книги из ГПНТБ / Прикладная математика [сборник статей]

-

80

-

Г ^ л1)-

~UE\nZt](n-l)At]

*.

[Tk (п л 1)-Т(ш -1)д {)]Ь[п а ^(л -1)а 1]^

+

S

[ r ( / ^ O

- r C

( . v - l ) A ^ ] / i [ ( / - l W

, W ] ) . (I0 )

формула (10)

J =i

вычислить

t

из-

позволяет

Г ( t t A i ) , если

вестнаГ Rn-l)d!f],

при

. Выражение (10) тем точнее,

чем меньше шаг

интегрирования

, однако уменьшение A t

приводит к существенному увеличению времени счета.

Особый интерес представляет определение циркуляции

вокруг профиля, совершающего периодическое движение. В этом

случае,

очевидно,

квазистационарную циркуляцию можно пред­

ставить

в виде

ряда

Фурье;

г* =ЙГо £ +Х !

Q jtc w J u t+ S J J tn in J u t.

( i i )

момент

Т

, предшествующий t

, циркуляция

о о

(12 )

Г = tf0u

0C t ) + S М 1) (« y C O S /c o t+ ^ sin i co t),

где G(0

,

C[j ,

Qj -

постоянные

коэффициенты.

Применив

метод

определения

вихревой циркуляции

[ i j , порле

T \± a Qg 0( t ) + f ^ a J gJ (i)-6jCj(t}'\Q Q $Ju>t +

.

+[<Xj cj

(

t

)

.

(13)

Расчеты, пррве денные

на

ЭЦВМ по формуле (10), показали,

что Г

,

а следовательно,

и Г устанавливаются через

четыре

периода

колебаний,

т . е . в

установившемся

режиме S j({ ),C j( t)

а1 ~ aJ K f i s ’

(14)

по

закону

ц=0; F0=A (vsm (w t-8);

^,=const;

cp=cp°+cp0S i t u u ^ ,

(15).

где

А

-

амплитуда

вертикальных колебаний

профиля;

СО

-

круговая

частота;

Vq

-

скорость

вертикального движения

пластинки;

виде

1>-23Т

(16)

где

Vc - -1У0№<у+ F0$itiq> .

Функции

'со$ ((p0Sincot); Sin(cpo^iftaJif) могут

быть Пред­

ставлены рядом

Фурье (разложение Ангера) [VJ:

ОО

co$(cp0sincoO= 70(<p0)+ S /2ncos2na7;

й=1

(17)

gifi(cp0g m o )^ )= 2 I2 4 n :i(<p0)^ iti(2 n - l)c o ^ ,

здесь JftfcpJ-

я=1

функция Бесселя целого индекса.

Так как ф 0 в реальных режимах -изменяется от

нуля до

частотными составляющими, т .е .

отбросить функции Бесселя

с

индексом

3 ,.и выше. Это упрощение значительно сокращает .

выкладки и,кроме того, не вносит существенных ошибок, тая

как из равенства Коши следует,

что даже при (р„4 остаток

ряда

S / ! ( l ) =

0,0013.

(18)

' Тогда

в ряде

(II)

-г=5

только коэффициенты Фурье

остаются

а гк .

к

> представленные равенствами

а ок =2Л<2

siticp 0 [<7С А + А о )/1со£§];

a i k =-ZTia

+Аш(70 + ^ со й ф °$ т 5 |;

(19)

I

s m

^ Z

^ / j - A o ^ c o s B

] ;

(19)

< 5 ^ = - 2 Л а ~ ~

/ » s it i( p ° s in $ .

Фо

(Аргумент ф 0

в функциях

Бесселя опущен).

Расчет коэффициентов

d 0,Cll , a i ,S 1,6 l

полной

цирку­

ляции производился разложением в ряд Фурье функции/^ , вы­

численной на ЭЦВМ по формуле

(1 0 ).

При изучении

линейной теории

процесса, т .е . когда вихревой след принимается прямолинейным

продолжением профиля, коэффициентов равен-единице,

а

коэффициенты

J

*•

являются

функциями

от

числа Струхаля

At.1

■*

Ао)

В случае,

когда

след

не является

продолжением про­

"VQ

филя, результаты получается иными.

Границы, определяющих движение параметров, при которых

можно пользоваться линейной теорией, описа'ны в работах

[5, б].

При

нелинейной

теории

коэффициент

о(0

линейно (в

тех пре­

делах

u) ,CpD, VQ, L/a

,

при которых

проводился

счет)

зависит

от приведенногочисла

Струхаля

S * (А ± а ср в)о)

, о -

( 2 0 )

и п

стремясь к единице, когда £

стремится к

нулю.

Коэффициенты

также зависят от этого параметра. Полученные ре­

зультаты приведены на рис. 2 .

.

В результате проведенных исследований можно сделать сле­

дующие

выводы:

1. Вихревую и полную циркуляции Г

и Г

через

время,

равное четырем периодам колебаний, начиная с начала периоди­

ческого движения профиля, можно считать

установившимися.

2 . При заданном законе движения профиля, т .е . заданной

квазистационарной циркуляции, с помощью коэффициентов

можно определить полную

циркуляцию

вокруг

профиля.

где

\7

и

кинематические

коэффициенты вязкости среды.

Для установившегося режима движения (с временным множи­

телем e~otl) система

(3) приводится

к

системе трех

уравнений

Гельмгольца:

Acpi +Л^с91= 0;

ДЧ> г+А£фг= 0 ;

д Ф + £ £ Ф = 0 ,

(/+)

цде

к \ х , к ^ г - корни уравнения:

А -В к 1-Скь= 0;

£

- r [ t - f f ( ''* « . ) ] ;

c ~x ° [ - T

t * i - ] -‘

вдесь <5

-

частота

колебаний;

с

-

скорость

звука

в невязкой

и нетеплопроводной сре­

д е .

|

При выводе уравнений

(4)

предполагалось, что

сp = c {cp ^c^cp Z)

(5)

где С [ и с[-

постоянные коэффициенты.

•

Если решение (4) известно, то скорость определяется по

формуле

(2 ), потенциал скоростей ф

- по формуле

(5 ), а

остальные

величины

- .по формулам

S = -

1

Р =Р0+/р0б(рф 0ч>*л<р;

Ъ-ЬЧГ.

+

:£~Д (

( 6 )

V, = V(Q)p-6H ,

^ q » = 0 ,

( 7 )

где Л 8 , гр - сферические

координаты;

U{Q),V{9 )- произвольные функции от

0 . -

Представим функции U(Q) и К(Э) в виде

Л=0л

^(0)“S

VnPn im%)-,

(8 )

Л=0

Un*(п+■j )

я

{ Ще)РЛШ9)</со$8;

(9)

,

зг°

Vп*

^

6)й /соё 9 -

-

86

где U nt Vfi

-

постоянные

коэффициенты;

ti

A (c0S 0)

-

функция Лежандра 1-го рода

-го

порядка;

.$f(co$0) -

присоединённая функция Лежандра 1-го порядка,

й = o , i2,. . .

;

В связи с симметрией граничных условий

(7)

и

сферической

поверхностью

функции ф

и $

не зависят

от

ф

,

т . е .

ср=<р(.у%9);

. 4 = < H r ,0 } / i ,

(Ю)

I ?

<•«

Ы

т г

- S

и» р" (“ е):

о'ср

± ,(НгФ1

г —I г/ dPnCeos Q)

( И )

гдЬ

г

дг

= 2_<

vn

“ 7/0

г=а

л = о

и 0

Для температуры на поверхности сферы граничные условия

можно

записать в виде '

„

(12)

т-

1 - ^ ф *

^ f M

- * * £ v ” (c o s e b

Применяя метод разделения переменных и учитывая времен­

ной множитель e~Qtl ,

находим решение уравнений

(4), удовлет­

воряющее

условиям ( II ) и

(12):

Ф= Ц Ь Anhn(А:,,г)Рп(совв)+2

B„hn{knr)Pn(cv&Q)]г“6^ ;

I л=о

л=0

J

Ф

=

Ё

^

л

С

^ ^

- ^

( с о 3

0 ) р - 6 ^ ',

.

(13)

Л=0

и а

гдеЛ л Bn,Qi~ постоянные

коэффициенты,

которые

определяются

из граничных)условий:

(i).

.

h n (U)=l(Yy)1 Я (^ + 1/г

(U);

Я п (1 /)-

первая

функция

Ханкеля

П

-го

п о р я д к а ^ ].

Подставляя выражения (13) в уравнения ( II ) и (12), получаем

следующие

выражений для

коэффициентов

./4л

>^л •'

А

„

&

АД» .

г -

д

.

Л Л-

\

’

Ln~

’

Д

д

^

P ti ( n + l ) h n (k Le}b n [K^cl)

k ^ c zb ^ (А ^ я ) «