книги из ГПНТБ / Романенко, А. Ф. Аппроксимативные методы анализа случайных процессов

При сглаживании некоррелированных стационарных случайных процессов с дисперсией а2х будем иметь:

21

Т \ t ti + t j J l __ 2 1

Пример 25. Рассматривается задача сглаживания случайного процесса X (t) аддитивной структуры

X(t) = W(t)+N(t),

где N(t) — помеха типа «белого шума» с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью G; W(t) — полезный сигнал вида

Г (0 = С 1(?а< +

Здесь Си С2, а — заданные величины.

Следует заметить, что рассматриваемая функция W(t) описы­ вает класс сигналов управления перестройкой клистронных генера­ торов, зондирующих сигналов при определении технического состоя­ ния систем автоматизации и др.

Пусть далее используется обобщенный оператор экспоненциаль­ ного сглаживания Ех с параметрами Т и Я(t).

где е С м — ошибка смещения; о 2 о ш — дисперсия ошибки.

Для определения ошибки смещения воспользуемся соответст­ вующим дифференциальным уравнением, характеризующим опера­ тор Е,

hi(t)W(t)=y(t)+Ty'(t) .

110

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Y = — X,

C t

+ аГ "П — <хТ У

Ошибка смещения

Дисперсия ошибки

GAf

’ Tj

°ош— 2 Т

Суммарная ошибки

111

где

а = Cteat + Сге~а(;

В силу трансцендентной зависимости оптимальных значений Т имеет смысл рассмотреть случай, когда параметр Т выбирается не­ которым неоптимальным образом. Однако за счет использования оптимальной параметрической функции Хц возможна компенсация (до определенного значения) ошибок сглаживания, обусловленных неоптимальными значениями постоянной интегрирования Т (памяти экспоненциального оператора сглаживания).

Из условия да2/ д \ и = 0 находим:

Средняя квадратическая ошибка при этом будет равна:

2 a2cG

мин = Gc + ТЬг ‘

При t^>T и t^> l/о имеют место асимптотические соотношения

Из последнего соотношения следует возможность отыскания асимптотически оптимальной величины Т.

Пример 26. Рассмотрим возможность параметрической коррек­ ции оценки информативного параметра, определяемого соотноше­ нием

О

112

В соответствии с этим определением очевидно использование оценки вида

‘О

+x>).*o (tiY.Xо (/2 +TS)] d^d/jdx^Xj.

Вслучае нормальных процессов

(^l)^o(^2)-^o(^l + Tl)Xo(^2 + T2)] =

=Л (^2— h ) R (^i— ^2+ И — Тг) + / ? (T i)/? (Та) +

+/? (^2+Тг—^i)^(^i+Ti—t^),

поэтому

тГ0 Го

Мя 1 1 [tf (Xi) ^ ^

MR j J [R (x,) R (xs)] dxldxi ^ M RDx , rL \

о0

где

тT0 T0

ooo

+ R (xi + xa) R (x, — x)] rfxdxidx2.

Пример 27. Оценивается интегральная функция распределения Г(х) стационарного случайного процесса X(t).

В соответствии с определением имеем:

F(x) = & { X (* )< * } .

Обычно используемая оценка F*(x) имеет вид:

т

о

о

где Хп удовлетворяет соотношению (21), в котором

т

о

114

Во многих случаях целесообразно исходить из гипотезы о гаус­ совском характере процесса X(t) и использовать разложение дву­ мерной плотности вероятности в ряд по степеням нормированной корреляционной функции

В результате почленного интегрирования приведенного разло­ жения получим:

Для функции К (х) справедливо выражение

быть осуществлена с помощью ЭВМ, причем должны быть преду­ смотрены операции получения корреляционных моментов qv (Т) и се­

чений функций Ф(2) (х/и) для заданных значений х.

116

15. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОЦЕНОК МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

6 6

TГ

-f m2 I”J h(ti)h(t2)dtldt2,

оо

где

R ( t u Q = Mx]m \Х0(^) Х0Ш

X 0(t) = X ( t ) - M x[mX{t).

Используя билинейное представление корреляционной функции

<еп ((г)Уп (<г)

К п

п= 1

17

где Ксп, фп(t) — собственные значения и функции инте­

грального уравнения,

г

о

получаем следующее выражение для условной диспер­ сии оценки т*:

где

С учетом полученных соотношений выражение для может быть записано в виде

Интерес представляет рассмотрение несмещенных эффективных (в классическом смысле) оценок т*.

Условие несмещенности обеспечивается выполнением

т

I" h (т) di = 1. (46)

о

118

Для отыскания эффективной оценки т * 0ф в классе рассматриваемых линейных оценок необходимо найти минимум выраженйя

2 4

л=;1

° « |т га* =

при условии (46).

Условие (46) представим в следующем виде, учиты вая справедливость соотношения

00

dn = J ?n Ы di.

о

Соотношение (47) представим в виде

00

и применим неравенство Буняковского — Шварца

n d n У К п

П= 1 П=1

откуда

т. е.

X%-cnDx | mtn* 5s 1 ,

п=1

119