Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Романенко, А. Ф. Аппроксимативные методы анализа случайных процессов

.pdf
Скачиваний:
50
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
4.98 Mб
Скачать

оПараметрические статистические оценки характеристик случайных величин

■II/U

Вид распределения

Stf

 

1Экспоненциальное рас­ пределение

1

- -

f ( х 1Т) = ~y е

т>

х > 0

2Распределение Макс­ велла

/ < * 1» > - £ х

3 Гамма-распределение

 

вах а~ ’е ~ Р х

И * 1 Ю -

г (а)

a const; р = 1/у; Yпараметр; х > 0

Максимально правдоподобные

Оценки с мультипликатором

оценки

 

п

т \ . п = — ^ **

i= l

п

(а2)*м.п = 3/Г

i= i

п

т \ — n + 1 5 ] х‘ i= i

( ° 2П - 3 п + 2 ^ х 1

1=1

<Xfl —f~ 1

 

 

р

\ -

;

S *1

 

 

 

i = i

 

/ = I

 

 

 

п

п

 

 

 

 

■Г*м.п = — J j x i

j

Ч \ -

а П +

\

 

 

 

 

Т а б л и ц а 4

Параметрическая функция

х <«>

п

Л11

п + 1

1Зп

2 + Зц

Х<?> _

a n + 1

11

an

х <«>

“n

ЛП

an -j- 1

i=l

№п/н.

Вид распределения

Максимально правдоподобные

оценки

Распределение Вейбулла

f(xlD = -£r х°-'е-х'Х'1т;

Т == 2сх2 при а =

2;

Т = тх при а =

1;

х > О

Распределение S2

f(*\T) = —?z=i

2

ft—1

x M - N 2 X

ft—з Ikx 2a'i

X х

T = 2ai

, если a—1,

1 ,

. 2пГ (2) S;Ci ’ еСЛИ a= 2

П

2k

T\.n 1)

I-1

П р о д о л ж е н и е т а б л . 4

Оценки с мультипликатором Параметрическая функция

 

 

t\

~

 

X(<T>

 

 

 

ЛП

 

Г 2 (2)

 

 

ct= 1 (

Г3

(2)

J

^ji

 

 

Г(3) J если a = 1;

r2 (2)

 

 

Г3

(2)

I

2

 

{

4,J

Ъх]

, если a = 2

 

2 ~ ’ если a :

_____ 21 ___ У

xt

n ( k - l )

A1I ~ n ( k — l)+ 2

x n (k—I) + 2 2 j

i=I

 

 

О

№ п/п.1

Вид распределения

Распределение S

2

X

Пх]Т)~ т ( ^ )

X ( 4 V X

- Ь - Х *

X

Т х

T = 2<st

Максимально правдоподобные оценки

2k

Г*м-П~ n(fe — 1)

i= l

П р о д о л ж е н и е т а б л . 4

Оценки с мультипликатором Параметрическая функция

т*, =

>1!

 

 

Х<°> _ Л'я X

I — k — 1 Я * ’ *

 

ЛП — 2k ^

 

i=

1

 

 

 

 

[ я ,

если k =

2w;

 

f а,

если k =

2т;

\ 6,

если £ =

2m +

1,

\ Ь,

если k =

+ 1,

где

 

 

 

 

 

 

 

,

2k

 

* — 1Л

 

 

Л

- —

( 6 - 1 ) Г

 

 

 

 

 

 

ft—2

 

 

 

 

 

 

„ 2

 

 

 

а = ■

 

 

 

ft—2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

(£+ l)!!n/n + B , ^ 7 j 2

 

Bi —• yli (1

л) (fe

1);

6 —

/£ _|_ i \

g

 

 

 

 

I —=— '

—L

V 2 У

1

п/п.

Вид распределения

Максимально правдоподобные

оценки

Распределение Релея

f(x\T) =

О при х < 0;

- ^ е - х'12Т ■

т*м.п 2п 2j %i

при х> 0;

i = 1

 

Распределение

Лап­

 

 

ласа

 

т*м.п — 2п-

1 xt 0

,

_*zL

i=i

f (*Ю : 2T

т

 

 

 

 

П р о д о л ж е н и е т а б л . 4

Оценки с мультипликатором

Т\ =

п

2 xf i= l

2 { п + [ Г (3) — Г (2)j>

Нет

Параметрическая функция

: —

п

л + [ Г ( 3 ) - Г ( 2 ) ]

Нет

о

то из (21)

получаем:

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~Y~ ^

Гт {t,

t)

dz

 

 

 

 

 

 

ц ? =

т т

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у г J

J

[Гт (/,.

/,)

+

Я. (U -

/,)] dttdtt

 

 

 

 

 

о

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть m(t) — m0, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г т (tt,

t 2) = { M mm oy

+

а Шо =

m o a p +

’ m j.

 

 

где

— априорная

 

дисперсия

случайной

 

величины т0\ пгоаР—

априорное значение математического ожидания.

 

 

 

 

Выражение для

 

 

примет

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

гМ.

 

 

 

 

‘ О а Р )

+ <

 

 

 

 

(44)

 

лп -

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rx (г) аЧ

 

 

 

 

('Но

р)2 + гт0+

~Т~К1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для Т — со имеет место соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 * * м * = д а .

 

 

 

 

поэтому

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х<‘>'

 

 

( 1П0ар)~

+

0 то

 

 

 

 

 

 

Ац

-

 

 

 

 

 

 

Z2XтK0 P° A2

 

 

 

 

 

 

 

 

(т0

: + *2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

('И<х.р)г +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( , л 0ар)2

 

О2

+ '

л/э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тп 1

 

 

 

 

где

NB= T / t ^ — число

некоррелированных

элементов,

содержа­

щихся в

реализации

случайного

процесса

длительностью

Т.

При

N B ~* со

-> 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возвращаясь к

(44)

и рассматривая

 

функцию

корреляции

вида

 

 

I,

находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(«Оор)2 + 5т0

 

 

 

 

 

 

(" Ч а р )2 + а то 4

2с:

 

 

 

1

1

-Т„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

104

где

Toth = aR = 'V„ так как ос = l / t ^ .

Таким образом, параметрическая функция Х{^ определяется

априорными значениями оцениваемого параметра тоар и дисперсии а^,

а также значением T0th—Ns, причем а — параметр, полностью

определяющий протяженность корреляционных связей в исследуе­ мом процессе.

Пример 22. Рассмотрим особенности сглаживания случайного процесса X(t) = W(t)+N(t) с помощью оператора текущего средне­ го. Задача заключается в определении параметрической оценки

t + T/2 .

Х<а> Г

 

^* > (0 =

_у ~

\

x(x)dx,

причем

 

 

 

f —772

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t + T/2

 

 

\r * ( 0 =

S<<>x(T)=

у - j

x(x)dt;

 

 

 

 

 

 

t —T/2

 

 

 

Mx [ w x{i) =

W(t)-

 

 

vw(tu /,) =

Af» [IF (/,) IF (/,)];

 

Rbx^\’

i.

f^)-

Выражение

для

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

t + T/2

 

 

 

 

 

 

 

 

j*

Гш(Л т) dt

 

 

 

 

t —T/2

 

 

 

 

 

t + T/2 t + T/2

 

 

 

 

 

1

 

J

[ Г ^ ,,

/2) + /?*(/,,

 

j

 

 

7—T/2 t —T/2

 

 

 

 

Учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

 

где

^г) = f (Л) ¥ (^г) + R w (Л ' ^г).

 

? (0 = ^

(

0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

*.) =

A*» [IF. (*1)

 

(*.)J:

имеем:

r 0(*)

=

IF (/) -

A fJF (0.

t + T/2

 

 

 

t + T/2

 

 

 

 

 

 

 

? (0

Г

¥ (t) rft +

 

1

Г

Rw (t. t) dx

 

- у -

j

~f~

J

M?(o =

t —T/2

 

 

t —T/2

 

t + T/2

 

 

 

t + T/2 t + T/2

-f- J ¥ (x) tlx

 

+ ji

 

J*

^

Rv>x (t\' It) dtjdtf

 

t —T/2

 

 

 

t —T/2 t —T/2

105

где

&v>x(t\’ ^2) --RwVl'

Воспользовавшись неравенством В. С. Пугачева [Л. 16]

 

 

t + T/2 t + T / 2

 

 

 

 

2з2

,<*)

 

 

7"2

 

 

 

 

 

 

 

RWx(tu

tt) d t ltltt <

маук0р’

 

где

 

t Т/2 t —T/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. =

max Rwx (t,

t);

 

 

 

— интервал корреляции процесса W (t) + N (t),

получим:

 

 

 

 

t + T/2

 

 

t + T/2

 

 

 

 

 

(0 J

 

 

j

Rw ( t , z ) d z

 

M? (0 :

Г

t —T/2

 

 

t - T / 2

 

 

 

t + T/2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Г*

 

 

2

2«2

т(,)

 

 

 

 

1

<Р(т) dz

 

^°максТк°Р

 

 

 

- у

1

1

Т

 

 

 

 

 

t - T / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

<?(0=hy~

t + T/2

 

 

 

 

 

 

 

¥(x) dx'

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

t—T/2

 

 

 

 

где у (z),

— собственные функции и собственные значения оператора

текущего среднего. Полагая, что т ^ =

 

+ т^1>,

где тш и

интервалы

корреляции процессов

(/)

и IV (1)

соответственно,

по­

лучаем:

 

 

 

t + T/2

 

 

 

 

 

 

 

¥2 (t) ,

 

 

 

 

 

 

 

1

Г

Rw ( t , z ) dz

 

 

 

 

 

+

----

I

 

 

 

 

М? (о :

 

t —T/2

 

 

 

 

 

 

 

¥г(0

, 2cW

Ы + zn)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

}2

'

 

Т

 

 

 

 

Пример 23. У. Гренаядер {Л. 8] показал, что для нормальных стационарных случайных процессов с нормированной корреляционной функцией вида # н(т)=ехр(—а |т |) оценка математического ожида­ ния т*, получаемая методом максимума правдоподобия, имеет вид:

т

*

х (0) - | - х (Т) а ^ ^ (х) dz

о

=

----------- 2 + аТ--------

Здесь Т — длительность реализации x(i).

106

Проведем коррекцию указанной оценки с помощью метода -па­

раметрических функций. Для этого нужно найти два

первых РЧ 'В-

ных момента оценки т*,

а именно Мж| т< ат* и Мх ^т а \т*)г '.

Нетрудно заметить,

что

 

 

^х\т,а.т* ~ т (случай несмещенной оценки);

 

 

Г

г

1 2

^ х | т , а

X (0) -f- х (Я) -f a J

х (х) dx

 

 

0

 

 

 

(2 + а7')2

 

Проведем необходимые промежуточные выкладки:

 

[

Т

I 2

 

х (0) + х (Г) + a

j* х (т)

dx =

 

[

о

 

 

т т

 

 

о о

х2 (Т) + «2 j* |

х

 

х2 (0) +

т

т

 

 

+ 2х (0) X (Я) + 2 а | X (0) X (х) dx +

2 а j x

(Я) X (х) dx

 

=

2 а 2 +

2 о т 2 +

2 а 2 Я

Я(0) dd + а2Я2т 2 +

о

гт

+ 2 Я ( Г ) + 2 о т 2 + 2 а j * Я ( х ) dx + 2 а j Я {х — Я ) dx +

оо

+

4 а / я 2 Я - = 2а2 +

4 / г е 2 +

А а .т Ч +

2Я ( Я ) +

г

 

г

 

 

+ 2а2Я j ^ 1

Я (8) d 0 +

j *

[ Я ( х ) + Я

( X — Г ) ] dx + а2Я2т 2.

о

 

о

 

 

Учитывая,

что

 

 

 

 

I

 

. — а Г

 

 

\

dx = -

 

 

 

 

 

 

 

 

107

находим выражения для интегралов

О

 

 

1 — <?--а.Т

|/ ? н (т — Г) d z = e ~ aT ^ е" <7т =

 

 

 

RB(9) d%-К -+ ) e-^db =

! — e

— a T

t

1 — <?'

- aT

I9e- “ed9 =

 

 

1 -аГ

1 ]

e —aJ

"F

 

 

 

 

* - ^ [ 0 + “7’) * - вГ~1].

Итак,

Л4 ■,„..(«*)* = я * + 2 ф ^Г

Параметрическая функция

х!? = -------

2о2

, .

2в2

^Wmm2 +

2 + аТ

1 +

Afmm2(2 + NsoР)

Из последнего выражения следует, что при a7’ -»aoXj1^

Если

1

= 0,5, то

M m t n 2

2 + N КО Р

Значения Xj®* в зависимости от числа некоррелированных значе­ ний процесса NmP приведены в табл. 5.

Таблица 5

^коР

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,8 0,83 0,86 0,875 0,89 0,90 0,91 0,918 0,925

Окончательное выражение для оценки математического ожида­ ния экспоненциально-коррелированного стационарного случайного

108

процесса принимает вид:

 

*________Мттг_____

т

т\

 

~ 2а2 + Мтт2(2 -f- о.Т) х (r) + X (Т) + а ^ х (т) dz .

О

Пример 24. Рассмотрим параметрическую коррекцию экспонен­ циальной оценки математического ожидания.

Под экспоненциальной оценкой математического ожидания по­ нимается оценка вида

t

t - x

m*э (0 = Е ^ х (z) ,■= у - f <?

Г х (х) dz,

о

 

где Е — оператор экспоненциального сглаживания.

Целесообразность практического использования указанного опе­ ратора обусловливается тем обстоятельством, что для реализации (синтеза) специализированных вычислительных устройств дискрет­ ного типа, основанных на применении операторов экспоненциально­ го сглаживания, требуется минимальный объем запоминающих устройств (по сравнению с устройствами, реализующими другие опе­ раторы сглаживания). Однако при этом эффективность сглажива­ ния невысокая.

Эффективность сглаживания можно повысить за счет использо­ вания параметрической функции, определяемой соотношением, выте­ кающим из (21),

________ Mmm (QE^/w (х)__________ _

Х'' (° = Мт [ Е ^ т (х)]2 +

E ^ E \ JRBX( (tu t,) ~

_ j _ t

j _

 

 

Те T J

e T Mm \m (t) m (x)] dz

о

t

t

_^l+^«

 

m (x) dz

+

 

 

 

0 0

 

Для

t

 

t —%

 

 

9 (0 =

-y- j" e

 

T <p(z) dz

 

о

 

 

последнее выражение принимает вид:

 

xl? (0 =

t

t ti+ti

К

T Y (0 exp (2t/T)

о о

109

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ