книги из ГПНТБ / Романенко, А. Ф. Аппроксимативные методы анализа случайных процессов

Ф*х(х) = я|д) + ф*(х) или ф*х(х) = ^п>ф*(х).

находим:

^ = М Ф ( а ) - М и Ф *(х);

Из выражения (16) следует, что параметрические

функции я}*' и Я|;> связаны между собой соотноше­

Наличие указанных соотношений позволяет осущест­ влять переход от мультипликативной структуры к адди­ тивной и обратно. Учитывая вопросы реализации соот­ ветствующих структур, следует отдавать предпочтение аддитивной структуре, однако не во всех случаях.

Для детерминированных Ф(а) параметрические функции я!*’ и Я|;> в общем случае зависят от оцениваемых

параметров Ф(а), интерес представляет определение

40

Таким образом, параметрические функции и Ап’ не зависят от Ф (а), если математические ожидания предвари­

мультипликативную структуру (18). При этом соответст­ вующие параметрические функции принимают вид:

я<;> = 1/т.

Если же вопреки условиям (17) и (18) воспользоваться

впервом случае мультипликативной параметрической

оценкой, а во втором — аддитивной, то получим соот­ ношения для я{^ и Я^ , зависящие от Ф(а):

Таким образом, прежде чем выбирать ту или иную структуру параметрических оценок, целесообразно про­ вести анализ структуры условного математического ожи­ дания предварительной оценки Ф*(х). Указанные струк­ туры по возможности должны соответствовать друг другу.

Полученные выше результаты сведены в табл. 1.

Таблица 1

Общий вид параметрических функций

41

Средние квадраты ошибок оценок Ф*у имеют следую­

щий вид:

1.При использовании я}^

Л(Я<;> ) = Мха [Ф ^а) — Я^ — Ф* (х)]2 =

=МаМх , . [Ф (*) — Ф* (х)]2— \МаФ(а) — МхФ* (X)]2=

Таким образом, применение Я,*'1 обеспечивает не

только несмещенность оценки, но также и уменьшение

среднего квадрата ошибки на величину г^м (или, что то

же самое, сохранение уровня дисперсии ошибок).

2. При использовании Я^

«(*{!’ ) = Л ^ [ ф ( а ) - * ! ! ’ Ф*(Х)Г =

где

,М аФ{ *)

а~' Мхл Ф*(х)-

Отсюда следует, что мультипликативная корректи­ рующая поправка может как улучшить, так и ухудшить первоначальную оценку.

Параметрические функции в соответствии с выраже­ ниями (16) могут быть подсчитаны заранее по априор­ ной информации. Особенно простыми эти соотношения оказываются для оценок Ф*(х), обладающих свойст­ вами

М ха Ф* (х) = Ж а Ф (а) 0 М аСа Ф (а),

где С а — некоторый известный оператор; © — некоторая

арифметическая операция.

42

оператор (в общем случае нелинейный), удовлетворяю­ щий условию

43

Для детерминированных функций а (t) имеем:

В качестве примера рассмотрим широко используе­ мый в задачах сглаживания оператор текущего сред­ него

t + T/ 2

S[t ) x ( x ) = - Y - f X{z)dz.

t —T/2

В табл. 2 приведены собственные функции и пара­

метрические константы Я<;> , Я^ для оператора S[{) .

Из табл. 2 следует, что для линейных функций

<?(t) = а0 aj параметрические функции я{’’ и я[*' соот­

ветственно равны:

•>(•> — о я(,) = 1

Обратим внимание на то обстоятельство, что приме­ нительно к детерминированным (неслучайным) функци­ ям Ф(а) или а (0 на пути использования метода пара­ метрических функций появляется возможность создания новых алгоритмов статистической обработки. Это обу­ словливается определением вместо истинных оптималь­ ных параметрических функций соответствующих оценок.

Рассмотрим пример. Используется аддитивная струк-

44

Т а б л и ц а 2

Параметрические функции для оператора текущего среднего

тура оценки характеристики a(t) некоторого случайного процесса:

Перейдем к новой параметрической оценке

«*М 0 = С ( 0 + **(0.

где

я*10 (0 = а* (/) — а* (г).

Оценку a * \(t) можно представить и в иной форме а**х (t) = 2а* (t) — А[1) а* (г).

45

a ( 0 > ^ f a ( x ) .

Таким образом, при использовании параметрической оценки а**х (t) возможны случаи повышения ее эффектив­ ности по сравнению с первоначальной a*(t).7

7. ПРИМЕРЫ НЕСМЕЩЕННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ

ОЦЕНОК

Пример 1. Оценивается математическое ожидание случайного процесса X(t) при условии, что предварительная оценка имеет вид:

т

1 Г

m* — -у- \ х (х) dx.

о

Параметрические оценки математического ожидания определяют­ ся соотношениями

46

Из полученных выражений следует, что параметрическая функ­ ция Х ^ не зависит от таР0 и изменяется по линейному закону в за­

висимости от t. Реализация параметрической функции Х1,*^ требует знания двух величин таро и maV1 и является более сложной.

В стационарном случае т„п = 0, Xjj* = 0 и Xj** = 1.

Пример 2. Пусть дана реализация случайного процесса вида

X(t)=tn\\)(t)+r\,

где ,m—MY — математическое ожидание некоторой случайной вели­ чины У; ф (t) — известная детерминированная функция; т)— случай­ ная величина с нулевым математическим ожиданием.

Требуется найти параметрическую оценку для математического

i —Т/2

47

Учитывая, что априорное математическое ожидание случайного процесса X{t)

случае окончательное выражение для оценки <х*^ принимает вид:

Поскольку функция ф (/) известна, то [параметрическая функция может быть рассчитана до проведения обработки (эксперимента)

и введена затем программным способом.

Пример 3. Применительно к задаче фильтрации полезного сиг­ нала W(t) В. К. Савчковым и И. В. Челпановым [Л. 31] был исполь­ зован метод параметрических функций для синтеза нестационарного фильтра первого порядка.

В этой задаче предполагалась аддитивная структура входного

Ф(0

W (0

(< — т) ф (т) di

48