Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Прикладная математика [сборник статей]

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

-70

За м е ч а н и е 2 . Можно поставить самостоятельную

задачу	анализа	точности представления f	(х)П моментами. Дело
в том,	что с возрастанием порядка момента точность его опре
деления падает		из-за ограниченного числа	опытов (рис.}.

График	качественной зависимости точности от порядка
	■ момента £
Задача	определения оптимального порядка S' opt , при

котором достигается наибольшая точность, с этой точки зрения представляется весьма актуальной для решения вопросов аппрокси

мации реальных дискретных р а с п р ед ел е н стандартными.
	Л и т е р а т у р а
1 . Феллер В. Введение в теорию вероятностей			и ее приложения.
Т. 2. М.,	"Мир", 1967.
2 . Корн Г ., Корн Т.	Справочник	по математике	для научных ра
ботников	и инженеров.	М., "Наука",	1973.

3 . Фильчаков- А.А. Теория комфорных отображений. М., "Наука", 1970. .

- 7 1 -

Ч а с т ь П

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

П.И.ЦОЙ

ЗАДАЧА О ^УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЯХ ЗВУКОВЫХ ВОЛН ОТ ПУЛЬСИРУЮЩЕЙ СФЕРЫ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ

Рассмотрим общий случай излучения (неустановившиеся колеба ния) пульсирующей сферы в вязкой среде. Предположим,что сфери ческая поверхность радиусом а пульсирует по заданному аакону распределения скоростей на ее поверхности и является источником распространения звуковых волн в неограниченной вязкой среде:

Vr = (I(Q )i(t);	Гв = У Ш У ;	V '^ Q ,	(D
где U(Q) и V(Q)~ заданные функции,		зависящие только от 8	;

щ - наперед заданная функция, которая возрастает не быстрее

некоторой	экспоненты, -а .Г , 6? , У - сферические координаты.
Задача определения акустического поля в вязкой среде от
пульсирующей			сферы по заданным законам (I) решается системой
			- ^ < $ =0 ;
			( 2)
где <р и	Ф	-	скалярный и векторный потенциалы скоростей;
' и	V	-	кинематические коэффициенты вязкости среды;

С- скорость звука.

Всвязи с симметрией граничных условий (I) и сферической

поверхностью		функции получим [ i ]
ф = с р ( / \ 0 ) ,			Ф = Ф ( г , 8 ) а j ,			( 3 )
где		- единичные 'векторы на осях сферической системы
1		координат.
Тогда граничные условия (I) по выражению (3) будут сле
дующими:			а	(вт0Ф>1		= U ( Q ) f ( t ) \
Jse_.		1
L дг		г sin9	а е		ir= a
бср		_ 1 а(л’Ф)			-=V(B)£(i),
г д	0		9 г	р=.а
а второе	уравнение		системы (2)		принимает вид
		бФ
		a	t	-\7 л Ф = 0		(5)

72 -

Применив метод преобразования Фурье £ г,з] к уравнениям (2),

с учетом выражения (5) получим с*1

Д Ф г Сг -^*оИ		Сг -
д о t — — ф = . А -ф
а м	о	о ^0*

где

loLU t- ,

(6)

(7)

-со

		C o
Ф,— yL,.		f <PeiU^ d t				( 8)
'	№	- L	,
cp = 0 , Ф - 0 ,	* ( * ) tQ			при	£ < 0 ;	(9)
0Ф о	5 ф		t = 0,
Ф о = ф к 0 »			t = 0,	Д ф о= Д с ф =0,	^ o ^ j ^ o ’dO )

причем функции 9ов>". #д^и иФ%0 есть заданные функции, характери зующие начальные условия данной задачи.

Следует отметить, что каждую из заданных начальных функ

ций фо . f f 9 и $ нельзя истолковать с физической точки	зрения.
Однако из формулы, определяющей давление,
^ = 3 > - Я о 1 } ^ - + Р о ^ Л Ф	(II)

вытекает, что различные комбинации этих функций определяют на чальное давление, начальную скорость и другие элементы' звуко

вого поля. Если жидкость идеальная, то	определяет начальное
давление звукового поля и т .д .
Граничные условия (4) для cpt и Ф 1	примут вид

				е=а	= U (e )F (*)-,
	1	9СгФ>)			( 12)
' дчч				= V ( W ( « ) ,

7 Ш '	г	’ 9 г
			г=а
где
					(13)
причем £ (i) =0		при zf < 0		и o( =o<1+ / f	при £>о.
Тогда на		основании		свойства преобразования \|Фурье имеем
		д а =		-co+Ei	( 14)

- 73 -


Равенство		(13) имеет место при выполнении следующих условий:
1.	Функция f ( t )				определена для всех' действительных					зна
чений и	равна		нулю при			t< 0 .
2 . Интеграл выражения (13) сходится для действительных
значений	,		не	меньших, чем некоторое £ > 0 ,г д е					t-J m c C ,
3.	Функция F(o() аналитична при всех конечных значениях
<Х, лежащих выше прямой JmoC=E .
4 .	Интеграл			( F(X+1 С Jcfr сходится для				всех	действитель
ных значений с ,				, не	меньших,		чем £ .
Если иеет			место		одно из		соотношений (13) или (1 4 ),			должно
существовать		и	другое		j^2 ,3 j.
Следует		заметить,				что поскольку функция f(t)			равна	нулю
при / < 0	, то		из интеграла (13) видно, что функция							анали
тична в полуплоскости,						лежащей выше прямой		ТтсИ=Е>В

В большинстве случаев при помощи аналитического продолжения можно выяснить поведение функции Ffa) в нижней полуплоскости, где Щ ) имеет особенность.

Общее решение каждого из уравнений (б)					может		быть представ'
лено в виде
Ф 1 =<?31о9Ц+Фшост ’			^ 1=^Ю в«+<^ 1чост >				С^5)
где ЯР:одн и<^1одн" Решения однородных уравнений,						соответствующих
		неоднородным	(6);
<jpj4acr иф1частчастные решения уравнений (б ).
Сначала найдем ф 1о(ГН и			Ф1о^н :				о
	сл	* /	\
Фюдн*			s)Pn (cos 8 ) ;				(I6 )
где1 H n (z)		- Функция Ханкеля 1-го		рода	п	-го	порядка;
Рп(СО$в) - функция Лежандра 1-го				рода	п	-го	порядка;
А п (<<) иВп М -		неизвестные	коэффициенты, зависящие от об.
Далее	предположим, что		известны	начальные		условия, т . е .
с р о ^ С л	0 ) ,	- \| \| fi- = ip e (A 0 ),		Ф „ = с с (л 8 ) .			(17)

Тогда, разложив заданные функции (начальные) в ряд по функциям Лежандра, полечим

	ая (г)Р л (со$В);
п-о	( 18)
п-о

			-	74	-
		С О	WPn № 9);
ipi (л. 6)=Х^			WPn № 9);				(18)
/( Д 0 ) = й спи-)4кРп (со$в),							(18)
/( Д 0 ) = й спи-)4кРп (со$в),
где	Л * 0
где	/	5
w = m + - \| - ) J ^ ( л б ^ я С с о в 0 ) S i f i 6 ^ 8 ;
6h (r)=\n + y ] j		грг ( л	ЮРп ( c o s 6 ) s m 0 ^ 8 ;				(19)
	»	зг
Сп w=iw h~i) I f			9	)	й Pn[cosт	8 { з ш ^	е •
При разложении		выражений (18) и (19) были использова
ны свойства	функций	Лежандра			[4]:

	^Рп (х)Рт (Х)с/* = .	0
		2
	л
		2Л + 1

1 0

\ P ™ ( X ) P ? ( x l d x =

2л + 1

при	п ф т	;
при
при	п = т	;
		( 20)
при	п * е	;
( п + т )\	при	Я =
[ п - т у .	при	Я =
[ п - т у .

На основании функций (18) уравнения (6) принимают Ьид

**♦ v &	s r b - B			=
Тогда	частные решения		уравнений (21) будем иметь'	в ви
де
	4 4 4 qct=5 Z ]	°(п	(с°£ 9) >	(22)
	л=0		,	(22)
	о з		r J
	^iM acT ^^ -J	Рп(г) /п ^ л ( со^0)>
	я=о

гдео(л (г]и Рп(г) - неизвестные пока коэффициенты, определя

емые из	уравнений (21).
Подставив выражения	(22) в (21), получим д л я О ^ (^ и

f>nlc() следующие уравнения:

- 75 -

Ac<n (r)+	с*1	л (я + 1 )
	С1-^*Ы£		Л 1
Afi-n И '	d i	nln+l)

/ '	\?*a a-n (r)4t,(rMian (r).
« л ( ^ -	f i - v * o t f -
	(23)

При написании формул (23) было использовано уравнение

Лежандра [4 ].
Предположим,		что мы	нашли частные	решения уравнений	(23)
в'виде			р п (г)= Уп (г,ы) .		■
<*л (г)= Х п О ,<х) ;			р п (г)= Уп (г,ы) .		(24)
Тогда	общее	решение	уравнений (6)	на основании формул
(16), (22)	и (24)	будет	следующим

( f l r S А д (<*)	г_ ^^^^+ Хп [г, °() рп (cos6);
*0	fo C l	'Л ^ л (г,с<)	(25)
*0			-JgPnK сое 0> .
ф . - s			-JgPnK сое 0> .
Я=0
Оригиналы функций cpt		и 4 ^ имеют	вид
	со+€У		/

<$- Щ Г S	-Jb ^	j^O
где		_ Asn .
А д С о О -	;	_ Asn .
А д С о О -	;
&П
Л й = Z 1^	( z 1){/?n ( Z j)+ Z ^ „ (z z.)} -(« -i)n h n {z1) ^ ( Z 2)
4 ^ л = ^ C z 2) tz ^ A (z ,) ]		(а,

Лк ; (26)

(27)

(28)

-л(л +1)ЛЛ fZj) [Vn a F ( * ) -Х п ( а ,ф У п

			-	76 -
л Ъ[, =ЛЯ ( z j [U n a F M - а Х п‘ ( а ,ф п ( п Л ) У п ( а / х ) ]-z< h 'n											(zx)<
	х[Уп а ? ( « ) - х п ( а ,а ) Un (a,cclcn^(atci)\.									о	(28)
Здесь
„	а о	„	la i			I г*I		У и /		I
^ 1= у		V		\|7	л А ( г ) = ^ А а (г);
	f t *										(29)
											(29)
Х'й (а ,Ф		-£р-Хп (г,х)		r ^a \		(а,<хь -gp-Un (r,d) ,г=я
	Таким	образом,	найдено		решение		данной		задачи	по фор
муле	(2 6 ).
	Вычислив ср и		Ф	по формулам			(26)	-	(2 9 ), можно опре
делить скорость, давление, плотность, сжатие и результиру
ющую	силу	давления,	действующую на			сферу		в направлении
О С И 0% I		V *g ra d ф+rot Ф
		V *g ra d ф+rot Ф
или	в проекциях
		йг		1		(вш 0 Ф )
			г Sin 8		3 8	(вш 0 Ф )
			г Sin 8		3 8						(30)
											(30)
		10 = 7 " 5 0 ' ~ 7 ‘' ^				('гФ )
и							О
	-P=Po~Pojf- +fia**A< pi						/> » Я о (1 + Л ;
		- $ f - H	( p	= 0;							(31)

23* зг

^ c o $ 0 s ih 8 d !8 ,

ОО

где

P ^ - P ^ ' - y ^ ' ^ W				j y	•
Кроме	того, можно определить интенсивность и полную
излучаемую	мощность	звука	по формулам
	J=PVt	;	\JdП $= ,5		(32)

- 77 -

где d,S' - элемент поверхности тела на расстоянии Г от центра излучателя звука.

Ли т е р а т у р а

1. Цой П.Иг Излучение пульсирующей сферы в вязкой среде. - "Механика жидкости и газов'^ 1969. Вып. 4.

2.	Морс Ф.,	Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. I.
	и П.	М.,	Изд-во иностранной литературы, I960.
3 .	Титчмарш	Е.	Введение в теорию интегралов Фурье. М.,

Гостехиздат, 1948.

4 . Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функ ций. М., Изд-во иноотранной литературы, 1952.

в.н.носов

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ЦИРКУЛЯЦИИ ВОКРУГ ПРОФИЛЯ В ПЛОСКОМ НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ

Циркуляцию потока		на профиле	в плоском нестационарном .
потоке несжимаемой	жидкости можно		представить в виде суммы
квазистационарной		и вихревой	Г циркуляций:
1	r -	v r .	(!)

Квазистационарная циркуляция зависит только от пара метров, определяющих движение, а вихревая циркуляции учиты вает еще и влияние вихревого следа. Знание формы профиля и уравнения его движения позволяет определить потенциал абсолютного возмущенного движения жидкости в форме, анало гичной форме Кирхгофа [ I ] . Э то ,'в свою очередь, позволяет йолучить значение квазистационарной циркуляции. Так, для тонкого слабо изогнутого профиля Жуковского имеем

			Тк = 2 riot [jbUe-(t+E) Vc -(i -	( 2).
где	i d	-	длина хорды профиля;
£	и ji	-	соответственно безразмерная толщина и кривизна
Ue ,Vc			профиля;
Ue ,Vc		-	проекции скорости профиля на оси, связанные с ним;
	ф	-	угловая скорость вращения профиля	(рис. I ) .

- 78 -

Рис. I . Обтекание профиля потоком идеальной жидкости

Потенциал течения, создаваемого одним изолированным вих рем и обтекающего окружность так, что на нем функция тока постоянна, имеет вид [2]

	р = $.Х<Г		4 - К" ^	m
	rg	I Ш		^
Для того, чтобы в особой точке окружностискорость те
чения в соответствии с		постулатом Чаплыгина - Жуковского обра
тилась, в нуль, необходимо наложить дополнительную циркуля
цию [ l ] ,	определяемую	выражением
	ХГ'-ДТ’		.	,, ,
Знание конформного преобразования £ -& (Х ,у),				=
плоскости	(окружности)		в плоскость %(Х,у)	(обтекаемого

контура) при непрерывном вихревом следе позволяет записать вы

ражение	для вихревой		циркуляции
		? = \ j j - h xix , 0 d s ,				( 5)
где Aj	-	множитель	при	по	формуле (4);
Р	-	коордийаты	вихревого	следа в системе ХОУ {ща.		I ) ,
Особенностью данного ин^егродифференциального уравнения
является		то , что координаты Х , у			, уходящие в выражение	(5),

						- 79	-
и координаты вихревого следа-не одно									и то же. Скорость точ
ки 6 ,		соответствующей координате						задней кромки профиля
(см .рис. 1 ),в неподвижной системе								кобрдинат		[з] представля
ется	формулой
				=							(б )
где	К01 -		скорость		полюса	Ог ;
	г 0	-	«скорость		полюса	О ;			__^
	cop = (i;			сOj, = ap; rg = OB;			¥ ^ [ - О ф			(рис. I ) .
	Интегрирование выражения (6) позволяет написать следующие
уравнения траектории вихревого следа в неподвижной системе
координат:				^					^
		Ч								.	(? )
	Связь			между координатами Xt.yg					и координатами Х , у		в
подвижной системе координат ХОУ в								формуле		(5) задается	соот
ношениями				.						'
										(ф +Ц ); .
где	t		-	момент отделения вихря				от.профиля;

Г- некоторый момент времени, предшествующий t . ..

После	подстановки выражений (7) и (8) в формулы для
ё,{&у) И	<2{Х,у) , а затем	в формулу для h ^ X ,y )			и после
перехода к	новым переменным	I	и f	получаем окончательное
выражение	для вихревой циркуляции
°	r ' = - \ ^ h ( t x ) d x .				О )
(Ввиду громоздкости полное		выражение для h ( l,f) здесь не
приводится).
Получить решение уравнения			(9)	в квадратурах	при произ

вольном движении профиля не представляется возможным. Однако можно указать способ численного интегрирования этого уравне ния при следующем предположении:' вихри, образующие след, не перемещаются за профилем, они неподвижны относительно жидкости. Этим утверждается, что вихрь, сошедший с профиля, остается не подвижным в системе X oOqUq . В стом случае получается удобная рекуррентная формула для подсчета Г .вида

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ