книги из ГПНТБ / Шмутцер, Э. Симметрии и законы сохранения в физике
.pdfДискретные симметрии в квантовой теории |
131 |
отсюда «правильное» обращение времени не ограничивается просто преобразованием (6.2.14), а требует дополнитель ной операции в смысле Вигнера или в смысле Швингера.
Шрёдипгеровское представление
Преобразование обращения времени в приложении к перестановочным соотношениям или уравнениям движения для операторов здесь не имеет каких-либо осо бенностей. Поэтому мы сосредоточим внимание на урав нении Шрёдингера (6.2.11).
В шрёдингеровском представлении произвольный век тор состояния можно представить в виде фурье-разло- жения
I Ф 00) = 2 фт (t) |т) |
или (ф 00 |= 2 (m I Фт* (0- (6.2.35) |
т |
т |
а) Вигнеровское обращение времени. В силу (6.2.28а)
из (6.2.35) получаем
|Ф (t)}' ^ {*TW |ф |
= |
(ф (t) |. |
(6.2.36) |
Применяя теперь оператор £Гw к |
уравнению (6.2.11), |
||
находим |
|
|
|
{ ^ w (I I (^ (t), ^ ( 0 ) | Ф ( 0 ) ) } = - ^ 4 ( Ф ( 0 1 - |
(6-2.37) |
||
Чтобы далее преобразовать это уравнение, необходимо прояснить смысл его левой части. Отождествим систему собственных кет-векторов |т ) с собственными вектора ми оператора Гамильтона; тогда
#|Ф (0> = 2Ф т(*)£т|та>
и далее
{JTW (II |ф т } = 2 (т |Фт* (t) Ет=
т
= 2 (т |НФт* (t) = (Ф (/.) |Н.
т
Поэтому уравнение (6.2.37) переходит в уравнение
<Ф(*)|Я=-^4-<Ф(0|-
9 *
132 |
Глава 6 |
Эрмитово сопряжение дает отсюда уравнение Шрёдингера в обычном виде, что и доказывает его форм-иивариаитность. Тем самым оправдываются и предположения (6.2.28).
Согласно равенству (6.2.32), шрёдингеровские соб ственные функции
(?ц) = (ЯI т) |
(6.2.38) |
при обращении времени претерпевают комплексное сопря жение:
3 |
VK+ = |
|
Сделаем еще два замечания относительно уравнения |
||
Шрёдингера в координатном представлении |
|
|
HDG>{q»,t) = |
дф (qa, i) |
(6.2.39) |
ih — |
||
где Н D — дифференциальный оператор |
Гамильтона. |
|
Поскольку, строго говоря, речь идет о классическом урав нении, рассмотрение можно проводить в духе гл. 4, § 2. Последовательно производя преобразование t t! = —t (также в присутствии электромагнитного 4-потеициала), приходим к уравнению, принимающему при комплексном сопряжении вид исходного уравнения Шрёдингера, по уже для волновой функции Ф*, которую следует рассматри вать как обращенную во времени:
Ф' = S'yftbS'w = Ф*.
Этот результат вполне согласуется с выводом (6.2.32).
б) Швингеровское обращение времени. Так как в этом
случае преобразование векторов состояния совпадает с имеющим место в теории Вигнера, от рассмотрения этого случая мы воздержимся.
§ 3. Квантовая теория поля
А. Пространственное отражение
Полностью в духе общей формулы преобразования
(5.3.8) запишем
и а, ( х {) = & и а ( х * ) & +. |
(6.3.1) |
Дискретные симметрии в квантовой теории |
133 |
Оператор сГ> обладает свойством унитарности |
|
&+ = №~1. |
(6.3.2) |
Из (6.3.1) следует равенство |
|
и а«(х<)=:& 2и а (х{)& +2. |
(6.3.3) |
Вектору вакуумного состояния мьг по определению при пишем четность -)-1:
|
|
|
|
0*|О)=+|О>. |
|
(6.3.4) |
||
|
|
Б. Обращение времени |
|
|
||||
Будем описывать |
обращение |
времени |
как |
операцию |
||||
|
|
|
и а.{х 1) = £Гиа (х1) Г +, |
|
(6.3.5) |
|||
потребовав унитарности S ' |
|
|
|
|
||||
Отсюда следует |
|
S * = S ~ В |
|
(6.3.6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ua.(xl) = .r*U a (x{) S +2. |
|
(6.3.7) |
||||
Как |
известно из квантовой механики, операция обраще |
|||||||
ния |
времени антилинейна. |
|
|
|
|
|||
В духе предыдущих предположений вигнеровское обра |
||||||||
щение |
времени определяется соотношением {S |
— S w): |
||||||
|
|
Ua>{xi) = S 'w UQ{xl)S 'w +i |
|
(6.3.8) |
||||
кроме |
того, |
|
|
|
|
|
|
|
a) |
S w ^ ’S 'vv"+ = |
ос*, |
б) |Ф) = |
{S w ] Ф)} = (Ф ] • (6.3.9) |
||||
Швингеровекое |
обращение |
времени |
соответственно |
|||||
дается соотношениями |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ua. (х*) = S |
sUQ(х*) S s+, |
|
(6.3.10) |
|||
|
|
S's {Ua (®‘) 7s (a;1)) ? |
» = |
Vs . (a:*) UQ. (x% |
(6.3.11) |
|||
|
|
|
|Ф/ = {^ -в|Ф>}^<Ф;|. |
|
(6.3.12) |
|||
134 |
Глава б |
В. Зарядовое сопряжение (переход от частиц
кантичастицам)
Как было отмечено выше, это преобразование специ фично для квантовой теории поля. Определим его соот ношениями
ъ )У а '= Ъ и № , б) \Ф)' = гё\Ф). |
(6.3.13) |
Преобразование зарядового сопряжения не влияет на координаты. Для него справедливы равенства
а) <S+ = %~1, б) %* = %, т. е. 9 Р = 1 . (6.3.14)
Оператор преобразования $ определяется таким образом, чтобы под его действием произвольный заряд Q менял свой знак:
a) 4SQ9S= — Q, или б) %Q + QCS = 0. |
(6.3.15) |
Последнее равенство находится в противоречии с требо ванием
[«,<?] = 0, |
(6.3.16) |
которое должно выполняться в случае одновременной измеримости наблюдаемых её и Q. Если постулировать справедливость последнего уравнения, то из этого будет следовать существование общей системы собственных векторов
a) |
Q\q) = g\q), |
б) |
t@\q) = l c \q)> £ с = ± 1 ; (6.3.17) |
||
здесь |
q — собственные |
значения оператора |
заряда Q, |
||
а Ес — собственные |
значения |
оператора % |
(зарядовая |
||
четность). |
|
|
|
|
|
Умножая соотношение (6.3.156) на |q ), в силу (6.3.17) |
|||||
получаем равенство |
|
|
|
(6.3.18) |
|
|
|
lcq}q) = |
0. |
||
Отсюда видно, что зарядовая четность может быть опре делена лишь для системы, полный заряд которой равен
нулю |
(q = 0). |
Известным иллюстрационным |
примером |
|
может |
служить |
позитроний. |
|0) мы по определению |
|
Вектору вакуумного состояния |
||||
приписываем зарядовую четность |
Ес = 1, так |
что для |
||
него |
|
+ |0>. |
|
(6.3.19) |
|
|
|
||
Дискретные симметрии в квантовой теории |
135 |
|
§ 4. С и ст ем а , сост оя щ а я и з |
.максвелловского |
|
г1 к л еи н -гор доп овск ого |
п о л ей |
|
Мы будем исходить здесь из основ, заложенных в гл. 5, § 6, и сравнивать результаты квантовой теории поля
свыводами из классической теории, полученными в гл. 4,
§2. При этом по возможности будет рассматриваться система связанных полей, и лишь позднее будет нало
жено ограничение свободных полей.
А. Пространственное отражение
Общая теория
Требование, чтобы пространственное отражение было в применении к лаграижевой плотности (5.6.1) преобра зованием симметрии в духе (6.1.1), приводит к следую щим законам преобразования полевых операторов:
а) |
AIX'{x i) = S bAtl{xi) & + = — All{ — xv, t), |
(6.4.1) |
|
б) ф' (х{) = аРср(х{) <£Р+ = tp( — £v, t); |
|
а) Ф' (х1) = &Ф (х1) аР>+ = аРФ ( — xv, t), |
(6.4.2) |
|
б) |
Ф+' (ж{) = &Ф+ (х{) = ссР*Ф+ ( — xv, t). |
|
Здесь а Р — комплексное постоянное число, подчиненное
условию |
(6.4.3а) |
аРаР= 1. |
Повторное применение оператора четности к (6.4.2) в пред
положении е?52 = 1 дает, кроме того, |
|
а% = 1, |
(6.4.36) |
так что |
(6.4.3в) |
а Р = + 1 . |
Число аР называют собственной четностью поля.
Два соотношения (6.4.1) можно объединить в одно:
Ат'{х 1) = сРАт^х1) ^ = 1тАт( — t); (6.4.4)
при этом знаковый множитель
— 1 для т — 1, 2, 3,
-f 1 для т —4.
136 |
Глава 6 |
Суммирование по повторяющимся дважды индексам т здесь отсутствует (расстановка индексов также не пред писывает суммирования). Законы преобразования (6.4.1)
и(6.4.2) согласуются с классическими формулами (4.2.7)
и(4.2.9).
Мы установим далее, что для плотностей электриче ского тока и заряда, а также и для самого электрическо го заряда обеспечены правильные трансформационные свойства.
Свободные поля
В случае свободных полей фуръе-разложения имеют вид
Ф (Д - |
* |
\ г / |
- ° с2 |
(a (A(l) e'bjA -f |
|
|
(2л)3/2 |
J ^ |
й (ft) 7* |
^ |
|
|
|
|
|
+ Р+(Ац)е-г''г^ 3)й<з)^, |
(6.4.5) |
Ат (%') = (2л)3/2 |
5 > |
2й (ft) |
бт ^ Х |
|
|
|
X (as (А|Х) |
+ |
(Ац) e -ift^ J) cZ(3,/c. |
(6.4.6) |
|
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
a) Q(А) = с | / А3 + - ^ — , |
(6.4.7) |
||
б) Q(A) = cA= — сА4
и в (6.4.6) проводится суммирование по 2 от 1 до 4. Если не выписывать коммутаторов, равных нулю, то для опе раторов рождения и уничтожения имеют место переста новочные соотношения
а) [а (АД а+ (АД = 8 (Ац— АД
б) IP (АД РДАД = 6(Atl— АД
[аА (АД аД (АД = 6Л-5 (А^— АД |
(6.4.9а) |
[% (АД Яз (АД = [я4 (АД б/, (АД = б (А^ А^).
(6.4.96)
Перестановочные соотношения для полевых функций
(операторов) имеют вид 1)
*) О перестановочных функциях см., например, в монографии
[24].— Прим, перев.
Дискретные симметрии в квантовой теории |
137 |
||
а) [ф(®0, |
Ф И 1 = 0, |
(6.4.10) |
|
б) [Ф (х% Ф+ (?)] = |
- |
Д {х1- -?), |
|
[Лт (х{), А п (х*)] = |
1атп{х* — х1). |
(6.4.11) |
|
При этом в основу квантования максвелловского поля кладется предложенная Балатэном и развитая нами далее
процедура, |
использующая |
сильное условие Лоренца |
(а3 + а4 = |
0), калибровочло |
инвариантный лагранжиан |
и гильбертово пространство с определенной метрикой [13].
Для основных интегральных сохраняющихся величин
поля Клейна — Гордона |
следуют выражения |
|
|||
Q = е j |
(а+а — Р+|3) d<3)k, |
(6.4.12) |
|||
|
/j f Ajj(а+а-[- Р+Р) dl3>k, |
(6.4.13) |
|||
|
%> |
|
|
|
|
( K - T ) j j = |
h j |
q |
( а |
+ а + p + p ) # 3 > f c |
(6.4.14) |
и для поля Максвелла |
2 |
|
|
|
|
|
|
j |
|
(6.4.15) |
|
(Ж)Рц = |
ti |
2 |
k^aA+aAda)k, |
||
|
л=1 J |
|
|||
|
|
О |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
(6.4.16) |
(И># = |
Й 2 |
j |
®ал+аЛ# 3>к. |
||
|
л= 1 |
J |
|
|
|
Здесь и далее индекс А пробегает поперечные степени свободы максвелловского поля, т. е. А = 1, 2.
Применяя законы преобразования (6.4.1) и (6.4.2) к операторам рождения и уничтожения, получаем соот ношения
|
а) |
Фа (&tl) 0*+ = аРа ( — &Д, |
|
|
б) |
|
(6.4.17) |
|
^ Р ( ^ ) ^ + = аР^ ( - / %0; |
||
а) |
55ал(/сД<95+= |
— ( — 1)л ал ( — /сД, |
|
б) |
Sba3(kil) !Г>+ = |
(6.4.18) |
|
а3( — fcu). |
|||
138 |
Глава 6 |
Непосредственное вычисление показывает, что ком мутационные соотношения (6.4.8) — (6.4.11) инвариантны относительно определенного таким образом простран ственного отражения. Тем самым обеспечивается инва риантность всей основы теории Максвелла — Клейна — Гордона относительно отражения.
Для интегральных величин (6.4.12) — (6.4.16) следуют ожидавшиеся законы преобразования:
а) |
= |
б) |
— <к-г)р(и (6.4.19) |
|
|
в) |
^ ( К - В Д + = |
(К -Г)//; |
|
а) |
|
б) |
= <“ >#. |
(6.4.20) |
Явное |
выражение |
для оператора |
пространственной |
четности |
|
в |
случае свободных полей |
|
|
Далее нас будет интересовать задача явного построения оператора пространственной четности (часто называемого просто оператором четности). Оператор SP мы представим при этом в виде
(6.4.21)
В случае поля Клейна — Гордона соотношения (6.4.17) принимают вид
а) егРа (АД е-1Р = ара ( — АД,
б) e,'pP(^l)^_ip = ap*P(—К ) ’
причем Р = Р +.
Рассмотрим сначала первое из этих соотношений. Применяя здесь вспомогательную формулу (6.1.12), нахо-
дим (забегая вперед, подставляем Р |
а |
Р)\ |
|
а (АД + г [Л а (АД] + -J - [Р , [Р, а (АД]] + . . . = |
|
= аРа ( — АД. |
(6.4.23) |
Это равенство удовлетворяется, если принять
Д искретные симметрии |
в квантовой теории |
139 |
Оператор Р определяется из (6.4.24) как |
|
|
Р = — % \ а+(М (К)- |
( - Ад)] <*,3,А = |
|
= — -j- j [а (Ад) — а Ра ( — /<:я)Г X |
|
|
X [а (Ад) — а Ра ( — Ад)] dl3>k. |
(6.4.25) |
|
Рассмотрим аналогичным образом и второе из соотноше ний (6.4.22), придав ему подобную же структуру. На ос новании коммутативности полученных операторов в конце концов находим
( K - r )jP e |
J (а + {kii) [ а (/v ) _ а р а ( _ Ад)] + |
+Р+ (Ад) IP (Ад) — “ р Р ( — Ад)]) dt3)k =
=— ^j ([« (Ад) — а Ра ( — Ад)]+ [а(Ад) — а Ра ( — Ад)] -)-
+ IP (Ад) — к р Р ( — М Г IP (Ад) — “ р Р ( — M l) d‘3)A- (6.4.26)
Поскольку
(К-Г)р 10) = О,
в согласии с (6.3.4) получаем
(К-г)|р 10) = |0).
Так как оператор <к—г)р является сохраняющейся вели чиной, для него должно выполняться соотношение
[(К-Г)^ (к-гуу] = о.
Оно проверяется и непосредственным расчетом. Поэтому для операторов (к—п р и (К—г)jj мо>кно построить общие собственные векторы состояния. Собственные векторы оператора Гамильтона, получаемые многократным приме нением оператора рождения с определенным значением волнового числа к вектору вакуумного состояния, еще не являются собственными векторами оператора четности. Однако, так как собственные зиачеиия энергии вырождены (одно и то же значение энергии имеют состояния с Ад и с —Ад), общие собственные векторы состояния строятся путем линейной комбинации. Таким образом, одночастич
140 |
Глава 6 |
ному состоянию, построенному с помощью а + (Ад), соот ветствует общий для обоих операторов собственный вектор
|1(Ад))* = ^ ( 1 1 ( А д ) ) - а Р |1(--Ад)>), |
(6-4-27) |
где |
|
11 (*д)> = сс+ (Ад) |0). |
|
Расчет дает |
|
(К-D P 11 М д = = _ „ | 1 Ы е . |
(6.4.28) |
Отсюда следует, что для такого состояния оператор (к—r)«j$ обладает собственным значением —1 и т. д.
Теперь можно спросить, как существование новой со храняющейся величины — четности — объясняется тео рией Нётер. Вид выражения (6.4.26) показывает, что опе ратор четности обладает нелокальной структурой, так как в подынтегральном выражении содержатся операторы рождения и уничтожения, зависящие как от Ад, так и от — Эта нелокальность переносится и на координат ное пространство. Но теорию Нётер понимают как локаль ную теорию, и поэтому она не запрещает появления новых нелокальных сохраняющихся величин.
По аналогии с тем, как это было в случае поля Клей на — Гордона, оператор четности можно построить и для
максвелловского поля. При |
этом |
получаем выражение |
|||
= — y j |
2 |
|
|
|
|
d^k 2 ал+ ( К ) |
(аА( К ) |
+ ( - 1)лял ( |
- Ад)) = |
||
|
Л = 1 |
|
|
|
|
= - т J |
2 |
|
|
|
|
d a ) , c 2 («А ( К ) + |
( - 1)л «л ( - К ) У X |
||||
|
Л=1 |
|
|
|
|
|
х (ал (Ад) + |
( - |
1)л ал ( - К )), |
(6.4.29) |
|
которое следует подставить в формулу (6.4.21).