книги из ГПНТБ / Прикладная математика [сборник статей]

(a e A u tm ,

что

(Х Ю Ф= (Р М

где ( Х , Ю - Х '^ Х У ,

£»±1

и (X ,P )^= < P ,Q > .

'

Доказательство, По условию ( Х С?>У^>) ~(Р ,0}

.

Будем

счячв1 ъР,Р

нильсеновскими

образующими.

Поскольку

-

тоже образующие, то существует автоморфизм iyeAut(P,Q) такой,

что

=JC? и

Q V?=P<^ .

Составляем коммутатор (X ^ P ^ ^ iP ^ Q ^ )

По теореме

Нильсена

[з]

имеем, что (Р®,QvhT(P,QJ(T _1

, где

Т

-

слово

из (Р ,0 },€ =

± L .

Тогда (X <Р',Р^) =Т(Р,Q)ЬГЛ,

отку­

да

Т llXep,P <^)P(P,0f Обозначим

cjpr q? = cpt

.

8то и

есть искомый

автоморфизм, удовлетворяющий заключению теоремы.

,ХЬХ ^

Рассмотрим

уровне ние

. .Слова

из Рп , являющиеся решением данного уравнения, назовем' три­

виальным решением его , если все .они или попарно

принадлежат

к ■

некоторой

циклической

подгруппе i f ) группы

Fn .

Т е о р е м а

Д.

Пусть X,P,P,Q

-

нетривиальное

решение

уравнения

Х[1Х ^Х ^Х г =Х51Х ^ х 3Хч .

(2)

Тогда

существует

подгруппа (V,W)

ранга

2 группы / я ,

у которой

X,U,PTQ e (V ,lV ) .

Справедливость

этой теоремы

сле­

дует

из теоремы

Стейнберга

[2],

Л е м м а .

Пусть

Xi ,Xl ,X },Xiit - слова

из 1 ^ ,

являющиеся

нетривиальным

решением уравнения (2 ),

Сущеотвуе.т решение

,

гд е Л Г ,,^

являются ^ильсеновскими

образующи­

ми подгруппы

фс,,Хр.

как Xl ,X z ,Xi

Доказательство.

Так

-

решение

данного

уравнения

и X SX^

порождают подгруппу

ранга

2,

то

существуют

нилъооновские

образующие

, порождающие

эту

же подгруппу.

Из теоремы Нильсена [3J следует, что (Х^,ХР=Т'1(Х3,Х^)Т

,

где - Т - слово

из

подгруппы (X 3 , Х р .

Отсюда вытекает

утвержде

ние

леммы.

Х х ,Х г,Х},Х^~ решение

X j X

Следствие.

Пусть

уравнения

(2)

и

образуют

нильсеновское

множество,

причем

коммутатор

Xj,Xit

циклически несократим.

Тогда существует решение

X j, х г,Х5,3?4 такое,

что X t X i

и Хз,Л,

являются

нильсеновски-

ми парами.

Пусть (Х,Р) и {Р,0)

Т е о р е м а

5.

-

максимальные

под­

группы. Если существует автоморфизм ср

группы Рп такой, что

*

(X * ,y* ) = (P,Q)

,

то

(X,P > ^(P ,Q > .

-

61

-

Доказательство.

Действительно,

пусть P,Q - нильсенов-

ские'образующие. Кроне того, допустим, что коммутатор P.Q

циклически несократим, в противном

случае перейдем к сопря-

аенной

подгруппе, в которой

будет выполнено это условие.

Существует

такое ф eAutFn ,

что (Лг(р,Р'Р) = (P,Q), В подгруппе

(Х^У^У выбираем нильсеновские образующие, например,

u ,v .

Тогда

в результате

следствия

коммутатор

(u,v)-(P ,Q ) ,

По

теореме

4

имеем, что и у ,Р ,0

содержатся

в некоторой

подгруппе

ранга

Отсюда следует, что

(P ,Q )c(tvlr P/l) ,

а

это

противоречит максимальности

{Р ,0) .

Таким образом,

(Ц.,Щ )=(Р,$) , U ,re(Р,Q) и (u,v)c(P,Q )

. Но по теореме

2

подгруппа

является

максимальной, поэтому

(U,V)=(P,0) .

Т е о р е м а

6 . Чтобы две максимальные подгруппы ран­

га 2 (ХДУ

и (P,Q)

были автоиорфны, необходимо и достаточно

существования автоморфизма (f^A utF ^

при (X’‘p, P Cf>)=(P,Q)~^,

Т е о р е м а

7 . Существует алгоритм, позволяющий

для

автоморфность

в Рц , п > £ .

Для доказательства используется вышеизложенное и теорема

Уайтхеда 3,

стр. 166 .

Л и т е р а т у р а

°

'

1.

Гриндлингер М.Д. Сопряженность подгрупп свободных

групп.

-

"Сибирский математический

журнал", 1970., Т.

I I ,

№ 5,

2 .

' A r t h u r

S tein b erg --. On e q u a tio n s

on f re e g r o u p s ^

-

_

"Michigan Mathematical Journal. jg?i у Ц

3 .

- M a g n u s

W., K a r r a s A .. S o li tar])--* C o m b in ato rial group

>

theory" ifev-Jork-London -Sydney, 19b&.

3) для оформления содержания

этих вопросов.

Подобный алгоритм

может

быть

построен методами техни­

ческой диагностики

[ I,

2, 3

и д р .]

с использованием

струк­

турно-логической схемы

(СЛС)

темы,

раздела, курса в

целом

(в зависимости от

цели

и назначения контроля). Порядок по- •

заимствованной

из работы [4 ].

В этой схеме узлы

14,

15,

16 изображают конечные сложные

понятия, для

познания

которых

были использованы

исходные по­

нятия темы (раздела, курса), изображаемые

узлами I и 5, а

также промежуточные сложные

понятия (узлы

2 - 4 ,

6 - 1 3 ) .

чаемой теме, отмечая факт усвоения данного понятия знаком " I" ,

а неусвоения - "О".

Как видно из схемы (рисунок),неусвоение студентом понятия I

вызывает

неусвоение понятий

2 ,3 ,4 ,9 - 14,16; понятия

5 - 8 и

15 не зависят от понятия I ,

поэтому их в этом случае

следует

считать усвоенными. Эти факты с учетом принятых обозначений

отмечены в первой строке табл.

I ,

которую будем назы­

вать матрицей состояния знаний студента.

Рассуждая аналогично, можно установить по СЛС,' что не­

усвоение, например, понятия

6

вызывает неусвоение понятий

7 - 1 6 ,

в соответствии с этим

на пересечении шестой

строки с

столбцами 6 - 1 6 проставляется

знак "О". Таким образом,при

помощи СЛС заполняется вся матрица состояний, представляющая

собой таблицу размером п*П

( л - число узлов СЛС).

•

Может оказаться, что охватить

одной проверкой все поня­

л ( А

+ А +Ао^ А №g +J?10)Tl10;

A = А й

j t ^1}) (А й +А з +А у+A s) ^А г +А з +Ai) « А б ^ И '

Т,

А

А

А

А

А

А

Ад

I

0

0

0

0

0

Ад

I

I

0

0

0

0

Ад

I

I

I

0

0

0

А,5

I

'.'I

I

I

I

I

А,6

I

I

I

I

0

I

А,з

0

I

0

0

0

0

А 1»

0

I

I

0

0

0

А,5

0

I

I

I

I

> I

Аь

0

I

I

I

0

I

Ад

0

0

I

0

0

0

Аи

0

0

I

I

I

I

Ад'

0

0

I

I .

0

г

Ад

0

0

0

I

I

0/

А,6

0

0

0

I

0

I

Ад

0

0

0

0

I

0

Мак-Класки [5], получаем

Г ^ А А А А А + А А А А А '.

W

66

-

Г ^ - Jl/KgTiglTjg;

(2)

Tj =*l2*13*H *16+ *l2*13*lA *l5+*12*13*15J'l6>

(3)

Таблица

3

Таблица 4

Значения логической функ­

Значения

логической

функ­

ции Г г

ции^- Гj

^7,8

*7

*8

я,

к

*11

Г}

%

*13

JTtf

*16

I

0

0

О 0

•Лг,15

I

0

0

0

0

&7,10

I

I

0

0 0

I

I

0

0

0

I

I

I

0

0

I

I

I

0

0

^7,11

I

I

I

■I

0

**12,16

I

I

I

0

I

Л*,10

0

I

0

0 0

0

I

0

0

0

0

I

I

0 0

■Ai,is

0

I .

I

I

0

^8,11

0

I

I

I- 0

**13,16

0

I

I

0

I

Л,10

0

0 •

I

0 0

*Vl5

0

0

I

I

0

^9,11

0

О

I

I. 0

•^14,16

0

0

I

0

I

Д10,Ц0

О 0

I

0

&1S,16

.0

0

0

I

I

понятий

Г,'

I

- 4 и 5;

при втором

cifbco6e

Т1'

1 - 3 ,

5 -

6.

.Из выражения (2) видно,

что проверка усвоения понятий 7

- I I

осуществляется единственным путем - соответствующий вопрос

должен

предусматривать

включение в ответ набора

понятий

7 - Ю .

Как показывает вы.ражение (3), усвоение совокупности по­

нятий

12

-

16

можно проверять

тремя

способами

с

использова­

нием в

ответах

наборов

понятий

Г5

12 -

14,

16;

Г3

12 -

15

Гу'

12, 1 3 ,1 5 - 16 соответственно.С учетом

этого усвоение

всей темы, СЛС которой показана на рисунке, можно проверить

при помощи трех вопросов, объединяемых по одной из следующих

шести

схем:

ставления

произвольной

fix} рядом через

моменты. Если учесть

статистическую погрешность вычисления

вследствие ограничен­

ного числа

опытов, то

численное решение

(5) не выглядит большим

ления укажем другой

путь

решения преобразования (2), определив

высшие моменты через первые.

Итак.

_

,

(х-т \1

/

1

р (71% /

£^ =б Ш Г^

[' ^ ^ Т б )

7!

(7)

С другой стороны, известно, что для нормального распреде­

ления [2]

\

Тогда окончательно из выражения (7) получим разложение

нормального распределения в ряд пр моментам

1

-

1 \* ( 2 * - i) ! ! (х-т) IS

( 8 )

/ г г . - ' -

ш

Аналогичным путем можно получить разложения в ряд по мо­

ментам и для других

плотностей стандартный распределений.

З а м е ч а н и е -

1 . Разложение

стандартного распределе­

ния, заданного первыми моментами, в ряд п о л моментам типа

(8)

следует трактовать

как

корректировку,

уточнение £(xj высшими мо­

ментами ( s i l - r 4) .