книги из ГПНТБ / Романенко, А. Ф. Аппроксимативные методы анализа случайных процессов

В общем случае параметрическая функция Я,^, опре­

деляемая соотношением (22), зависит от самих оценивае­ мых параметров, т, е. от Ф(а), что является существен­ ным недостатком метода параметрических функций. Од­ нако на практике можно воспользоваться либо минимакс­

зовать для определения связи первых двух моментов предварительной оценки Ф*(л). Введем обозначения:

mt (а) = М х]л Ф* (х)-

Щ{Р) = МХ|ЛФ*(х)]2.

Тогда выражение (22) примет вид:

Соотношение (24) является необходимым и достаточ­ ным условием независимости параметрической функции х\\‘ от оцениваемого параметра а.

60

Параметрическую функцию я{®’ (t) при оценке а*х (л)

можно выразить с помощью средней апостериорной оценки a*ps (л:) и некоторой предварительной оценки а* (л).

Пусть

a-*ps(x) — M a[xa{t) = j a (t) f(a\x) da.

»a

— средняя апостериорная оценка характеристики a (О- Воспользуемся полученным ранее соотношением для

оптимальной параметрической функции

м хл I* (0 -* W]

Мт [а (0 а* (х )1 = М*М *| х ta (0 а* (■*)] =

= М* [Ма {lxa (t)] а* (х) = М х la*ps (л:) а* (х)\.

Окончательно

При a*(x) = a.*Ps(x) знаменатель соотношения (25) не зависит от а, поэтому Mxa[a*pe(x)]2 = Mx[a*ps(.x:)]2. Па­

раметрическая функция Я<®>(t) при этом удовлетворяет условию

я<;>

Таким образом, полученное соотношение (25) указы­ вает на возможность образования оценки а*х по двум

оценкам a*ps и а*(х), одна из которых a*ps может ока­ заться сложной для реализации, а другая а* (х) — недо­ статочно эффективной. Оценка а*х при этом может

рассматриваться как некоторая компромиссная. Сущность параметрической коррекции заключается

в учете взаимных корреляционных связей рассматривае­ мых двух оценок а*рз{х) и а*(х). Действительно, вводя

61

коэффициент корреляции

М х а [“ *»• ( * ) а * ( * ) ] — ° Р ." о

Р

где

»» = V М„ [“*» М Г — И »**!» (-*)!*:

’. = / Ч Л « * М Г - [ « „ « • w i1,

и учитывая, что

С* ') -----а о р ( / ) ,

атакже рассматривая оценки а*(х), обладающие свой­ ством

можно записать следующее выражение для оптимальной параметрической функции:

С ( ‘> = -

Задачу параметрического анализа случайных про­ цессов можно свести к аналогичной задаче примени­ тельно к векторным случайным величинам. Пусть a {t) — некоторая функция, подлежащая оценке. Будем пола­ гать, что двухкомпонентный процесс [а(/)> *(0] заданна

определить оценку для ат в конце периода наблюдения. Пусть а*т— первоначальная оценка, а*тХ— скоррек­

тированная оценка.

Воспользуемся средней квадратической ошибкой

X.da.mdx0dx1, ..., dxm

62

Пусть a*mX= Я,1(т)а*т, тогда

2 dXu (о т )— ^ J ta "* a *m^u (m)] а * щ /(a mXm) X

X d<XmdXm-- 0,

откуда

j(a) # * 9n C («) =

где

Рассмотрим пример. Пусть оценка a*m определяется

соотношением

га

а*га==^ г И х *>

/=1

тогда

I а ® * т--- ®т!

2 ■ Daam М , (а*т )а = аml ОТ

JC1а V т /

поэтому

а га

ЛЙ» И ! Я.“»

а д , + - от

Здесь полагаем, что Daam— заданная детерминиро­ ванная величина.

63

Параметрический анализ случайных процессов на основе мультипликативной модели коррекции можно осуществлять, используя условие минимума дисперсии ошибки DxJy(t, х), а именно

В ряде случаев целесообразно употреблять парамет­ рические функции, оптимальные в смысле критерия от-

64

где

пропорциональна квадрату коэффициента корреляции рфф» При Рфф. = 1 величина у = 1ОО°/0.

В ряде случаев используется критерий средневзве­ шенной средней квадратической ошибки

Jct = $rn] + (1 — P)dt,

где р — заданная величина (вес ошибок);

=— Ф%(*)];

*ш=°хаЬ& ХУ

Условие / Ср = min приводит к следующему выраже­ нию для оптимальной параметрической функции я|[* :

ческих функций рассмотрим мультипликативную оценку для детерминированного а:

а*г (•*)= ЯцЯ# (л:),

где а*(х) — предварительная оценка параметра а; Хц— параметрическая функция.

66

Используя среднюю квадратическую ошибку

R = м х I а I я — * , ! * * (■*)]* = j [* — Яиа* ( А - ) ] 2 / (XI а) dx,

в*

замечаем возможность ее разложения на две составляю­ щие

s CM = a — M x l a f * (а ).

Не ограничивая общности рассмотрения метода па­

раметрических функций, можно предположить, что еСм = 0. Тогда

R = , ^ ( l - ~ X uf + xlDxlaa*(x).

На рис. 23 представлены кривые зависимости у(^н) для различных значений d0TH.

Из анализа этих кривых следует возможность суще­ ственного уменьшения ошибки (у<1) за счет рациональ­ но выбранных значений параметра Ли, причем чем точ­ нее выбрана первоначальная оценка, тем острее мини­ мум функции у (Ли) и тем меньший выигрыш можно по­ лучить за счет параметрической коррекции. Возможные значения Ли находятся в отрезке (0,1); ограничение сверху обеспечивает устойчивость соответствующих авто­ матических устройств параметрической обработки ин­ формации, для ограничения Ли снизу необходимо хотя бы приблизительно знать величину dnTlI.

Условие ду/дКц = 0 приводит к оптимальному значе­ нию параметра

I=^ L V (0 -=.,

корни которого имеют вид:

Следовательно,

я^)(,)< я<;> < 1 .

68

Для проверки устойчивости устройства параметри­ ческой обработки предположим, что вместо d0TH в (28) используется оценка d*0TU. Тогда

Используя первые два члена ряда Тейлора в окрест­ ностях точки rf*“H= Afje|a d*0TH, получаем:

дует устойчивость устройства параметрической обра­ ботки.

Перейдем к качественному анализу метода парамет­ рических функций, использующего условие минимума дисперсии ошибки DXak(t,x). Здесь полагаем, что а —

случайный параметр.

Применительно к задачам оценивания характеристи­ ки а справедливо следующее выражение для дисперсии ошибки:

где Ямакс = 2раа„. В общем случае Яи изменяется в диа­ пазоне

[ ^ Яп < К

69