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 25

Для полевых функций более общей геометрической при­ роды бесконечно малые преобразования задаются сле­ дующим образом:

где указанная геометрическая природа величин отражена в коэффициентах S ^ a 1)- Коэффициент же Saa в члене, пропорциональном |а, добавлен для наиболее общей фор­ мулировки теории 2). Известно, что таким образом пре­ образуются галилеевы координаты при неоднородных пре­ образованиях Лоренца. В случае тензора валентности 1 (вектора) сравнение с предыдущими уравнениями дает, например,

Подставляя выражения (1.4.4) в (1.4.3), мы получили бы почти необозримое выражение. Поэтому введем обозначе­ ния

x) Это фундаментальное выражение играет важную роль в опи­ сании геометрических объектов весьма широкого класса. Так, если отбросить здесь последний член, то оно описывает законы преобра­ зования, в частности, всех тензоров и нх плотностей (любого веса). Анализируя операцию дифференцирования Ли [см. формулу (1.1.4) и далее], легко распространить определение ковариантной произ­ водной с обычного вектора на тензор произвольной валентности или его плотность произвольного веса:

^ ; a = ^ , a - V b^ r { aCb} -

Этим, конечно, применения закона (1.4.46) не исчерпываются.—

Прим, перев.

") Для более общей записи теории естественно предположить также наличие в инфинитезимальном законе преобразования типа (1.4.46) члена, пропорционального £“l(b с. Так преобразуется, напри­ мер, связность (символы Кристоффеля), если рассматривать ее независимо от метрического тензора, что характерно для принципа Гамильтона в формулировке Палатини.— Прим, перев.

26 Глава 1

при которых (1.4.3) принимает вид

Здесь круглые скобки у индексов обозначают взятие сим­ метричной части величины по этим индексам (симметризующне скобки Баха). Вследствие независимости и произ­ вольности и' н их производных отсюда следует

Дифференцирование (1.4.0а) и (1.4.10) дает соответственно

Далее, при дифференцировании (1.4.9) и учете (1.4.12) получаем

Исключая из системы (1.4.11) и (1.4.13) величину O.t, находим

(1.4.14)

Непрерывные симметрии в общерел. класс, теории поля 27

Наконец, из (1.4.8) и (1.4.13) следует результат

уравнению (1.4.12) можно придать интересную форму:

Этими соотношениями исчерпывается содержание нётеровского тождества (1.4.3). Здесь особенно важны соот­ ношения (1.4.13) и (1.4.17), так как они имеют вид диф­ ференциальных законов сохранения в частных (а не кова-

риантиых) дивергенциях. Соотношения такого типа назы­ вают сильными законами сохранения, так как равенство нулю частных дивергенций следует в них исключительно в силу свойств симметрии лагранжиана. В противопо­ ложность этому соотношение (1.4.8) имеет характер так называемого слабого закона сохранения, ибо здесь дивергенциальпое выражение обращается в нуль лишь вслед­ ствие выполнения уравнений поля, т. е. при равенстве нулю вариационных производных лагранжиана. Вообще говоря, физический смысл имеют именно слабые законы сохранения 1).

Отметим, наконец, что величины jr t amносят название суперпотенциалов, так как из них, согласно соотношению (1.4.9), путем дифференцирования следуют величины f ' tm, связанные, как покажет дальнейшее физическое рассмотре­ ние, с комплексом энергии-импульса.

Теперь целесообразно произвести еще разбиение лагранжевых плотностей и соответственно функций Лагран­

1) Итак, вод слабыми соотношениями понимают такие, которые выполняются лишь при учете уравнении ноля (наряду со свойства­ ми инвариантности); в отличие от сильных соотношений, отражаю­ щих только свойства инвариантности конструкций типа лагран­ жианов, слабые соотношения, очевидно, насыщены п физическим Содержанием.— Прим, перев.

жа на чисто гравитационную (метрическую) часть и неме­ трический остаток:

Пусть введенные функции имеют следующую структуру:

G G

A = A{gmn, gjnn. а! £ )i

ии

A = A(Uq, UQ, a! Smni Smn, Ь>&)•

При этих предположениях из (1.2.7) следуют уравнения метрического поля

и уравнения неметрических полей

Так как эти части ие зависят друг от друга, мы распростра­ ним на каждую из них наше требование тензорности, если примем за основу обзцековариантную формулировку прин­

постоянная1). В выражении (1.5.2) использовано обозна­ чение

для символов Кристоффеля 2).

Вычисления приводят к выводу, что уравнения (1.5.1) вытекают из (1.4.19) для двух подробно исследованных в литературе лагранжевых плотностей. Первая из них имеет вид

Эта лагранжева плотность совпадает со скалярной кривиз­ ной с точностью до множителя, дающего нужную раз­ мерность. Это — лагранжева плотность второго порядка, т. е. она содержит вторые производные метрического тензора и поэтому выходит за рамки нашего анализа 3).

туре используется (и притом чаще) также обозначение Г ^ .— Прим. •

перев.

3) Если в лаграпжевой плотности (1.5.6) символы Кристоффеля не считать независимыми, то, действительно, уравнения в форме (1.4.19) оказываются непригодными, и вместо них приходится писать уравнения для лагранжиана со вторыми производными потенциала

Однако существует и другой подход (метод Палатнни, уже упомя­ нутый нами в примечании на стр. 25), когда метрический тензор и символы Кристоффеля варьируются (собственно вариации!) неза­ висимо друг от друга. Тогда для лаграпжевой плотности (1.5.6) в качестве уравнений Лагранжа подучаются как уравнения Эйнвк тейна (1.5.1) (варьирование но метрическому тензору gm]l), так и «уравнение» для символов Кристоффеля (1.5.5) (варьирование но этим последним). В теореме Нётер, учитывающей законы преобра­ зования нолевых величин, при этом необходимо пользоваться обоб­ щенным законом преобразования для символов Кристоффеля, ука­ занным в примечании на стр. 25).— Прим, перев.