книги из ГПНТБ / Романенко, А. Ф. Аппроксимативные методы анализа случайных процессов

причем

яМИ11 = — V/ Г pL*— Г + 1 ;

Ямакс —РРаа.+ V P2pL*—Р2~Ь1'

Отрицательные значения раа, не позволяют снизить DmL(t, х) за счет введения мультипликаторов Ап.

С увеличением корреляционной связи а и а* повы­ шаются возможности улучшить оценку а*. Это указы­ вает на значительные резервы, имеющиеся при наличии предварительных оценок а*, образуемых на основе ис­

пользования условия максимума раа,.

10. МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Физический смысл параметрической коррекции мож­ но пояснить на примере использования метода парамет­ рических функций в задачах линейного прогнозирова­

Если считать, что предварительной оценкой x*(t + T) является оценка х* (t + T) — x(t), то для линейной пара­ метрической модели имеем:

Условие

] = Mx{X{t + T) —Аю—AnX(0P=min

приводит к следующим соотношениям для оптимальных параметрических функций:

= m V + Т) — яп’ m (0;

"«2(0

70

Таким образом, окончательное выражение для оцен­ ки прогноза случайного процесса имеет вид:

x*x{t -f- Т) —- m (t -f- 7) -(- я{j}x°(t) — m (t T)-\-

+ P V + T, 0 [x(t) — m(t)\.

Из полученного соотношения следует, что оптималь­ ный линейный прогноз определяется текущим значением процесса x(t), его математическим ожиданием m(t),

Для стационарных в широком смысле случайных процессов имеют место соотношения

m(t) — m0= const; R(t - (—7\ t) = /?('/’);

71

Следовательно,

Оценка прогноза стационарного случайного процесса принимает вид:

х \ (/ + Т) = m0[ 1— р (Г)] + р (Г) х (/) =

= /и0 + р(7’) [л: (/ — /п0)].

Следовательно, оптимальный линейный прогноз ста­ ционарного случайного процесса не зависит от диспер­ сии процесса и определяется величинами x(t),m0 и р (/).

Для центрированного стационарного случайного про­ цесса

Aio’ - O ; Я |? = Р (7 ’); x \ ( t + T) = P(t)x(t).

Величина ошибки прогноза стационарного случайно­ го процесса определяется соотношением

Рассмотрим применительно к прогнозированию ста­ ционарных случайных процессов два алгоритма.

1. Пусть оценка прогноза отыскивается в виде

X*(t+ т) =ki x(t) +Я2X(t—x).

Для определения оптимальных параметрических функций воспользуемся критерием вида

/ = МДХ (/ +т) —ktX(t) —к2Х (/—т)]2.

Условия dJ/dXj = 0 приводят к системе двух линейных уравнений

72

i(«)_Р№) — р2(■«) 2 1_ р2 (х) >

где

р (x) = R(z)f32 .

Систему уравнении (30) можно разрешить относи­ тельно р(т) и р(2т):

р(т):

Соотношениями (31) целесообразно воспользоваться при наличии так называемого компенсационного корре­ лометра (см. § 11), обеспечивающего получение оценок

я(;> и я<*>.

2.Пусть оценка прогноза отыскивается в виде

х *(t +т) = }.\Х(() + К2Х(t—т) + АзХ(t—2т).

Условия dJ/dA,j= 0, / = 1, 2, 3 приводят к системе ли­ нейных уравнений

решения которой даются соотношениями вида

(0)_^Д£

д ’ i = l , 2, 3,

где определитель системы

73

а определитель Aj получается из А заменой /-го столбца на столбец, составленный из свободных членов системы уравнений:

Ai = p (t)[l—р2(т)] + р(2т)р(т)[р(2т) —1]+

+ р(3,т)[р2(т.)—р(2т)];

А2 = р(т)(р(2т)—1]+ р(2т){1—р2(2т)] +

+ Р(3т)р (т)|[р(2т) 1];

Аз= р (т)1[р2(2т) + р2 (т) —2р (2т)] +

+р(3т)[1—р2(т)].

11.КОМПЕНСАЦИОННЫЙ МЕТОД АППРОКСИМАЦИИ ОЦЕНОК

На основе соотношений для параметрических функ ций Я<а0> и Aj"’ оптимального линейного прогноза стацио­

нарных случайных процессов возможно построение ком­ пенсационного корреляционного устройства. Данное устройство должно реализовать выражение

Структурная схема соответствующего устройства представлена на рис. 25. Для каждого значения Т вели­ чина J* является функцией Аю и Ац. Ручной настройкой устанавливаются такие значения Аю и Ац, при которых показание индикатора оказывается минимальным.

Используя соотношения, полученные в § 10,

можно определить средний уровень т0 и величину нор­ мированной корреляционной функции р (Т).

В описанных ранее компенсационных корреляторах средний уровень не определялся, поэтому при обработке нецентрированиых случайных процессов появлялась до-

74

чолпительная погрешность. Приведенный пример пока­ зывает физический смысл Я*"* .

Оказывается параметрическая функция мультипли­ кативной модели Я^ является нормированной корре­

ляционной функцией (при обработке центрированных стационарных случайных процессов).

Рис. 25. Структурная схема компенсационного коррело­ метра.

Рассматривая аддитивную модель, т. е. устанавли­ вая на компенсационном коррелометре Ац=1, получаем:

Я}'* — MX (t -|- Т) — MX (t).

Для стационарных процессов Я(,д) = 0 и эта величина

может служить мерой нестационарное™ исследуемого случайного процесса по математическому ожиданию.

Рассматривая мультипликативную модель Аю = 0 и стационарный случайный процесс, получаем:

что свидетельствует о существенном влиянии уровня т0 на величину я},' . Поэтому и целесообразно использова­

75

Следовательно, представленная на рис. 25 схема

т. е.

x(t + T) ~mo[l—p(T)] + p(T)x(t).

Это выражение может использоваться при прогнози­ ровании нецентрированного стационарного случайного процесса Х(х), на отрезке времени Т.

При наличии априорной информации в форме MrR (Т),

Mmtn2 и Mmtn оптимальные параметрические функции

и Я*,"* определяются соотношениями

где MrR(T) — априорное математическое ожидание кор­ реляционной функции.

Обобщая рассмотренный пример, можно сформули­ ровать следующую задачу. Пусть задан функционал

приводит к вектору р0, компоненты которого могут сов­ падать с некоторыми из известных статистических оце­ нок параметров соответствующей вероятностной меры.

Необходимо найти вектор р0Рассмотрим случай, когда р является скалярной ве­

где f{x(t)) — заданная функция от выборки.

76

$ P (* (0) f\(x (t)) dt 0

В дискретном случае

ф« = S [? (Jfj) - pgf

/=i

n

S <? (*i) f (Xj)

S /■(**)

7=1

Перейдем к рассмотрению случая двухпараметриче­ ской оптимизации. Пусть целевой функционал имеет вид:

Ф == f [ср (х (0) — i*(0>- 1^(1)/ (х (О)]2dt.

о

Условие

приводит к системе двух уравнении

78

Рассмотрим примеры однопараметрическпх компен­ сационных алгоритмов для задач оценки характеристик случайных процессов.

П р и м е р 8. Пусть cp(x(t))—x(t)\ j(x, (<))=И. Тогда

Полученное выражение есть оценка математического ожидания стационарного случайного процесса. Следовательно, если иметь устройство, реализующее целевое отношение

т

ф = J(0l—x p\2dt

о

и позволяющее регулировать величину р, то такое устройство дает возможность оценивать математическое ожидание исследуемых слу­ чайных процессов.

Применительно к нестационарным случайным процессам можно

Оптимизация этого отношения дает:

А\‘>х (т)

= ~дй) '

П р и м е р 9. Пусть < p ( x ( 0 ) a l , f(x(t))=x(t). Тогда

х (/) dt

nri

IX2 (t ) dt

г д е

79