книги из ГПНТБ / Романенко, А. Ф. Аппроксимативные методы анализа случайных процессов

Распределение Релея

Для распределения Релея имеем:

W

fар == ~j~ е w , 0 .< а » < 00. °W

где — дисперсия уровней эхо-сигнала W'.

00

Поскольку

e~xdx = Г (г),

гэ

00

Перейдем к рассмотрению примеров оценок характе­ ристик случайных величин.

13. ПРИМЕРЫ ОЦЕНОК ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пример 14. Рассмотрим оценку дисперсии S2, называемую выбо­ рочной дисперсией, в качестве предварительной

1

(43)

<=1

90

Следовательно, Используя формулу типа (22), получаем:

X(»).

лп -

1 +£>!

Пример 15. Рассмотрим оценку дисперсии методом последова­ тельных разностей [Л. 13], которая имеет вид:

/=1

где A2j- = (jCj+i—Xj)2, и используется в тех случаях, когда измерения X) имеют смещение, а дисперсия остается постоянной.

Перейдем к определению параметрической оценки q\. Пусть ис­

следуемая случайная величина X распределена нормально, тогда

^3/г — 4

‘4-

Кроме того, Мх|а q2 — а2(оценка q2 является несмещенной). Очевидно,

92

Поэтому параметрическая оценка

<7x = MiV — 2[л(л+1) — 3] 5 ] А/' i=1

Пример 16. Рассмотрим оценку среднего квадратического откло­ нения

1/2

/=1

где

1=1

Для нормально распределенной случайной величины X имеем:

/ 3 уУ /2 о, С1-2 7 г ;

что указывает на асимптотическую несмещенность S как оценки а. Отсюда находим:

Dx\a (S) =*=2л ’

тогда

(а)_ 2л — 3— Л11 — 2(л — 1) ’

1/2

л (2л — 3)

SX(®) “ 2 (л — I)2

г=1

Пример 17. Для характеристики асимметричности распределения случайных величин используется понятие медианы. В качестве оцен-

93

ки медианы часто употребляется выражение

+при п нечетном,

2

р,* =

Повышение точности параметрической оценки медианы объяс­ няется привлечением дополнительной информации в форме отноше­ ния а/т.

Пример 18. Взвешенное среднее хь определяется соотношением

п

Xh

i= 1

где /г; — веса (некоторые числа).

Статистика хн используется в качестве оценки математического

£ ■ ' )

94

ХЛп(а) —

!+М^г

14-

Новая скорректированная оценка

95

Пример 19. Пусть оценка среднего квадратического отклонения

определяется соотношением

П

;=1

где

п

;=1

Для нормально распределенные А' имеем:

иприходим к несмещенной оценке

я■1/2

Таким образом, для параметрической коррекции оценки d допол­ нительной информации относительно характеристик исследуемой слу­ чайной величины не требуется.

Пример 20. Оценим параметр случайной величины, распределен­ ной по закону Релея. Параметрическую оценку будем проводить при условии, что первоначальной является максимально правдоподобная оценка.

96

1

Для нахождения максимально правдоподобной оценки восполь­ зуемся функцией правдоподобия

f (х\а.)—- — е 2“ , х ' О,

а

где а — детерминированный параметр, подлежащий оценке по сово­ купности п независимых измерений (испытаний) xi, х2, . . хп.

Функция правдоподобия для совокупности п независимых изме­ рений Lx{а) и ее логарифм соответственно равны:

Для нахождения максимально правдоподобной оценки восполь­ зуемся уравнением

| аа*м.п == “•

Будем искать параметрическую оценку в виде

*2п Б 4

/= 1

Для определения Х{|* в соответствии с формулой, которая выте' кает из соотношения

требуется знать дисперсию оценки <**м.п.

Очевидно, следующая последовательная цепь соотношений:

= а 2 ( 1 - ^ > ) — Я + 1

Для сравнения с максимально правдоподобной оценкой а*м.п введем отношение

98

Рассмотрим итерационную форму оценки а1^ , котор ая получает последовательно из соотношений

п —1

/=1

Я — 1

Л( л - 0 = 2 ^ 5 ]

В табл. 4 представлены параметрические оценки для характери­ стик случайных величин, распределенных по различным законам (экспоненциальному, Максвелла и др.). В качестве исходных оценок рассматривались максимально правдоподобные оценки, которые затем уточнялись с помощью параметрического мультипликатора.

14. ПРИМЕРЫ ОЦЕНОК ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Пример 21. Рассмотрим параметрическую оценку математичв' ского ожидания случайного процесса X(t)

т

пг* J х (т) dx.

T J t u t2) = M n m{tl)m{t2) = r m(tl, t2);

Rexiti, t2)=Rx(tl—12),