книги из ГПНТБ / Шмутцер, Э. Симметрии и законы сохранения в физике
.pdfДискретные симметрии в класс, |
теории поля и механике 91 |
А. Система, состоящая |
из максвелловского |
и кленн-гордоновского полей
Целесообразно записать лагранжеву плотность (3.5.1) в трехмерном виде
о |
|
X |
|
2то |
|
|
|
1 |
<9Ф* 5Ф |
•Ф *Ф ]+ |
|
X |
dt dt ' № |
||
|
|
,2 |
|
2mос2 (/1М Ц- Ф 2)ф *ф . (4.2.1)
Тогда из (2.3.7) определяются
3-вектор плотности электрического тока
п
1 ч
плотность электрического заряда р = — р .
Кроме того, имеют место соотношения1)
Ец — — Ф.р.— -— ’ Bi — A 3,z— А г,з и т. д. (4.2.2)
Будет показано, что теория полей Максвелла и Клейна — Гордона инвариантна как относительно пространственных отражений, так и относительно обращения времени.
Пространственные отражения
Чтобы упростить исследование, мы будем как здесь, так и повсюду в дальнейшем рассматривать пространствен ное отражение (г) (см. § 1).х
х) Вводя поле монадных векторов ха, единичных п касатель ных к конгруэнции линий физического времени рассматриваемой системы, а также используя операцию дуального сопряжения В%,„ = = 1/ 2Z?at,sabnlrl, можно просто определить напряженности электри ческого п магнитного полей относительно этой системы отсчета как
Ет — Втпхп и В т = — В™п хп.
Хотя здесь записаны 4-векторы, их временные компоненты в рам ках подхода этой главы тождественно равны нулю, пространствен ные же даются выражениями, совпадающими (с 4.2.2).— Прим, персе.
92 |
|
Глава 4 |
|
|
|
Из определения |
4-скорости, а именно и‘ |
= |
dx'ldx, |
||
следует |
id1' = |
— id1, |
и'1' = u4. |
|
(4.2.3) |
|
|
||||
Постулируя |
инвариантность |
собствеипой (т. |
е. |
взятой |
|
в состоянии |
покоя) |
плотности электрического |
заряда: |
||
|
|
Ро = |
Рсь |
|
(4.2.4) |
получаем законы преобразования плотности конвекцион ного электрического тока <K0HB) /' = р0id и плотности электрического заряда р
а) (копв)уц'= _ (конв)уц) б ) р ' = р |
(4.2.5) |
(плотность электрического тока проводимости мы здесь рассматривать не будем). Таким образом, для интеграла по печетномерному объему можно установить операцию пространственного отражения — электрический заряд является инвариантом:
Q' = Q. |
(4.2.6) |
Из требования инвариантности для (4.2.1) получаем
И ц '= = — Нц, |
ср' ==ф. |
(4.2.7) |
Отсюда ввиду (4.2.2) следуют соотношения
Е ^ = — Е^, |
(4.2.8) |
так что напряженность магнитного поля ведет себя как псевдовектор (аксиальный вектор).
Затем из (4.2.1) и (2.3.7) при учете (4.2.5) находим сле дующий закон преобразования волновой функции:
а) Ф' (х*') аРФ (ж*), б) Ф*' {xv) = аР*Ф* (ж*); (4.2.9)
здесь ар — константа, аР*аР = 1.
Обращение времени
Из принципа соответствия с нерелятивистской теорией следует принять закон преобразования собственного вре мени
т ' = — т, |
(4.2.10) |
Дискретные симметрии в класс, теории ноля и механике 93
из которого следуют формулы для преобразования 4-ско рости
|
пД' = |
— iPl, |
u/*' = |
u/‘ . |
(4 .2 .1 1 ) |
|
Т р е б у я |
инвариантности |
собственной |
плотности |
электри |
||
ческого |
заряда |
|
Ро'=Ро, |
|
|
(4 .2 .1 2 ) |
получаем |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
(itOHD)yn' = |
_ |
(KOHD)yHt |
|
р ' = р , |
(4 .2 .1 3 ) |
что дает для электрического заряда свойство инвариант ности
|
Q’= Q. |
|
(4 .2 .1 4 ) |
|
И з требования инвариантности для (4 .2 .1 ) |
получаем соот |
|||
нош ения |
|
|
|
|
А ^ = — П ц , |
ср' = Ф, |
(4 .2 .1 5 ) |
||
откуда вытекают законы преобразования |
электрической |
|||
и м агнитной напряж енностей |
|
|
|
|
Е^’= Еу., |
Ву,.= — В^. |
(4 .2 .1 6 ) |
||
И з (2 .3 .7 ) следуют верные законы преобразования для |
||||
4-вектора плотности электрического |
то к а , |
т . е. (4 .2 .1 3 ), |
||
если волновые ф ункции преобразую тся по закону |
||||
Ф V |
' ) = |
« т Ф * (я *); |
(4 .2 .1 7 ) |
|
здесь ссг — кон стан та , |
аТ*аТ = 1 . |
Т а к и м образом , мы |
||
имеем перекрестное («антилинейное») преобразование для
волновой |
ф ункции . |
|
|
|
Б . |
Систем а, |
состоящ ая |
из максвелловского |
|
|
и дираковского полей |
|||
Запиш ем л а гра н ж е в у плотность |
(3 .5 .4 ) в трехм ерны х |
|||
обозначениях: |
|
|
|
|
А = y (ЕцЕ*- В |
{ Т У |
( Т |
д - iaA^) - |
|
- (т ., + йхпД ) 7йт + -L чу ( ^ г + т - ^ ) -
- т ( 4 г - ^ ср^ ) ^ + т |
Тп1Г} - |
(4-2-18) |
94 Глава d
Тогда 4-вектор плотности электрического тока дается формулой (2.4.11)
/в = |
гесЧгумЛ1;, р = ie4;y‘aF = e4m F. |
(4.2.19) |
Будем считать, |
что матрицы Дирака инвариантны и отно |
|
сительно несобственных преобразований Лоренца: |
|
|
|
Ук' —Ук- |
(4.2.20) |
(Штрих при индексе соответствует эффекту преобразова ния, связанному с тензорной природой этого индекса, штрих же у самой буквы отражает эффект преобразования за счет явно не выписанных спинорных индексов.)
Покажем теперь, что теория максвелловского и днраковского полей также инвариантна относительно простран ственного отражения и обращения времени.
Пространственные отражения
Инвариантность лагранжевой плотности (4.2.18) обес печивается законом преобразования
а) |
¥ ' (а:1') = |
аРу4Ч; (ж’), |
||
б) |
|
(г*') = |
- а |
(4.2.21) |
|
Р* Т (^ )у 4, |
|||
где а Р — копстанта, |
а Р*<хР = |
1. Тем же обеспечиваются |
||
правильные трансформационные свойства (4.2.5) 4-вектора плотности электрического тока (4.2.19).
Отметим, что при двукратном отражении имеет место
преобразование |
|
Ч'" (х1") = - аР2Ч; (al). |
(4.2.22) |
Обращение времени
Описание обращения времени в теории поля Клейна — Гордона может быть сопоставлено с антилинейным (пере крестным) преобразованием
ЧГ'(* |') = 2П'Т(*1) |
(4.2.23) |
(Я — квадратная матрица), откуда следует
Ч" (**'):= (ж1) РЗД+Р. |
(4 .2.24) |
Д искретпые симметрии в класс, теории поля и механике 95
Индекс Т обозначает здесь транспонирование. Требование инвариантности лаграшкевой плотности (4.2.18) приводит к матричным условиям
а) И+РИ = Р, б) |
= — у / , |
в) рЯ+ру,Д = У4Т-
Присутствие в формулах транспонированных матриц наводит на мысль воспользоваться при решении рассма триваемой задачи специальным представлением матриц Дирака. Примем за стандартное представление следующий набор матриц:
|
|
Уи = — 1 |
|
— од |
О |
|
|
(4.2.26) |
|||
|
|
|
|
О |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
T, = i L |
|
|
„ |
|
|
|
|
|
для которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7i = - |
7iT = Уi+, |
7г = 7гт = 72% |
+ |
|
.. _ |
||||
|
|
|
т |
|
+ |
, |
|
т |
■ |
(4.2,2/) |
|
|
|
Уз = —Узт = Уз |
|
У4 = У4Т = —74 |
|
|
|||||
При этом матрицы Паули имеют вид |
|
|
|
||||||||
0 |
1 |
<*2 |
|
О |
|
i \ |
1 |
0\ |
(4.2.28) |
||
п1= |
О |
|
- t |
|
|
o h |
аз= О - 1 / ' |
||||
1 |
|
|
|
|
|
||||||
В таком |
представлении |
условия |
(4.2.256) |
и |
(4.2.25в) |
||||||
записываются в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P3l+P7iSI = Ун |
|
РЯГРУгЯ = — Уг, |
|
|
|
||||
|
|
РЯ+Ру3И = у3, |
|
|
РГРуД = у4. |
|
|
|
|||
Как можно проверить подстановкой, выбор |
|
|
|
||||||||
|
|
И = |
ат717зР, |
|
|
21+ = |
аг*РУзУ1 . |
|
|
(4.2.29) |
|
(аТ— константа, ат*ат= 1) удовлетворяет всем условиям. Тогда преобразование обращения времени в стандартном представлении матриц Дирака имеет вид
Т7 {х1') = aTyiy3 (Т/+ (аД))т,
(4.2.30)
Г ( .И ')= а г *¥т И 7з7!р.
96 |
Глава 4 |
Повторное обращение времени дает
¥*(«*') = — ¥(**). |
(4.2.31) |
В. Релятивистская механика материальной точки
Представляет интерес также исследование преобразова ний пространственного отражения и обращения времени в релятивистской механике материальной точки (трансфор мационные свойства нерелятивистских величин входят сюда как предельные случаи). Обратимся при этом к эйн штейновскому уравнению движения
m° dx2 |
е |
dxi |
(4.2.32) |
|
c |
i dx |
|||
|
и к эквивалентному ему уравнению Гамильтона — Якоби
А{) + т 02с2 = 0.
В трехмерной записи эти уравнения имеют вид
7Щ- |
|
е |
D)i |
dx* |
I |
е В \ |
dx4 |
|
||
dx2 |
|
П v |
dx |
1 |
dx |
’ |
||||
|
с |
|
С |
|
||||||
|
'° |
d2x4 |
|
е |
в \ |
dxv |
’ |
|
|
|
|
dx2 |
|
с |
dx |
|
|
||||
|
1 |
( |
8W , |
еср)2 + |
т02с2= |
0. |
||||
|
с2 |
|
dt |
' |
|
|
|
|
|
|
При этом имеется в виду соответствие
| ЕЛ
(Втп) =
- E v | 0 )
0 |
В3 - |
в 2 |
- В3 |
0 |
В1 |
В2 |
— В1 |
0 |
(4.2.33)
(4.2.34а)
(4.2.346)
(4.2.35)
(4 .2.36)
- Е , |
0 |
Дискретные симметрии в класс, теории поля и механике 97
Пространственные отражения
Рассматривая преобразования (4.2.3), (4.2.7) и (4.2.8), сразу же обнаруживаем инвариантность обоих уравнений (4.2.34). Инвариантность же (4.2.35) обусловливается законом преобразования
W ' = |
(4.2.37) |
При учете связи между каноническим и функцией действия W
dW
Pi дх*
можно получить законы преобразования
импульсом
(4.2.38)
а) |
х»\ {t)= |
- x » ( t ) , |
б) |
*' = *, |
в) |
Р р '(0 = |
— ДЛО» |
г) |
р4. (г) = р*(*). |
Примем, что масса покоя т0 является инвариантом отно сительно пространственного отражения; тогда вследствие (4.2.3) эти же формулы сохранят силу и для механического импульса
(мезс)рг _ )п0щ . |
(4 .2 .40) |
Для орбитального тензора момента импульса
tv = аГ|xPv — x vPu |
(4.2.41) |
получаем
— (4.2.42)
Итак, в силу инвариантности уравнений движения отно сительно пространственного отражения величины (4.2.39а) и (4.2.396) также являются решениями этих уравнений, если исходные величины были их решениями.
Обращение времени
Подобным же образом с помощью (4.2.11), (4.2.15) и (4.2.16) подтверждается инвариантность уравнений (4.2.34) относительно обращения времени. Инвариантность уравнений (4.2.35) можно обеспечить, задавая закон пре образования
W (®*') = — W ( x * ) . |
(4.2.43) |
7 - 0 1 3 5 0
98 |
Глава 4 |
Такая ситуация согласуется с законами преобразования (4.2.9) II (4.2.17), если здесь принять во внимание связь между волновой функцией W, амплитудой Z н функцией действия W:
Ввиду (4.2.43) обращение времени дает
а) |
х*' {t') = x»{t), б) |
Г — — U |
в) |
7V (О = — Ра (0. |
г) pi- (i')= Pi («)• ^1'2' ^ |
Так же преобразуется и механический импульс, если при нять во внимание (4.2.11).
При этом закон преобразования тензора момента
импульса (4.2.41) можно записать в виде |
|
||||
|
|
|
(£ ) — d|iv (0 • |
(4.2.45) |
|
Ввиду инвариантности уравнений движения относи |
|||||
тельно |
обращения |
времени |
величины |
|
|
|
xV |
= |
t) и |
рц. {t)= — рм( — t) |
|
будут |
также |
решениями |
этих уравнений, |
если толь |
|
ко такая инвариантность не нарушается внешними воздействиями.
ЧАСТЬ ё
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
ГЛАВА 5
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ
ВЧАСТНОРЕЛЯТИВИСТСКОИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ II НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
§1. Классическая и квантовая теория поля
Вэтой главе мы рассматриваем иа базе квантовой тео рии поля принципиальную сторону постановки вопроса, изложенной в гл. 3 для случая классической теории поля.
Тем самым гл. 3 и 5 дополняют друг друга. Мы попытаем ся здесь как можно больше приблизиться к подходу, использованному в гл. 3, хотя и столкнемся вскоре с опре деленными трудностями. Так как в гл. 3, § 1, не делалось никаких специальных предположений о с- или д-чнсловом характере волновых функций при рассмотрении собствен ных преобразований Лоренца, мы можем полностью пере нести сюда результаты этого параграфа.
В любой классической теории входящие в нее зависи мые переменные удовлетворяют аксиоме перестановочно сти и являются, таким образом, с-числами, к чему пас приучили ньютонова механика и классическая теория поля. В квантовой теории, как известно, имеет место отказ от этой аксиомы. Основные зависимые переменные, вообще говоря, уже не коммутируют друг с другом и поэтому называются g-числами, или операторами. Выражения для
коммутаторов или антикоммутаторов многих из них имеют характерный вид и не обращаются в нуль. Такие соотношения, называемые перестановочными, встречаются как в квантовой механике, так и в квантовой теории поля;
ш |
Глава 5 |
они имеют характер законов природы и фигурируют наравне с уравнениями движения.
Известно, одиако, что измеряемые значения величины должны выражаться вещественными числами. Поскольку операторы квантовой теории, которыми, вообще говоря, представляются физические величины, не являются веще ственными числами и поэтому не могут быть непосред ственно измерены, квантовая теория нуждается еще в од ном фундаментальном понятии, служащем для сопоставле ния операторам вещественных чисел. Речь идет о понятии вектора состояния в гильбертовом пространстве, который обозначается как
кет-вектор |Ф) (кет-пространство),
которому через операцию эрмитова сопряжения (+ ) сопо ставляется дуальный ему вектор состояния, а именно
бра-вектор (Ф |= | Ф }+ |
(бра-пространство). |
Скалярное произведение векторов двух различных состояний есть комплексное число
<¥|.|Ф) = <Ч'|Ф>.
Если рассматриваемая квантовая теория допускает вероят ностную интерпретацию, то произвольное состояние нор мируется по правилу
(Ф |СЙ) = 1 (положительно определенная метрика). (5.1.1)
Некоторому произвольному оператору §1 по правилу
<1F|5f|X) = a |
(5.1.2) |
сопоставляется комплексное число о, так как величина |Ф) = 91 |%) имеет природу кет-вектора. Если наш опе ратор эрмитов, то конструкция
<ф|Я|ф) = а = а* |
(5.1.3) |
есть веществеииое число. Эрмитов оператор, соответ ствующий физической величине, поддающейся наблюде нию, называется наблюдаемой.
В нерелятивистской квантовой механике основные наблюдаемые суть
оператор положения (координаты)