книги из ГПНТБ / Шмутцер, Э. Симметрии и законы сохранения в физике

путем интегрирования находим соотношение

которое является~аналогом в квантовой теории поля гейзенберговского уравнения движения квантовой механики.

Большой интерес представляет и соотношение (5.5.3). Рассмотрим его частные случаи для конкретных полевых операторов. В случае инварианта (скаляра) U имеем

ghiUj — ghjUi + Uk,jXi — Uh, iXj=-?jr [Dij, Uh]. (5.5.10)

Аналогично можно записать его и для тензоров высших рангов.

Исходя из общих основных соотношений (5.5.1) — (5.5.3), можно вывести ряд важных соотношений, в кото­ рых в состав коммутаторов входят те или иные сохра­ няющиеся величины. Приведем некоторые из них, огра­ ничиваясь, однако, случаем лагранжианов, не зависящих явно от координат:

6) [Dih Dmnl] = iti{Dmnl,jx i- D mn!, ix. + Dmjlgin-

- Dmigjn+ DmnjgilDmnig/ + D,nlg ? - D tnlgjm}.

8 - 0 1 3 5 0

причем плотность (электрического) 4-тока (2.3.7), удов­ летворяющая уравнению непрерывности (3.5.2)

записывается в виде

jh= 2^г [•• Ф+Ф’ 1 - ф +' *Ф— ф+ с М*:] • (5-6.4)

При этом нужно иметь в виду, что максвелловское поле в отличие от поля Клейна — Гордона эрмитово:

Ат+= Ат.

Такое упрощение картины имеет место ввиду выбора веще­ ственной метрики с сигнатурой (+ , + , + , —), т. е. использования галилеевых координат. В координатах Минковского положение усложняется ]).

Заметим еще, что нормальное произведение для свобод­ ного поля Клейна — Гордона Ф, представимого в виде

(слагаемые А и В + обладают соответственно свойствами оператора уничтожения и оператора рождения), вследствие бозевского характера этого поля удовлетворяет следу­ ющим соотношениям:

: Ф (7 ) Ф+ {if): = М+ {if) А (ад ) -}- А (лД) В {if) -)-

в которой временная координата мнимая.— Прим .' перев.

8 *

Для произвольного вектора состояния |Ф) справедливо уравнение движения

Оператор Гамильтона II н оператор Лагранжа L связаны между собой соотношением

L (Си, Ол, t) = S SPaQa - Н (QA! «рА, t) (5.6.26)

А

(тонкой обозначена полная производная по времени).

Принцип Гамильтона

По аналогии с классической механикой (см. гл. 2, § 2) можно ввести канонические преобразоваипя. При переходе к бесконечно малому каноническому преобразованию мы приходим к инфинитезимальному генерирующему (про­ изводящему) оператору I, удовлетворяющему по аналогии с (2.1.23) уравнению

Подгоняя друг к другу бесконечно малые каноническое и унитарное преобразования в смысле (5.4.1), получим уже записанное как (5.4.6) соотношение

Для случая системы материальных точек при наличии лишь внутренних сил величина I становится сохраняющей­ ся и принимает вид

J = - a S $ Q- ^ / - b S ( C q X ? q) -

- b ( < 2 f e - S m n C i o ) . (5.6.306)

8 О

ГЛАВА 6

ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ

ВПЕРЕД ЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

ИВ ЧАСТНОРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

§1. Общая теория

Вгл. 4, § 1, мы рассматривали несобственные преобра­ зования Лоренца. Так как там не делалось никаких пред­ положений о природе полевых функций, все сделанные

выводы можно перенести без каких-либо ограничений на квантовую теорию поля. К несобственным (дискретным) преобразованиям Лоренца в квантовой теории поля до­ бавляется еще одно важное дискретное преобразование, чуждое классической теории, а именно преобразование зарядового сопряжения (переход от частиц к античасти­ цам). Так как характерным элементом квантовой теории поля является учет частиц и античастиц как квантов данного поля, зарядовое сопряжение представляет собой специфическую операцию квантовой теории поля.

Ниже дается общее изложение теории дискретных симметрий.

В ходе квантового обобщения непрерывных преобра­ зований нас интересовали унитарные или антиунитарные преобразования U, так как они обладают важным свой­ ством оставлять инвариантными вероятности переходов.

описывать преобразование симметрии; при этом, согласно (5.3.10), выполняется соотношение

мы еще прежде могли установить форм-инвариаитиость уравнений движения. Пусть это предположение сохраняет силу и для дискретных преобразований.