книги из ГПНТБ / Прикладная математика [сборник статей]
..pdf- 20 -
Рассмотри! ряд балок, схемы которых приведены на рас. 2 .
а) |
/4 5) |
М (д |
гг. |
|
I------------- |
Т |
t |
|
|
У & -& |
|
|
|
У1<Л |
Рве. |
2 . |
Схемы нагружения балок |
|
|
Для ховсоди, наказанной ва рве. 2,а , ограничение ныпоашетсн ш хромежутве((Ц,) я гаде строгого аеравенства. Равенство у^х}=-& повет иметь место д в а ва хонде промежутка ш Давать дополивтельное граничное условиеy W t - h . . Поэтому фужж-
цляяр строятся в uqte
|
|
9=J44^0bPiW<0)+P*f&(£)*A3 - |
|
О») |
||||||
|
Гамильтониан снстевы нредстаэш равенством |
|
||||||||
|
|
Я = Я а = -^ Л +А1^ - А 1 | |
^ |
, |
|
|
(20) |
|||
а уравненхя |
(8) |
л концевые условия (9) |
для множителе! |
Заграя- |
||||||
*а |
приводят х ревешь |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А1(0)=р1; |
Я1Ш)=рг , |
Ai(X)—p s; |
At (i)-0 ; |
|
|||||
|
| ^ i =P i i |
A t =Pv( i - /r ) ; |
p t =pi i ; |
|
Pi=-f'i . |
|
||||
Учитывая, ч т о Ц ^ О , Щ(х)=Ых)ш |
У=1, из |
последнего уравнения |
||||||||
(8) |
подучаем |
36По А |(д ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 21) |
||
|
|
|
■1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив |
значение А* н h в |
ура т е ния ( I) |
и проинтегрировав |
||||||
кх |
при условиях |
(1 9 ), определим две постоянные |
интегрирова |
|||||||
ния и множитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда |
|
M xf У4г^ х/9£М ’ |
, |
t22) |
||||||
|
_______ |
_ . |
|
|
|
|
||||
|
Для сравнения отметим, что |
консоль |
постоянной высоты h |
|||||||
с заданным прогибом Л свободного |
конца |
имеет |
объем |
|
||||||
V ^=<5Z |f® ^p , |
объем оптимальной |
консоли |
F 0p( = ^ А==н 6L * |
|||||||
, J / ^ 2 T |
= 0,955 ^ . |
|
|
|
|
|
|
|
||
- 21 |
- |
Аналогичным образом можно |
получить решение для консоли, |
показанной на рис. 2 ,6 . В этом |
случае найдем |
,К о*-0 ,8 4 7 , .
Вкачестве другого примера рассмотрим однопролетную балку (рис. 2,в ) . Точка выхода на ограничение х - х *не
известна. Строя функцию ср |
в виде |
|
|
|
|
|
|||||
(? = р1у1(0)+ рг у1Ш + р 3[{/1( л * ) - д ] + р ^ г ( х ^ ) , |
(23) |
||||||||||
получаем |
следующие соотношения |
Эрдмана |
- |
Вейерштрасса |
в |
|
|||||
точке разрыва |
множителей Лагранжа |
; |
|
|
|
|
|||||
Л~(х*)-Л^(х*)+р5=0; к\№ )С № *)у № 1£(х *)=Н ь( х* ). |
(24) |
||||||||||
(Здесь и в дальнейшем знаки |
и "+" обозначают функции до |
||||||||||
и после точки разрыва). |
|
4 |
|
\ |
0 |
- |
|||||
Соотношения (8) |
и (9) |
дают |
уравнения и концевые условия |
||||||||
| |
=0 |
> |
|
|
|
|
|
|
|
(25) |
|
[ A t + A ^ O ; |
А 2_(0)=0; |
|
AJZ,)=Ch |
|
|
|
|
||||
Решение уравнений (24) с учетом условий (25) дает выра |
|||||||||||
жения д |
л |
я и |
формулы, связывающие множители |
Лагранжа р у |
; |
||||||
J ^ i =Pi |
> |
|
|
|
P i+P 2 +j:i3=0; |
|
|
|
|||
|
|
|
Л1— р г и-х); |
-?iX*+f>b(L-x*frPb-Q. |
(26) |
||||||
Решая уравнения |
(8) о учетом построенных условий, |
полу- |
|||||||||
чаем уравнение . |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|||
L - х * - Ч |
Хг |
|
d x - k r х |
|
|
(27) |
|||||
х * |
НX* |
|
|
|
|
||||||
/ |
и |
[L-xP |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение его численным методом позволяет определить |
|
|
|||||||||
{x*=o(L) |
с< = 0,531. |
Использовав найденное х * , |
можно вы |
|
|||||||
числить |
Р) |
и h ( x ) , |
Оказывается, что |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
О |
< х 4 ; |
|
|
|
|
|
{/ -pt x * x (L - x )/[I - x * j |
, |
x * * x < L ; |
(28) |
|||||
|
2 x * f 3l l f 06 l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
) |
] E L & K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 22 - |
|
|
Отметим, |
чтр. объем оптимальной балки |
V0pt- |
-f-2LJjl f ^ J ~ > |
|
а объем балки |
постоянного |
сечения Vc =Щ |
г\ [ Ж |
т . е . |
^ =0 , 7 7 3 . |
|
^3 |
US&L |
|
|
|
|
|
|
»с |
|
|
|
|
Оптимальные балки со |
смешанными ограничениями |
|||
Большой практический интерес представляют случая совмест ного учета ограничений как силового, так и геометрического характера. Решение строится с помощью вышеизложенных приемов•=
Особенностью задачи об оптимальной консоли, |
нагруженной мо |
||
м е н т о м ^ |
на конце, |
при ограничениях |
j/*-] |
является |
наличие в |
решении точек х = х , в |
которых происходит-, |
переход от управление А(х) , опреде ляемого |
условием б «:<3(| , |
||
к управлению А±(Х) , |
определяемому условием |
, непре |
|
рывность управления'при этом сохраняется,- х , е . А{*~Ъ)*Ь±(х^), Однако такие точки X перехода от одного управления к,другому существуют не всегда. Например, рассматривая коиссль,.нагру
женную сосредоточенной -силой Рй |
на конце при ограничениях |
|||||||
б ^ б 0 , |
, |
и пользуясь |
результатами вышеизложенного, по |
|||||
лучаем оптимальную толщину из выражений |
|
|
||||||
Ar |
f W |
r |
. |
|
|
Ji6 _ , |
|
|
Так |
как Д.г =р1(Х -х ), |
т о Д ^ = у |^ - |
поэтому |
одно из ■ |
||||
условий <Э4б0 |
и л и ^ ^ Д |
будет |
определять А(х) на |
всем про |
||||
межутке. Использовав условие Вейерштрасса сильного минимума |
||||||||
(23), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h y |
, |
если |
h y |
> А 0 |
; |
|
|
|
J h 6 |
, |
если |
h (5 |
> h y . |
|
|
Л и т е р а т у р а
I . Троицкий В.А. 0 вариационных задачах оптимизации процес сов управления. - "Прикладная математика и ме ханика", 1962, Т . 26, вып. I .
23
2 . Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления в системах с ограниченными координа тами. - "Прикладная математика и механика", 1962. Т. 26, вып. 3.
3. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов
'управления с функционалами, зависящими от про межуточных значений координат. - "Прикладная ма тематика и механика", 1962, Т . 26, вып. 6 .
А. Хауг, Кирм^ер. Проектирование балок минимального веса при ограничениях типа неравенств, наложенных на величины напряжения и прогиба, - "Прикладная ма тематика и механика", 1967. Т, ЗА, № А.
В.П.ФИАТОВ, Г.В.ЦИБИЗОВ, В.Д.ШЛЁНДОВ, А.Л.РОТИНЯН
ОПТИМИЗАЦИЯ РАБОТЫ И ВЫВОДА НА РЕМОНТ ЭЛЕКТРОЛИЗЕРОВ С АСБЕСТОВОЙ ФИЛЬТРУЩЕЙ ДИАФРАГМОЙ
При электролизе водных растворов хлорида натрия в электро лизере с фильтрующей диафрагмой с течением времени изменяются параметры технологического процесса. Одной из, основных причйз этих изменений является уменьшение протекаемости диафрагмы за счет присутствия солей С а , М д ч механических частиц,, содер жащихся в анолнте. Скорость протекания анолита в порах диафраг мы уменьшается, увеличивается миграция ионов ОН“ в аналите.
Разряд ионов ОНна графитовых анодах приводит к выделению кислорода, что снижает выход по току целевых продуктов. Актив ный кислород, выделяющийся в результате побочных процессов,х окисляет графит анода и вызывает химический износ, анодов. Кро ме химического износу 6’хш * происходит осыпание частичек графита, потерявших связь с основной массой £ мех . Это явление характеризуется коэффициентом осыпания к . Для хорошо пропи танных анодов отечественного производства к - 1,8 +' 2,0 [ aJ ,
С течением |
времени сечение графитовых |
анодов уменьшается, уве |
|
личивается |
зазор анод - катод, растет |
напряжение на |
ванне, |
возрастает расход электроэнергии на I |
т Н а ОН» Когда |
напряже |
|
ние на электролизере достигает 3 ,7 - |
А,28 с учетом |
концентра-. |
|
- 24 -
ции щелочи на выходе |
и* исчерпаны ' возможности увеличения |
|
расхода анолита о ростом гидростатического давления на диаф-, |
||
рагму, а пробег анодов |
небольшой, проводят смену катодов и |
|
промывку диафрагмы конденсатом. |
|
|
Оценку необходимости выполнения ремонтных |
работ (замену |
|
катодов, промывку, замену анодов) в настоящее |
время произво |
|
дят на основании опыта руководителя, пр анализу результатов работы цеха за прошедшие месяцы, по результатам еженедельных анализов католита. Между тем эта оптимизационная техникоэкономическая задача может быть*строго сформулирована и решена на основе математической модели электролизера. Действительно, ранняя замена электролизера приводит к уменьшению затрат на одну
тонну щелочи по электроэнергий, |
но увеличивает затрата |
на |
гра |
|||
фит |
и на |
капитальный ремонт ванн. Поздний вывод ванны на |
ре |
|||
монт дает противоположные результата. Очевидно, на ремонт |
|
|||||
необходимо выводить ванну, когда себестоимость одной тонны |
||||||
щелочи |
за |
отработанное ванной время станет наименьшей |
(рис. I ) . |
|||
В составе |
себестоимости одной тонны щелочи в пересчете |
на |
|
|||
100% NaOH можно выделить следующие затраты: |
|
|
||||
|
I) |
на электроэнергию постоянного тока |
|
|
||
|
|
|
UUi J U d l |
...ВУб.«. |
|
( I ) |
|
|
|
W,э.ср ■ |
^ Na0H |
|
|
|
и |
1,492-10'5 \J 4 d l |
|
|
||
где |
напряжение на электролизере, в; |
|
|
|||
Ц |
- |
|
|
|||
Чвыход по току щелочи, доли единицы;
|
цена электроэнергии, руб/квт-ч; |
|
||||||
1,492 |
электрохимический эквивалент, |
к г/к а -ч ас ; |
|
|||||
/ |
- сила тока, проходящего через |
электролизер, ка^ |
|
|||||
2) |
на выход хлора |
|
^ |
руб> |
|
|||
|
V; |
|
a ; i , 3 2 H 0 - 5\ 1 Чк d l |
( 2) |
||||
|
|
1,4дмо' 3\Jridi |
тлШОН |
|||||
|
•*ср~ |
|
||||||
где Ц х |
цена |
I |
т С1г , |
руб,; |
° |
|
|
|
Чх |
выход |
по току |
хлора; |
который не равен выходу по то |
||||
ку щелочи из-за того, что анолит имеет кислую реак |
||||||||
|
||||||||
|
цию (таблица), |
доли единицы; |
|
|
||||
1,323 |
- электрохимический эквивалент |
С!^ , кг/ка -ч ас . |
|
|||||
- 25 -
Рис. I . Определение оптимального срока'вывода электролизера на ремонт: кривая I - технологические затра
ты на производство I т J^aOHWTcp; кривая |
2 - капиталь |
||||
ные затраты |
на производство I |
т ifaOH-W*; ; |
кривая 3 - ее-' |
||
бестоимость |
I |
т |
N a0H -V ^nOH |
без учета условно-постоянных |
|
, затрат, |
не |
влияющих на |
половение экстремума |
||
При определении себестоимости щелочи хлор, который по лучается в процессе электролиза, учитывается как побочный продукт,.. Выработанный хлор (в единицах стоимости) вычитает ся из затрат наг производство щёлочи^
-26 -
3)на пар, необходимый для выпарки электрощелоков,
w |
Цп0,639 0,4 j ( - r ~ |
J ^'Z руб. |
|
W n tr ' |
: |
1.49М0*3 jV u c ft" |
«NaOE ( |
где Цп - |
цена на пар, руб/Гкал; |
|
|
С - |
концентрация NaOH в электрощелоках, кг/л;, |
||
Стт - |
концентрация NaOH в готовой продукции отделения |
||
|
выпарки, |
кг/л; |
|
0,639 - энтальпия насыщенного пара, Гкал/т; 0 ,4 - коэффициент затрат пара в трзхкорпусной выпарной
установке £ I ];
4) на условно-постоянные расходы и зарплату основных произ водственных рабочих
|
W* |
S Wv.n*H Зд |
РУб- |
(4) |
|
J 1,492 ■lO'Vqflft |
ЙЯ5Ш |
||
|
|
|
||
г д е £ ^ „ - |
условно-постоянные расходы |
на единичный электроли |
||
|
зер ; на вспомогательные материалы: стоимость гра |
|||
|
фита, других узлов ванны (корпуса, крышки, |
.днища, |
||
|
•катодного комплекта и т .д .) |
в пересчете на |
цикл |
|
|
работы; |
амортизационные отчисления и т . п . ; |
|
|
£ 3 Л - |
зарплата |
основных производственных рабочих, |
отне- |
|
. сенная к циклу работы единичного электролизера), / Себестоимость I т щелочи .
tVjjaORcp =Щ ^ |
+ Wx.cp + 23 Vcnnst, |
(5) _ |
|
гда2Ц|И5Г затраты на |
производство I т NaOH, |
которые |
не . |
изменяются при увеличении объема выпуска щелочи за |
|||
цикл работы |
единичного электролизера { из дальней |
||
шего раосмотрения исключаются, так как,не влияют |
|||
на положение экстремума); . |
|
|
|
технологические затраты. |
|
|
|
С течением времени технологические затраты |
(рис. |
1) уве |
|
личиваются (растет напряжение на электролизере), капитальные
затраты уменьшаются (растёт количество |
выпущенной |
щелочи). |
|||
Оптимальное время |
выхода |
электролизера |
на ремонт Tonm будет |
||
при минимальном значении |
себестоимости |
одной тонны |
щелочи. |
||
Критерий оптимального вывода электролизера |
на |
ремонт |
|||
^ |
“ ^ |
+^VcpL ^NQOH.Lp~*m in |
• |
(6) |
|
|
- |
27 - |
|
|
|
В уравнениях ' ( I ) |
- (4) |
значения 11 , / |
, С |
функциональ |
|
но зависят от t . Вид функций определяется |
по математической' |
||||
модели электролизера |
методами математической |
статистики |
[2 ,3 ]. |
||
Для работающих электролизеров величины |
U , J |
, С |
ре |
||
гулярно измеряются,Поэтому они могут быть непосредственно исполь зован^ в расчетах по приведенным уравнениям. При этом сим
вол |
| „ в |
выражениях (I) - |
(4) должен быть заменен1на сим |
вол |
£ . |
Точность расчета |
зависит ст частоты й точности за |
меров параметров* Такие расчеты произведены для серии дейст вующих электролизеров БГК-17-25. Результаты расчетов показа ли, что действующие электролизеры работают с недопробегом» Вскрыт резерв снижения себестоимости продукции. Полученные зависимости дают возможность прогнозировать время оптимально го вывода электролизеров на ремонт, что необходимо для' состав ления оптимального графика ремонта электролизеров' с учетом возможности ремонтных служб я расчета их необходимой мощ ности ,
Предложенный метод может быть использован не только для определения времени оптимального вывода электролизеров на ремонт, но и для оптимизации работы электролизеров. Однако использований зависимости (б) для целей оптимизации работы электролизеров малоэффективно, так как средние значения затррт по формулам (I) - (4) за отработанное электролизером время весьма инерционны к возмущающим и регулирующим воздействиям. Для существенного изменения затрат нужны большие отклонения параметров или длительное воздействие небольших отклонений. Указанная 5шерционность с течением времени увеличивается - . растет знаменатель в формулах ( I) - (4) . Поэтому для опти мизации работы электролизера предлагается использовать мало инерционные мгновенные значения себестоимости щелочи,.
Соответствующие мгновенные значения затрат на производ
ство одной тонны щелочи следующие; |
|
|||
W 3 = |
670 U |
U: |
( 7) |
|
Я |
||||
|
|
|
||
|
|
|
( 8 ) |
|
= ^'к.ср >
- 28 -
Рис. 2 . Динамика изменения средних и мгновенных значений себестоимости I т NaOH{tf?g,OT4), технологических затрат т 7, т г , капитальных затрат т 3,затрат на электро
энергию П7ь,т 0 и на пар n 6,fnl
|
|
|
|
|
|
|
Ванна IJ4 <31/1 |
- 19/ХП 1973 l\) |
|
|
|
|
|
|
|||||
Уел. |
t |
д т |
J |
и |
|
С |
Л |
|
й G |
С ' |
рув/т |
|
WT |
|
^НаОК |
|
I'Ai.rp |
Мт.ср S mh.cp |
|
обовн. |
дн. |
дн. |
кА |
В |
|
кг/л |
|
|
т |
Г . |
рув/т рув/* |
руа/т рув/т |
рув/т рув/т 1ув/т руб/т |
||||||
29.У |
1*4 |
114 |
24 |
3,4 |
|
),0975 |
0,96100 94,150 94,150 34,62 12,02 6,74 |
20,69 |
27,43 |
34,62 |
12,02 |
6,74 |
27,43 |
||||||
П.У1 |
Д31 |
17 |
24 |
2,8 |
|
1,121 |
0,9093 |
|
13,285 |
107,485 |
30,13 |
9,27 -0,50 |
ДМ3 17,63 |
34,07 |
11,68 |
5,84 |
23,98 |
||
5.УП |
154 |
23 |
24 |
3,25 |
3.135 |
0,9223 |
|
18,230 125,665 |
34,48 |
8,08 |
2,66 |
15,50 |
18,16 |
34,13* 11,16 |
5,38 го, 88 |
||||
13.УП |
168 |
14 |
24 |
3,2 |
|
3,150 |
0,8796 |
|
10,584 |
136,249 |
35,60 |
7,06 |
2,75 |
14,30 17.05 34,24 10,84 5,18 19,48 |
|||||
ЗО.УП |
180 |
12 |
24 |
3,3 |
|
3,117 |
0,9429 |
|
9,724 145,973 |
34,25 |
9,66 |
4,00 |
13,35 |
17,35 |
34,24 |
10,76 5,10 18,44 |
|||
ю ла |
191 |
IX |
21 |
3;2 |
|
7,088 |
0,94% |
|
7,854 |
153,827 |
32,98 |
13,55 |
6,63 |
12,66 |
1.9,29 34,18 10,90 5,18 17,84 |
||||
2S.ya |
210 |
19 |
24 |
3,2 |
|
3,098 |
0,9358 |
|
15,281 |
169,108 |
33,46 |
11,95 |
5,50 |
11,52 |
17,02 |
34,11 |
IX,00 5,20 16,73 |
||
7-IX |
219 |
9 |
23.2 |
3,2 |
|
3,110 |
0,9510 |
|
7,111 |
176,219 |
32,93 |
10, "I |
3,43 |
11.05 |
14,49 |
34,06 |
10,98) |
5,14 |
16,19 |
13.IX |
225 |
6 |
23,4 |
3,3 |
|
З.ЫЗ |
0,9596 |
|
4,824 181,043 |
33,65 |
10,08 |
3,83 |
10,76 |
14,59j 34,05 |
10,95) |
5,10 115,86 |
|||
2.Х |
244 |
19 |
22,2 |
3,3 |
|
3,102 |
0,9426 |
|
14,287 195,280 |
34,26 |
И ,40 |
5.75 |
9,98 |
15,73 |
34,07 |
IO,93j |
5,15 115,12 |
||
п л |
253 |
9 |
23,2 |
3,35 |
3,105 |
0,9411 |
|
7,036 |
202,316 |
34,83 |
И, ОХ 5,94 |
9,63 |
15,57 |
34,09 |
10,98 |
5,18 j 14,80 |
|||
24.Х |
266 |
13 |
23,6 |
3,4 |
|
3,116 |
0,9489 |
|
10,424 |
212,740 |
'35,06 |
9,76 |
4,92 |
9,16 |
14,08 |
34,14 |
10,92 |
5,16 |
(14,32 |
5.XI |
273 |
12 |
24 |
3,45 |
3,149 |
0,8638 |
|
а, 908 221,648 |
39,08 |
7,12 |
6,30 |
8,75 |
15,09 |
34,34 |
10,77 |
5,21 j 14,00 |
|||
14.XI |
237 |
9 |
24 |
3,6 |
, 3,150 |
0,9085 |
|
7,027 |
228,674 |
38,78 |
7,06 |
5,93 |
8,52 |
14,45 |
34,48 |
10.66 |
5,23 |
(13.75 |
|
23.П |
256 |
9 |
25,6 |
3,6 |
|
3,148 |
0,9138 |
|
6,950 |
235,625 |
38,55 |
7,181 5,85 |
8,27 |
14,10 |
34,60 |
10,55 |
5,29 113,56 |
||
4.ХП |
307 |
II |
23,2 |
3,7 |
|
0,150 |
0,8928 |
|
8,168 243,792 |
40,51 |
7,06 |
7,66 |
7,99 |
15,65 |
34,80 |
10,44 |
5,33 |
j 13,32 |
|
13.хп |
316 |
9 |
22,6 |
3,85 |
3,159 |
0,8812 |
' |
6,418 |
250,210 |
42,75 |
6,54 |
9,39 |
7,78 |
17,17 |
35,00 |
10,34 |
5,43 |
j 13,22 |
|
18.ХП |
321 |
5 |
24 |
4,15 0,181 |
0,8650 |
|
3,717 |
253,928 |
1*6,94 |
5,48 12,53 |
7,67 |
20,20 |
35,17 |
10,27 |
5,54 |
(13,21 |
|||