книги из ГПНТБ / Шмутцер, Э. Симметрии и законы сохранения в физике
.pdfДискретные симметрии в квантовой теории |
141 |
Б. Внгнеровское обращение времени
Ввиду ограниченного объема этой книги мы коснемся здесь лишь вигнеровского обращения времени, представ ление о котором попытаемся перенести из квантовой меха ники в квантовую теорию доля. Требование, чтобы вигнеровское обращение времени в применении к лагранжевой плотности (5.6.1) было преобразованием симметрии, приводит к следующим законам преобразования полевых операторных функций:
а) Ац' (хг) —S'w A ll{xi)^ 'w + — — All(xv, — t),
6) cp'(a:i) = ^ ' w cp(a;i) ^ |
w + = (p(a:vi |
— t); |
(6.4.30) |
||
|
|||||
а) Ф |
= ATтуФ {pA) SAw+= Q-тФ (xv, |
— t), |
(6.4.31) |
||
б) Ф+) (ж!) = |
^ Ф * (з:*) |
= а /Ф * (^ , |
— t). |
||
|
|||||
При этом должно выполняться равенство |
|
|
|||
|
(Хт*ССт = 1. |
|
(6.4.32) |
||
При повторном применении вигнеровского обращения
времени к (6.4.31) нолучаем |
также |
в предположении |
II И* |
|
|
' |
1, |
(6.4.33а) |
а Т2 = |
||
откуда |
|
|
cCj* — -4-1. |
(6.4.336) |
|
В этом состоит принципиальное отличие законов преобра зования (6.4.31) от формул классической теории, что видно из сравнения с (4.2.17).
Обнаруживается, что как для плотности электрического тока (4.2.5а), так и для плотности заряда (4.2.56) обеспе чены правильные трансформационные свойства.
В случае свободных полей инвариантными относитель но вигнеровского обращения времени будут и переста новочные соотношения (6.4.8) — (6.4.11).
Мы воздержимся здесь от приведения законов преобра зования операторов рождения и уничтожения.
142 |
Глава 6 |
Для интегральных величин (6.4.12) — (6.4.16) следуют разумные законы преобразования
а) S'wQS~w+ — (?i
(В АМ )
б) ^ w^ - ^ P ^ w * = - (К- Г)^ю
в) S 'w& - VHS'w* = (К- r)tf;
а) S'w W Pv.S'w *^ - W P llt
(6.4.35)
б) S w(mH S w+ = №I-I.
Явный вид оператора вигиеровского обращения времени мы также не станем здесь выписывать.
В. Зарядовое сопряжение
Законы преобразования, соответствующие всем требо ваниям зарядового сопряжения, имеют вид
а) Ф' = !ёФ'ё+ = асФ+, б) ф+, = «ф+®+ = ас*Ф,
(6.4.36)
в) Ат'=<6Ат%* = ~ А т.
Чтобы показать инвариантность лагранжевой плот ности (5.6.1) п правильные трансформационные свойства физических величин, существенно писать все эти выраже ния в виде нормальных произведений, так как лишь при таком стандартном расположении сомножителей удается получить требуемые результаты. При этом усло вии для введенного выше коэффициента получаем
ас*ас = 1. |
(6.4.37) |
В случае свободных полей нетрудно также показать инвариантность перестаиовочных соотношений и вывести законы преобразования для операторов рождения и уни чтожения. Мы не приводим здесь эти результаты ввиду ограниченного объема книги. Теперь мы можем вывести законы преобразования интегральных величин, имеющие вид
a) Q' = |
= |
- <?, б) |
(К~Г)7 у = & K~V)P ^ |
= (К~Г)Р^, |
|
В) |
1К“ Г)Я ' = |
« (К~Г)# « + = (К-Г)Я , |
(6.4.38) |
Дискретные симметрии в квантовой теории |
143 |
д) (М)Я ' = Л Н ^ = СМ)Я.
Построение оператора зарядового сопряжения осущест вляется аналогично тому, как это делалось в случае опе ратора четности.
§о. Система, состоящая аз максвелловского
идираковского полей
Вэтом параграфе мы также даем лишь набросок соот ветствующей теории. Здесь мы опять постараемся по возможности рассматривать систему связанных полей. Результаты, уже полученные для максвелловского поля, здесь можно было бы просто вновь воспроизвести, но от этого мы воздержимся.
А. Пространственное отражение
Лагранжева плотность (5.6.12) инвариантна относи тельно пространственного отражения, если бисниноры преобразуются по закону
|
а) Ч" (ж1) = & ЧГ(ж*) |
= |
аРу4Ч?( - a* |
t), |
(6.5.1) |
||
|
— |
.— |
|
- |
а Р*4е{ — |
|
|
|
б) Ч" (ж*) = 0*ЧГ (ж{) 0*+= |
|
|
||||
При |
этом должно |
иметь место равенство |
|
|
|||
|
|
|
аР*аР = |
1. |
|
(6.5.2) |
|
Это |
обеспечивает |
хорошие |
трансформационные |
свойства |
|||
плотности 4-вектора электрического тока |
(5.6.14). |
||||||
В случае свободных полей фуръе-разложение дираков- |
|||||||
ского |
поля |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
Чг(®1) = — |
|
|
|
|
X j d^k {eift^ a A ( |
Ул (А*) + |
e~ihJx^ A(k ^ W A(/%)} |
(6.5.3) |
||||
(суммирование по Л от 1 до 2). Здесь VA и WA — постоян ные проектирующие матрицы, возникающие в решении уравнения Дирака для плоских волн. Для них справедли
144 |
Глава 6 |
вы стандартные соотношения ортонормироваиности и пол ноты. Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют
перестановочным соотношениям х)
а) {аА (А'ц), «х (Лц)} = О,
5) {Рл№0. Рл(М} = 0-
в) {схд(AV), Рх (^ )} = 0, |
(6-5.4) |
г) {ал (М » ах (/св)+} = бллб (/св— М -
Д) { М М - Рд(^1)+} = 6Лд б (^ — ад,
тогда как для операторных полевых функций имеем
а) {¥«(*<), |
Т р (?)> = 0 , |
|
6) {У а (х% |
¥ р Й } = |
(6.5.5) |
= i (W A .y —-^-барЛ j = i5«p(ж1—ж*).
Важнейшие |
интегральные сохраняющиеся |
величины |
||
дираковского поля записываются в виде |
|
|||
|
2 |
|
|
|
<2 = е 2 |
j («Л+«Л — Рл+Рл) |
(6.5.6) |
||
|
Л=1 |
J |
|
|
|
2 |
|
|
|
•Рв= |
й2 j М ал+ал + |
Рл+Рл)^(3)/с, |
(6.5.7) |
|
|
л=1 J |
|
|
|
|
2 |
J Й («л+ал + |
|
|
Я = л 2 |
Рл+Р л ) ^ - |
(6-5.8) |
||
|
Л=1 |
J |
|
|
Здесь использовано сокращенное обозначение (6.4.7а). Законы преобразования (6.5.1) теперь можно перепи сать для операторов рождения и уничтожения. При этом
J) Фигурными скобкам обозначены антикоммутаторы.— Прим,
перев.
Дискретные симметрии в квантовой теории |
145 |
следует воспользоваться некоторыми соотношениями для ИЛ и Им . Это приводит к равенствам
а) |
аРа^/ср.) еГ>+ = |
а Р (/сц)а2( — /сД |
б) |
^ P i(V )+S5+ = |
(6.5.9) |
aP (/c|1) р2( — /сй)+. |
Для входящих сюда коэффициентов имеют место соотно шения
а) ар*ар = 1, б) ар*сср=1. |
(6.5.10) |
При этих условиях для сохраняющихся величин спра ведливы законы преобразования
а) &Qfr+ = Q, б) ® Р ^ * = - Р ^
(6.5.11)
в) & Н&+ = В.
Оператор четности удается построить уже известным способом в виде (6.4.21)
|
$Р>= eiP. |
|
|
При этом |
|
|
|
Р = ~ Т J « |
( « 1 (*д)- a P (ДО а2 |
( - Д0)+ X |
|
|
X (aj (ДО — |
(ДО а2 |
(— ДО) — |
- |
j d™k (Pi (ДО - |
аР (ДО* р2 (- ДОГ х |
|
X (Pi (ftp.) —аР (ДО* р2 (— ДО)- (6.5.12)
Б. Вигнеровское обращение времени
Здесь мы также ограничимся кратким наброском лишь вигнеровского обращения времени. Подвергая этой опе рации лагранжеву плотность (5.6.12), обнаруживаем, что требование ее форм-инвариаитиости в ранее принятом за основу стандартном представлении, когда
Y i * = — Уи у2*=У2, Уз*=— Уз, |
(6.5.13) |
|
У 4 * = ~ У 4 , Р * = Р , |
||
|
1 0 - 0 1 3 5 0
146 Рлава 6
приводит к законам преобразования
а) ХГ (г1) = J -w W (®<) S'w* = aTf f xY(*v, - /),
б) T" (ж*) = .^ v/F И j 'w += aT*Y (т\ - |
1) y V |
причем |
|
аг*аг = 1 . |
(6.5.15) |
Плотность 4-вектора электрического тока (5.6.14) обла дает правильными трансформационными свойствами.
В случае свободных полей инвариантностью отно сительно вигиеровского обращения времени обладают и перестановочные соотношения (6.5.5) для поля Дирака. Выражения для законов преобразования операторов рождения и уничтожения мы здесь приводить ие будем.
Для интегральных величии (6.5.6) — (6.5.8) следуют
законы |
преобразования |
а) |
ST wQ^~тv* — Q> б) & w P w + — — Pin ,q г- ^0 . |
Мы не будем выводить здесь явного вида оператора вигнеровского обращения времени.
В. Зарядовое сопряжение
Здесь также нельзя обойтись без представления лагранжевой плотности (5.6.12) как нормального произве дения, чтобы доказать ее инвариантность относительно зарядового сопряжения. Постулируемые трансформацион ные свойства
a)4r, = ® W = S 8 ’F1,
(6.5.17)
б) ^ ' = « W + = 1F3,p8S+p
приводят для произвольно взятой матрицы 23 к определяю щему уравнению
у’ 28= — 23(у{)Т- |
(6.5.18) |
Эта матрица определяется с помощью |
принятого нами |
за основу стандартного представления |
матриц Дирака, |
Дискретные симметрии в квантовой теории |
147 |
|
в котором справедливы |
соотношения |
|
( Y i f = — Vu Ы Г = Т2. |
(Уз)Т = — Уз, (?4)T = r<i. |
(6.5.19) |
в виде |
|
|
S3 = a CY2Y4, |
(6.5.20) |
|
так что |
|
|
23Р = -Р $8 (P = iу4). |
(6.5.21) |
|
При этом свободный постоянный множитель ас должен удовлетворять соотношению
“ с*ссс = |
1. |
(6.5.22) |
|
Тогда |
|
|
|
№ |
= |
1. |
(6.5.23) |
Для свободных полей |
нетруднодоказать |
инвариант |
|
ность перестановочных соотношений. Вывод трансформа ционных свойств операторов рождения и уничтожения также не представляет затруднений. Приводить их здесь мы не будем.
Законы преобразования указанных выше интеграль ных величии выражаются тогда в виде
а) 4SQ9S* = - Q , б) |
= Рц, |
в) Ю Т + = Я. |
(6.5.24) |
|
Здесь также применяется использованный выше метод явного построения оператора зарядового сопряжения.
§ 6. &ЗГ<6-теорема Паули гь Людерса
До сих пор мы исследовали по отдельности три дискрет ных преобразования ЗГ и % как в общем виде, так и в приложении к конкретным полям. При этом удалось пайти, что теории полей Максвелла, Клейна — Гордона и Дирака инвариантны относительно каждой из этих операций. Мы переходим теперь к оР^Г^-теореме, в которой, наконец, устанавливается взаимосвязь между всеми этими тремя преобразованиями. Затем мы выясним связь этих вопросов с лореиц-инвариантностыо конкретной теории.
10*
148 Глава 6
Указанная теорема была открыта еще в то время, когда не возникало сомнений об инвариантности физических теорий относительно каждой дискретной операции в от дельности, а именно до 1956 г. На конкретных примерах обнаруживалось, что теории, инвариантные относитель но собственных преобразований Лоренца и пространствен ных отражений, инвариантны также относительно обра щения времени или зарядового сопряжения [14]. Людерс смог показать [15], что ^-инвариантная релятивистская квантовая теория какого-либо поля автоматически инвариантна и относительно комбинированной операции %5~ ■Дать окончательное общее доказательство этой теоре мы удалось в 1957 г. Паули [16]. Дальнейшие важные исследования в этом направлении принадлежат Беллу и Посту [17].
Эти результаты приобрели исключительную важность, когда было открыто, что в ядерпой физике существуют взаимодействия, не инвариантные относительно отдельно взятых дискретных преобразований. Так, большую извест ность получила замечательная теоретическая работа Ли н Янга [4], в которой ими было предсказано нарушение
-инвариантности в слабых взаимодействиях. Такое нару шение этой симметрии приводит, согласно изложенной выше теории, к иесохраненшо пространственной четности. Тем самым была поколеблена прежде не подлежавшая сомнениям уверенность в право-левой симметрии законов природы. Таким образом, в процессах, обусловленных сла быми взаимодействиями, в частности в процессах, в кото рых участвует нейтрино, правое и левое винтовые направ ления оказались неравноценными.
По вопросам, связанным с доказательством аР^Г^-тео- ремы, мы отсылаем читателя к специальной литературе, так как оно требует привлечения мощных теоретико-груп повых методов. Содержание же этой теоремы таково.
Если квантовая теория данного поля удовлетворяет требованиям:
а) локальности, б) инвариантности лагранжевой плотности, имеющей
вид нормального произведения, относительно соб ственных преобразований Лоренца,
в) стандартной связи между спином и статистикой,
Дискретные симметрии в квантовой теории |
149 |
г) коммутативности бозе-лолей со всеми остальными независимыми полями и антикоммутативности фер- мн-полей со всеми другими независимыми фермиполями,
то эта теория инвариантна относительно комбинирован ной операции
Тот факт, ято комбинированный оператор S333^ не мо жет быть пропорционален единичному оператору, т. е. что речь идет пе просто о тождественном преобразовании, следует из обращения порядка сомножителей под дей ствием оператора ЗГ (в швингеровской формулировке).
S333^-теорема играет важнейшую роль в физике ядра и элементарных частиц, позволяя там делать целый ряд предсказаний о протекании процессов, наблюдаемых экс периментально. Здесь невозможно дать исчерпывающее изложение этих вопросов. Мы хотим лишь охарактеризо вать здесь область применимости этой теоремы (диапазон проблем) на двух конкретных примерах.
1. Для системы частиц, согласно сделанным выше заключениям, дискретные операции, взятые по отдель
ности, представляются следующим образом: |
|
частицу |
|
Пространственное отражение переводит |
|||
с координатами хЩимпульсом р д и спином dд в части |
|||
цу с координатами —жЩ импульсом —р (1 |
и спи |
||
ном dд. |
|
|
|
Обращение времени переводит частицу с коор |
|||
динатами жЩ импульсом р д и спином |
в частицу |
||
с координатами жЩ импульсом —р^ и спином —d |
|||
Обращение времени сказывается на состоянии си |
|||
стемы таким |
образом, что влетающая (вылетающая) |
||
частица превращается в вылетающую (влетающую). |
|||
Зарядовое сопряжение оставляет без изменения |
|||
координаты, |
импульс и спин частицы, |
заменяя ее, |
|
однако, на соответствующую античастицу.
На этом основании следует заключить, что вероятно сти следующих двух процессов должны совпадать (ин дексы, характеризующие частицу, отброшены):
I. Частица (аД\ ptl, d^)-*- частица (ж»1, p(i, d^).
И. ^Античастица ( — хЩ р^, — dH)- v античастица ( —ж11,
Рц,
150 |
Глава б |
2. Примерами процессов, обусловленных слабыми взаимодействиями, являются реакции
п р+-|- е~ + v ([3-распад),
ц— е —|—v —v,
я-»- ц + v.
Несохранение пространственной четности было экс периментально подтверждено, в частности, в опытах By, где использовалась ядерная реакция [3-распада
Co60-)-N i00 -|-e- + v.
В этих опытах измерялась угловая зависимость ско рости b электронов, излучаемых атомами кобальта, поме щенными во внешнее магнитное поле SB (образец во избе жание тепловых возмущений находился при сверхнизких температурах). Так как скалярное произведение (bSB) является псевдоскаляром относительно пространственных отражений, угловое распределение должно обладать асим метрией, если слабые взаимодействия нарушают ^-ин вариантность.
Согласно оТ5.[Г'ё-теореме, слабые взаимодействия долж ны также нарушать и ^'^-инвариантность.
Сначала полагали, что при нарушении ^-инвариант ности должна сохраняться хотя бы аТ^-инвариантность п должно быть справедливо утверждение: «Наблюдаемый в зеркале процесс отличается от исходного заменой частиц на античастицы» 1). При этом, согласно аР^Г^-теореме, слабые взаимодействия оставляли бы в силе и S -инва риантность. Однако в 1964 г. и это утверждение подверг лось серьезным сомнениям. Именно, Кристенсен, Кроннп, Фитч и Тэрли детально исследовали распад нейтрального К 2-мезона на два пиона
/£ 2 -> -H + - f я - .
Результаты позволяют думать, что зеркально отраженный процесс, имеющий место для античастиц, в природе ие идет с той же кривой распада, что и исходный. По-види
х) См. замечательные рассуждения по этим вопросам, опублико ванные в 1957 г. Ландау .([23], стр. 349 н 352).— Прим, перев.