книги из ГПНТБ / Толстоусов, Г. Н. Прикладная теория информации учеб. пособие

Последнее слагаемое получено при условии, что в силу ортогональ­ ности при гьФ~в

-г

Учитывая равенства (16.12) и (іб .І^ п о л у ч аем

Об. /6)

Средняя мощность сигнала равна сумме средних мощностей гармо­ ник.

В практических задачах функция воспроизводится с помощью ограниченного ряда. Найдем выражение для среднеквадратичной ошибки воспроизведения:

Повторяя использованные при выводе (16.16) вычисления и само соотношение (16.16), получим

Обгу)

-г *

Среднеквадратичная ошибка воспроизведения функции ограниченным рядом равна средней мощности неучитываемых гармоник.

Рассмотрим аадачу воспроизведения непериодических функций. Пусть функция 4Ш аадана на интервале - Т й . Вне это­ го интервала функция равна нулю. Если интервал конечен, то иног­ да возможен следующий путь решения. Функция воспроизводится с помощью тригонометрических рядов (16.3) или (16.I I ) . Но при та­ ком способе воспроизведения функция не равна нулю вне интерва­ ла, а периодически повторяется. Поэтому с помощью дополнитель­ ных условий воспроизводящий ряд вне интервала обращается в нуль. Когда такой путь решения неприменим, а также в случае бес­ конечного интервала, необходимо распространить понятие комплек-

89

гармоническое разложение функции в виде интегральной формы Фурье:

(16Л0)

При условии абсолютной интегрируемости и конечного числа разрывов непрерывности функции f(€) эта форма всегда существу­ ет*' .

Обозначим

(16JL1)

F'(jo^) называется спектром функции f ( t ) . Тогда согласно

(16.20) функция через свой спектр определяется следующим обравом:

Выражения (16.21) и (16.22) называются соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье.

Видно, что и в случае 7”—1*ив функция может быть определе­ на либо зависимостью от времени, либо с помощью спектра F (j(А) , зависящего от частоты. Спектр есть непрерывная комплексная фун­ кция от cJ , Если представить спектр в виде

Форма Фурье существует и для ряда абсолютно неинтѳгрируемых функций, например Sift(££f ~t0) и т .д .

90

Непрерывный спектр прямоугольного импульса показан на рис.16.5 Найдем выражение для анергии сигнала через его спѳктг

Используя (16.22), можно записать

Рис. 16.5

Внутренний интеграл согласно (16.21) равен F(-ju)) . Поэтому

ул.м)

В некоторых случаях можно ввести понятие средней мощности сиг­ нала

ZT

В том случае,когда предел существует, он называется спектром плотности мощности:

92

Тогда средняя мощность сигнала пожат быть записана следующим образом;

( в м )

Пусть вместо точного выражения (16.22) ввято приближенное

(т.зл)

которое означает, что гармоники спектра с угловой скоростью, большей, чем cJcf> , не учитываются при воспроизведении функ­ ции f(t) . Тогда появляется ошибка воспроизведения, средне­ квадратичное значение которой может быть оценено следующим об­ разом:

Поясним смысл спектральной плотности. Пусть имеется ряд зафик­ сированных сообщений стационарного эргодичѳского источника (рио. 1 6 .6 ). Тогда можно найти спектр каждого конкретного сооб­ щения

(/6.31)

Запишем выражение для оценки корреляционной функции, полученной по одному сообщению: т

(/6М)

*-т

93

■ ъ (ы *)е-**‘ 'Р>М .

Учитывая ( 1 6 .3 1 ) ,имеем

Полученное выражение показывает, что спектральная плотность еоть вещественная функция частоты. ОценкаSiQ'&J) ѳоть случай­

ная величина, передним ѵ іб .3 4 ) по воем сообщениям, получим

94

Спектральная плотность пропорциональна среднеквадратичному зна­ чению случайных значений спектров сообщений. Поэтому часто по аналогии со спектром плотности мощности (16.25) спектральной плотности придают смысл распределения мощности случайного про­ цесса по частотам. Средняя мощность всего случайного процесса, или дисперсия,есть интеграл от спектральной плотности:

О&м)

Это выражение может быть получено ив (16.80) с учетом, что

Ъ~и(0).

§ 17. Теорема Котельникова

Теорема Котельникова показывает, что сообщение непрерывно­ го источника информации не обязательно передавать непрерывно по каналу связи..Это сообщение нохѳт быть передано с помощью значений сообщения в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга на равные интервалы.

Докажем эту теорему. Пусть имеется некоторая детерминиро­

лЖ.

(17.Z)

95

Запишем значения этой функции в дискретные моменты времени

где

Получим следующее выражение:

Сравним (17.5) и (17 .2). Имеем соотношение

(sr.e)

Подставим полученные значения коэффициентов ряда (17.I ) . Тогда выражение (17.3) примет вид

Поскольку ряд и интеграл сходятся, поменяем порядок суммирова­ ния и интегрирования. Кроме того, изменим порядок суммирования.

в обратном преобразовании Фурьѳ.мы уотраняаы “паразитные" сос­ тавляющие спектра F(ju>) вне полосы і(Ое ,

9 6

кую формулировку теоремы Котельникова: .

(ш )

Ло-оо

Величины <£{(ЪАб) представляют собой значения исходной функции дискретов моменты времени, отстоящие друг от друга на интер­ валы лДе Лиі Эти величины называются отсчетами. Каждый

оточѳт умножается на величину

w _ sin d 1с{£~/іАі )

(SV.9J

АЛс(t ~гъ&£) ’

называемую функцией отсчетов, функции отсчетов для всех >ъ име­ ют одинаковый вид (рис. 1 7 .2 ), только начало координат у каждой совпадает с временем своего отсчета.

Следовательно, по теореме Котельникова непрерывная функция с ограниченным спектром (рис. 17.8а) монет быть передана по ка­

2) приемник формирует функции отсчетов и каждый принятый отсчет умножает на соответствующую функцию "отсчетов "(рис’.' Г773в,

г ,д );

97