книги из ГПНТБ / Шмутцер, Э. Симметрии и законы сохранения в физике
.pdfНепрерывные симметрии в квантовой теории |
101 |
И
оператор импульса
Из них строится оператор Гамильтона (гамильтониан)
Н = Н {Ъ А, |
t), |
причем время t фигурирует как параметр.
Вквантовой теории поля нам приходится иметь дело
ссистемой независимых полевых операторов
иА (ж*) |
{А = 1 ,2 , .. .) |
— основных в этой теории величин. Галилеевы координа ты х‘ играют здесь роль параметров. Если теория поля формулируется таким образом, то говорят, что она локаль на в противоположность нелокальным теориям ноля, формулируемым различными способами, например с по строением функционалов путем интегрирования и т. п.
В определенном смысле имеет место формальное соот ветствие
t -> xi,
&А ( 0 UА № ) == UА (X " , t).
Последнее соотношение может быть истолковано как под ход к квантовой теории поля как к квантовомеханической системе с несчетно-бесконечным числом степеней свободы ввиду непрерывного характера координатного простран ства, описываемого координатами жЩ
Так как, вообще говоря, иЛ* ф иА (если задача не сво дится к частному случаю эрмитова поля), часто бывает целесообразно рассматривать совместно полевые операто ры и эрмитово сопряженные им операторы х):
{t/a} = K i, иА+}.
Индексы Q, Г, Л меняются в пределах размерностей про странства полевых операторов и соответствующих эрмито во сопряженных операторов.
*) Очевидно, что комплексная переменная равноценна двум вещественным переменным, а так как комплексное сопряжение не является линейной операцией, то получающееся удвоенне числа степеней свободы удобно отразить в указании исходной комплекс ной переменной и сопряженной ей. Положение совершенно анало гично в случае применения эрмитова сопряжения.— Прим, перев.
102 |
Глава 5 |
В лагранжевой формулировке теории поля оператор лагранжевой плотности
A = A(C/fil Ua,u **) |
(5.1.4), |
играет центральную роль. Ои связан с оператором Лагран жа (лагранжианом) L следующим образом:
L {t)= \ A {U q, Uaii,x*)d'*>x. |
(5.1.5) |
|
v3 |
|
|
Из физических соображений |
требуется эрмитовость L: |
|
L = |
L +, |
(5.1.6) |
ибо в противном случае важные физические операторы конструируемые из L, не будут наблюдаемыми.
Это требование эрмитовости автоматически выполняет
ся при эрмитовости лагранжевой плотности: |
(5.1.7) |
А = А +, |
хотя постулату (5.1.6) удовлетворяют и неэрмитовы лагранжевы плотности, если их можно «исправить» добавлением подходящего дивергенциального выражения. Все же фор мально очень удобно принять соотношение (5.1.7), так как при этом мы имеем симметрично построенную теорию, в которой весьма просто производится переход от исход ных уравнений к соответствующим эрмитово сопряжен ным уравнениям поля.
§ 2. Лагранжев формализм, теорема Нетер, дифференгщальные и гттегральные законы сохранения
Внешне оператор лагранжевой плотности (5.1.4) имеет тот же вид, что и классическая лагранжева плотность. Но если последняя может обычным образом дифференци роваться по полевым функциям и их производным, как это и делалось в предыдущих главах, то дифференцирова ние оператора по оператору уже проблематично ввиду того, что в общем случае входящие сюда операторы не ком мутируют друг с другом. Это проще всего пояснить па примере операторной функции
/ = ЮИ=Я*,
Непрерывные симметрии в квантовой теории |
103 |
для которой можно получить соотношение d/ = ?I {с№)+ (<ЭД)И,
откуда, вообще говоря, отнюдь не следует соотношение
В литературе имеются различные попытки определения разумного выражения для частного дифференцирования по оператору, ио все они представляются нам более или меиее неудовлетворительными. Наиболее практичным было бы следующее правило, которого мы и станем здесь придерживаться *).
Вычисления проводятся так же, как в классической теории, после чего множители расставляются по правилу нормального произведения.
Нормальное произведение, которое обозначается об рамляющими его двоеточиями, определено таким образом, что при перемножении под его знаком произведений поле вых операторов, куда входит ряд множителей, подразу мевается изменение порядка следования операторов уничто жения и операторов рождения. По определению операто ры уничтожения переносятся в правую часть произведе ния, а операторы рождения — в левую. В ходе такой перестановки следует принять во внимание появление знакового множителя, соответствующего перестановочным соотношениям операторов. Нормальное произведение от суммы равно сумме нормальных произведений.
С учетом этих замечаний мы перепишем основные результаты гл. 3, § 2 и 5, соответственно требованиям квантовой теории поля.
*) Для величия, возникающих при анализе теоремы Нётер, характерно суммирование по компонентам сомножителей [см., на пример, (1.6.18)]. Если при этом берутся пропзводные по операторам, то и умножение полученных символических выражении производит ся на операторы, которые занимают «опустевшие» при дифферен цировании места (так, последнее соотношение можно исправить, обозначая «опустевшие места» точкой: (dj/дЩ = й- + -Я). Однако это позволяет лишь частично уйти от трудностей, не снимая пробле мы, указанной здесь автором.— Прим, перев.
104 |
Глава 5 |
Полная вариация оператора лагранжевой плотности па осиовапип (3.2.3) записывается как
Д А = : ^ |
6НЙ: + [ : П йа5 Н й :], „ + : ~ |
(Д 8Н Й - Ua, тЪт) : + |
|
+ |
[: П ЙПД 8Н Й : + Г : (Agma- |
U0aUQ, т ) :]. |
(5 .2 .1 ) |
причем для полной вариации интеграла действия при новом понимании величины ДА сохраняет силу уравне ние (3.2.4):
AW = - j Д А й 'Ч т . |
(5.2.2) |
С
V.,
Сохраняет внешне свой вид (3.2.5) и формулировка прин ципа экстремума действия Гамильтона.
Исключая появление дивергенциального члена, можно придать определению (3.2.7). преобразования симметрии
вид
ДА = А(бЪ-, и а', г х * ') - А ( и 0, Uо., и лА) = 0 (5.2.3)
(форм-пнвариантность лагранжевой плотности). Для су щественной варпацпи сохраняют силу те же формулы, которые имели место в классической теории, в частности формулы (3.5.11) — (3.5.13).
Дифференциальные законы сохранения (3.3.1) и (3.3,2)
тогда имеют вид (60а = |
0) |
|
f . a = [ейг : ПааПг :]. а = 0, |
(5.2.4) |
|
[: ПйаД5Т/й + Г (Agma- |
ПйаС/й,т ) + (Э1а :], а = 0. |
(5.2.5) |
Канонический тензор энергии-импульса (3.3.6) принимает вид
{KmTta= : J £ - U Qi, : - A g ta. |
(5.2.6) |
a u Q, а |
|
Здесь А продолжает пониматься в смысле нормального произведения, Величины (3.3.5) записываются в виде
$ёа,т ==:П QaSaTmtUr :, |
(5.2.7) |
Непрерывные симметрии в квантовой теории |
105 |
Эти выражения привлекаются для построения симметрич ного тензора энергии-импульса, который сохраняет здесь внешне обычную структуру (3.3.9а)
т3г = (паи)Г.1-1- Ssh him i-cW ihm omih\ (5.2.8)
Подобным же образом остаются внешне неизменными и оба определения тензора момента импульса (3.3.10) и (3.3.15)
■ jyrnni _ |
j_ ^K0 S)j,m i^n |
(к а н )^ т ^ т |
2 |
$ £ ' ПГП) |
(5 2 9) |
|
Dmni= 1 (Tmizn- Tnixm). |
|
(5.2.10) |
||
Формально |
на квантовый |
случай |
можно |
перенести |
|
и запись дифференциальных законов сохранения энергии
и импульса (3.3.7) и (3.3.96), |
а также момента импульса |
||
и закона центра масс (3.3.11) и (3.3.16): |
|
||
а ) |
Скан)Г М ; = 0 . |
б) ТЫi . = 0j |
(5.2.11) |
a) |
Dmni, i — 0, |
в) Dmm, i= 0. |
(5.2.12) |
Интегральные законы сохранения 4-импульса и момента импульса (вместе с законом центра масс) выглядят, как прежде:
а) ^ = 0, б) ^ = 0. |
(5.2.13) |
Сохраняющиеся величины имеют при этом знакомый вид, будучи, однако, построены по правилу нормального про изведения операторов:
Р , = — j |
J |
(-кяи)Т М 3)х = - у |
j |
Т № *> х , |
(5.2.14) |
||
|
x-i=const |
|
|
x4=const |
|
||
|
Dil= |
j |
DiIlld ^ x = |
|
j |
Duidmx. |
(5.2.15) |
|
|
x4=const |
|
.x4=const |
|
|
|
Точно так же и для сохраняющейся величины типа заря да (3.4.21)
Q = - j f \ ) i dfi = |
| pd(3,.r |
(5.2.16) |
V 3 |
x ‘i=eonst |
|
имеет место интегральный закон сохранения в обычной форме (3.4.22)
dQ А
106 |
Глапа 5 |
§ 3. Конечное унитарное преобразование
Рассмотренные нами до сих пор преобразования молено связать с унитарными преобразованиями квантовой теории поля, причем полевой оператор Z7n и вектор состояния |Ф ) или (Ф | преобразуются с помощью унитарного оператора U = (U+) _1:
Ua = W Q\V |
(5,3.1) |
и |
|
|Ф> = U |Ф) или (Ф| = (Ф|и+. |
(5.3.2) |
Отсюда непосредственно видно, что скалярное произве дение, состоящее из кет- и бра-векторов, инвариантно относительно унитарного преобразования:
(¥|Ф) = (¥|Ф). |
(5.3.3) |
Часто особый интерес представляют те унитарные преобразования, оператор которых постоянен в простран стве и времени:
U.m = 0, |
(5.3.4) |
что, в частности, имеет место, если U строится из сохра няющихся величин. Тогда из (5.3.1) следует, что частная производная полевого оператора подчиняется тому же закону преобразования, что и исходный оператор:
и а,т = ъ и n,mU+. |
(5.3.5) |
Функциональная структура (5.1.4) лагранжевой плотности приводит тогда к равенству
A = UA((C/fl, и а,и х*)П* = А (и а, й а,и х% (5.3.6)
т. е. к форм-инвариантности лагранжевой плотности. Интегрируя это равенство по 4-объему, получаем
U( [ (Ua, Ua,i, ^ )d < % )n += |
j A (U a, UQ3, x^d^x. |
C ^ 4 |
Vi |
Отсюда путем варьирования (оператор U как константа движения не подвергается варьированию) находим
U ( j 8A(Ua, Uа, и |
( 6Л(С7П, Ua.u &)Ф*х. |
Vi |
Vi |
Непрерывные симметрии о квантоиой теории |
107 |
Вследствие соотношения
8йа = ш и аи +
условия на границе продолжают выполняться и для пре образованных величин, так что для них сохраняет силу и принцип Гамильтона. Это приводит к использованию прежней лагранжевой плотности в уравнениях Лагранжа для преобразованных величии:
6Л (Ug, UQ< j, xi) |
(5.3.7) |
0. |
|
Следовательно, уравнения поля имеют |
одинаковый вид |
в обеих системах переменных. |
|
Сравним теперь соотношения (5.3.1) и (5.3.5), справед ливые для унитарных преобразований, с соответствующи ми соотношениями для преобразований симметрии. Это
приводит к отождествлению |
|
|
|
Uа = UQ (х{) = UUQ(a:1) U+ = Ua- И , |
(5.3.8) |
||
Ua, i = UQti (х1) = |
UC7B, г (a:*) U+ = |
Ua>, v (a:1) = |
— . |
|
|
|
OX1 |
|
|
|
(5.3.9) |
Здесь необходимо |
помнить о |
расстановке |
аргументов |
и штрихов. Тогда из преобразования симметрии (5.2.3)
следует равенство
A {U a (x% и а,{ (х*'), х*') = Л (Ua (x% Uat i {x% х%
т. е.
иА(С7п(а:г'), £/Ъ, * (аЛ)> х 1') U+ = A(£/q (х{), и а^ (х 1), хг),
что записывается в виде
UA (ж*') U+ = Л (х*). |
(5.3.10) |
Итак, для преобразований симметрии имеем
[U, Л M l ф 0. |
(5.3.11) |
108 |
Глава 5 |
§ 4. Бесконечно малые унитарные преобразования
Бесконечно малые унитарные преобразования описы ваются инфинитезимальным оператором S3, связанным с U соотношением
U = l + i23. |
(5.4.1) |
Так как оператор U унитарен, оператор 58 должен быть эрмитовым:
S3 = 33+. |
(5.4.2) |
Отсюда имеем |
|
tT=-=l — *83. |
(5.4.3) |
Из (5.3.1) и (5.3.2) следуют трансформационные свойства при бесконечно малых преобразованиях:
Ua= U a+ i[® ,U Q], |
(5.4.4) |
|ф) = |ф) г ЭЗ |Ф), или (Ф| = (Ф| — £(Ф|ЭЗ. |
(5.4.5) |
В гл. 2 § 1 мы рассмотрели в нерелятивпстской меха нике материальных точек канонические (в частности, бесконечно малые) преобразования. Теория канонических преобразований может быть построена и для квантовой механики или квантовой теории поля. При этом, однако, внешне лоренц-ковариантность аппарата нарушается вследствие выделения времени. Фигурирующий в таком подходе бесконечно малый генератор I связан с инфини тезимальным оператором S3 равенством
® = - 4 7’ |
(5.4.6) |
что приводит к следующей записи законов (5.4.4) и (5.4.5):
й а = и а- ± Ц , и а], |
(5.4.7) |
или
| ф )= | ф )-| /| ф ), или (ф| = (ф| + | ( ф | / . (5.4.8)
Непрерывные симметрии в квантовой теории |
109 |
Рассмотрим теперь специально унитарные преобразова ния, для которых 33, а значит, и I суть константы дви жения [в механике преобразования симметрии (2.1.32) и (2.1.33) обладали этим интересным свойством и приводи ли к постоянному во времени бесконечно малому генера тору (2.1.35)]. Пусть I строится из некоторой плотности У по правилу
/ = |
j У {х1)& 3'х. |
(5.4.9) |
x4=const
Тогда в силу постоянства
1.Ш = 0 |
(5.4.10) |
получаем из (5.4.7) выражение для частной производной полевого оператора
Ua, m = UQ, m- j [ J , Ua,m). |
(5.4.11) |
Благодаря виду функциональной структуры (5.1.4) лагранжевой плотности находим отсюда
А = Л — 1 [ /, Л] = Л(£70, й а, и х'). (5.4,12)
В случае бесконечно малых преобразований ввиду (5.4.7) отождествление, даваемое соотношениями (5.3.8) и (5.3.9), записывается в виде
AUа s Uа (х') - Ua (.И) = Ua. (х1) - |
Un (х‘) = |
|
= ALUQ + 8Ua= - j [ I , Ua], |
(5.4.13) |
|
kUQ'i = Ua,i (a;1) — Па, i {&) = UQ- |
, {x') — Ua<, (a;1) = |
|
= ALUnti + 8UQ,i = |
- 1 [ 7 , Uati). |
(5.4.14) |
Это дает |
|
|
(ДПо),г = АПй,г |
(5.4.15) |
|
в согласии с полученным ранее выводом, что локальная вариация перестановочна с операцией частного диффе ренцирования по координатам. Напротив, тот факт, что существенная вариация не коммутирует с частным диффе
110 Глава S
ренцированием, можно толковать как указание на нера венство
и&фи&' (хг'),
при котором подобное отождествление невозможно.
В своем дальнейшем анализе мы будем исходить из полной вариации интеграла действия (5.2.2), которой при удовлетворении уравнений поля и учете определений
(5.2.6) п (5.2.9), а |
также дальнейших соотношений, |
в частности (5.2.15), |
можно придать вид |
ДИНН[: |
: +Т° ’">'атП- (,<аН)7> ;‘] |
(.Vi) |
(5.4.16) |
|
если воспользоваться теоремой Гаусса. При островном распределении полей интеграл по охватывающей гипер поверхности обращается в нуль, и, вводя обозначение
W (У3)= ~ j [: ПШ6НЙ: + | Д пт*ат " - (ка% ^ ' ] df„
( V 3 )
(5.4.17)
мы приходим к соотношению
Д1Г = W (Г3) — W (F3). |
(5.4.18) |
Здесь V3 и F3 — пространственноподобные гиперповерх ности-основания четырехмериой области. Используем теперь выражения (5.2.14) и (5.2.15), а также представле ние функциональной вариации в виде (3.3.23)
8Un= ia earUT |
(5.4.19) |
(а — постоянный бесконечно малый параметр, ейг — сво бодные коэффициенты) и плотность 4-тока (смысл которой будет пока открытым), заданную в виде
f = i e ^ : I \ QiU v :. |
(5.4.20) |