Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Прикладная математика [сборник статей]

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

		-	10	-
о		%	-1
Or»*- 1)г		- i < x		« о ■
		- i < x		« о ■
/ф W =
		0 < д г « 1 ;
I	,	х	>1 .
Пользуясь известными		соотношениями теории вероятностей,,

нетрудно найти из выражения (I) функцию распределения слу

чайной		величины
		И /^ Ф у , i = l fz , . . . , n ;
			,	*	« t > ;
		2 ^ Т -лг,		О	<лг $ 1 ;	(2)
				X	>1	.
	Рассмотрим		теперь	случайную		величину
		z	- S		,
где		1 = 1 , 2 ; .. . , л -		независимые случайные величины с оди
				наковым законом распределения (2).
	Для нахождения закона распределения случайной величи
ны	разумно воспользоваться методом характеристических функ
ций.	Обозначим		через		л	характеристические функции
для	Z	viWj соответственно. В силу независимости случайных
величин Wj справедливо				соотнЬшение
			1 = 1		случайные величины Wy имеют один
	Поскольку		по условию		случайные величины Wy имеют один
и тот		же закон	распределения, то
		ffwx				■
где			ос
		ffiv ( 0 = \		e J txd [ F w (x)\,

значит

				-	II -
	Использовав выражение				С2)»11Гоясно получить-
	ffw (t)=\j x ' J e jtx clx-					\| e J txdx.
		1	о		, o	части	полученного выражения
Решйть первый интеграл в правой
в элементарных			функциях нельзя.			случай, когда п			= 2 , ' т . е .
	Рассмотрим теперь			частный
Z = Wl +W^ .			Изобразим	систему		двух	сллайных		величин	с
условием,что х , у - некоторые					значения		этих	случайных величин
(рис.	I ) .	Функция распределения				случайной		величины Z		опреде
лится	из	равенства

FZ U)= 1 \ f \ i ^ ) f V t (y) d x d y ,

„Q

где	С/ -	заштрихованная на рис. I область;
	“	плотности распределения для WKи	.

Рис. I . К определению закона распределения суммы двух случайных величин

							- 12 -
	Из рис,		I	можно		определить
		0 ,		Z < 0		;
		z				z-y
F	(z) =						’	o « z < l	;
Z		\ - \ £ wA y ) V y \ f Wi(x)dx
		1 ,		Z >v 2 .
	О п редели в /^ и £ щ из. выражения (2),								подставив	резуль
таты	в выражение				(3)	и выполнив интегрирование, получим
	О ,	Z < О			;
		Й		®			Q « z < l;
	Яг - - у z T + х ’						Q « z < l;			W
										W
	9	^	г *		7^	2 ■i/te-l)J'-2)®4,-2zy?T-2zorcsili^
	1 - Т	^	г *		- Г - 7				U z	<Z-
									U z	<Z-
	1 ,	z	> z .
	Отсюда можно получить выражение для плотности вероят
ности случайной				величины			Z :
		О,			Z <=0 ,		Z » 2 ;
£	(z ) =	Ъ - b J z ' + Z ,					0 « Z < 1 ;			, (5)
2		Z a r c g i n - ^ - + . 4 - ?'F : r - ( z ? 2 ) ,							K Z < 2 .
	Затем	определим				закон распределения случайной величины

Д- / Г :

■r R. ( r ) = P ( R < r ) - P ( Q < z < r 2) , '

где		м	О	;	г 2
			Р (0 < Z < Г г) = \| f z (zWz =
0		г	< 0 ;
г £
f (Ji-^-fz'+zjdz,				0 £ Г < 1 ;
1	j			л2	n
8 ](ri-4-/F’+zWz+ j[£arcsm-^r-+4y^~-T-(zi-2)]^
	o		__	t	U r < y T »
1	,		r ^ y T .

Выполнив интегрирование, получим' следующие выражения для функции и плотности распределения случайной величины Л при

П = 2:

	о ;	г < 0 ;.
		8	,	г 4	г	. 0< г < 1;
		з	г +	1	г	. 0< г < 1;		(6)
F^r)-	К т					—l)J’-2y’/'e-l'		~ 2 г ^ г 1- 1 !
	К т				- у - # 7
		- £г 2 aregin				,	1 $ г < / Г ;
	1,
	0 ,	с	<0, г ъ { Т			;
	2 Яг-		+<?г5,		0 4 Г <1 ♦			(7)
			9-Г 2-				-4г - 2 /’3,
	4-r arcsin —р г ~				i-8/yrM '		-4г - 2 /’3,
Отсюда.в частности, нежно найти максимальное значение
плотности fx		при
		г ,				s 0 ,47.

Пусть теперьна единичном квадрате в соответствии с равномерным законом распределения выбрано N независимых случайных точек. Для.каждой из этих точек можно определить N - I расстояний до всех остальных точек:

причем эти расстояния случайны, независимы и подчиняются, как показано выше, закону распределения (б), (7) .

Вероятность того, что расстояние от заданной случайной точки (а ев может быть любая из N выбранных точек) до бли жайшей к ней точки (из остальных N - I точек) не превысит г , совпадает с вероятностью того, что случайная величина

	- 14	-
	i7 = m m ^ i , R	2 , ... ,Д д м }
будет	меньше ? .
	Для случайной величины/?	известны [ i ]	функция и плот
ность	распределения:
	Тв (г)-А -{\-Тк 1г)\ы Л ;		(8)
	lB ti)=W-i)[i~FR( r	) f \ (г).	(9)

Рас.	2 . Плотности распределения искомой статистики
я аналотачной статистики		пуассовоза поля: а	К = 2;
‘	б - У = 3; в - V	= 5; г - V = 50

- 15 -

Подставив выражения (6) и (7) в равенства (8) и (9), можно получить окончательный результат.

Произведем численный расчёт выражения (8) и выражения

f ( r ) = i m r e - W c l ,

(10)

представляющего собой плотность распределения евклидова рас

стояния от любой точки двумерного						пуассонова поля до			ближайшей
к	ней	точки	этого	же поля, где N		- средняя плотность			точек
пуассонова поля, "Или число точек, приходящихся на единичный
квадрат. Результаты расчетов					для	различных N		(ри с.2)	позво
ляют сделать			вывод	о том, что	с ростом d f		исследуемая		слу
чайная		величина Л		приближается по своим свойствам к					анало
гичной		статистике		пуассонова поля.
			Л и т е р а т у р а
1.	Вентцель		Е .С .,	Овчаров Л.А. Теория вероятностей. М.,
			"Наука", 1969
2 .	Гнеденко		Б.В. Курс теории		вероятностей.		М.,	"Наука",1969.

М.В.АРИСТОВ, В .А.ТРОИЦКИЙ

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К КОНСТРУИРОВАНИЮ ОПТИМАЛЬНЫХ БАЛОК '

Рассмотрим балку переменного сечения, определяемого л ■ параметрами и ^ х ),...,ип (х), нагруженную заданной моментной нагрузкой М(х) . Изгиб балки описывается системой дифферен циальных уравнений

d y t	.	dyt	_	М(х)	(D
. d x		dx	E J \ u i M ,— ,u n (x)}		(D
. d x		dx	E J \ u i M ,— ,u n (x)}
с линейными граничными		условиями
				( > J = € ;
Фг:=Ягf/±do )+&1Уг W + Сгft (х£)				U£=0.)	( 2)
Фг:=Ягf/±do )+&1Уг W + Сгft (х£)				U£=0.)
Ограничения на величину изгибных и navcuu^eoHA паиул-
жений запишутся	в виде

1шах 6 {х)=\М( x ) \/w [ u t (x), . . . , и п (х)]4-<5й ;	(3)
[шах Т (,х)= \Q{x)yF[ul i x ) , . . . , u n (x)]*i'la .

- 16 -

Требования		заданной жесткости отражаются условиями
				,	(4)
Вес балки		определяется выражением
		V A \ S { u ^ ( x ) , . . , , u n (x)}clx .			(5)
Здесь введены обозначения:
у к(х),уг (х)		- прогиб и угол поворота нейтральной оси балки;.
J , W , T , S - момент инерции, момент сопротивления, .статисти
ческий момент инерции и площадь сечения балки;
М . Q - изгибающий момент и перерезывающая сила;
Хв,х£ - координаты концов балки.
Функции		ип(х)	назовем управлениями, а у М , у г {х) -
фазовыми координатами.
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления.
Найти	управления и ух),..., ип(х) и координаты y L, y l%				удов
летворяющие	при	Jfe[x0, x j	неравенствам	(3 ), уравнениям	(I),
концевым условиям (2), и минимизирующие				функционал (5 ).	Фазовые
координаты должны находиться в области				(4) .	'
Оптимальные балки			с ограничениями на напряжения

Допустим, что имеются ограничения только на управления (3) . Тогда переход от замкнутых областей допустимых управлений к открытым осуществляется введением дополнительных управлений

Ц(х),Ц(х)п связей [Х-З]:	0
j y i =[W(ul , . . . , u n)-M(x)x6a] [ИПии ..., un ) x M ( x ) / b B\-v\--%
I \^t =[F(ui ,...,an )-СНх)Л0][Р(и^.......u n h Q ( x ) / z a] - к \| = 0 . &>

Гамильтониан системы (I) имеет вид

Н =Лд + # (А= - £ ( и {, . . . , и п )^Лух)у1(х)-Х1хЖ{х)//Е?(и1,...,ип ) \

Уравнения для нахождения множителей Лагранжа Я1,Аа, ц 1,ц1 можно получить из Необходимого условия стационарности функ

ционала (5 ):	Л 1 + Л , = 0 ;	£ ^ = 0 ;	£ ц 2Кг = 0 ;
Л ^= 0;	Л 1 + Л , = 0 ;	£ ^ = 0 ;	£ ц 2Кг = 0 ;
.	МАч.	J \| on	их/,.	и ;	■
~ Т й ~ *	E J \ u , .....ап)	д ц			*

- 17 -

+	(8)
+	......
	/ « 1 Д .......я .

(Здесь я в дальиеймем втрихои обозначено дифференцирование по X }.

Граничные условия для Ли определятся соотношениями

A*w

= a f u o ) ; A*( V = | f

; w

f e

;A t(^

где ср *p tq>^

г(р ,,pt ,j \ - множители

Лагранжа» подлежащее

опре

делению.

Можно показать, если

граничные условия

(2)

такою ,

что

а & г

a ^a t

-i

<*А

1^4?

6А\

^ ( Ф ^ Ф г М ^ - У

4 4

Ш * ’ т

6х6г

ci c i

то решение первых двух уравнений

(8)

при условиях

(9)

будет

иметь

А д :

•

A,U) = A2(x)=0 .

(II)

Следует отметить, что условию (10) удовлетворяют все

встречающиеся случаи закрепления ковцов.

Из последних п

уравнений

(8) следует,

что

множители Лаг

ранжа

2 ке

могут

быть равны нулю одновременно.

Для оптималь

ной системы

всегда выполняется хотя бы одно т равенств

VL= О

или

Ц_= 0 .

Отсюда следует, что

оптимальные

управления

опре

деляются условиями

, . < Ц ...... « * , - * ■ »

( 12)

Оптимальное управление должно удовлетворять неравенству

Вейерштрасса

(Здесь

Ях =3{и^...„ил ) ) .

Рассмотрим вышеизложенное на примерах балок сплошного

прямоугольного сечения и трёхслойных балок (рис. I ) .

Очевидно, что

S^6h(*) -,

S a =l6h(x);

т 6 h H x ) .

* 4 =

6 h * W .

Wt =6 B h {x)\

Fr - - ^ 6 h ( x ) ;

- f - Sh(x) .

■-L-- •

•

*•

i. yi>

. -

-1»?'^ИЧ0СКв

! \

. '

:;.ч5 OCOf

- 18 -

Для балок сплошного прямоугольного сечения (рис. 1 ,а ) опти мальная толщина

а для сечения трехслойных		балек (рис.	1 ,6 ) - выражением
,	, ,	( \ 1 Г М \	3 \|6 ?(х )\| \	(15)
			) ■	(15)

1	■
	s\
*i1
'

f	б)
J W	________

./	Ь
\ . ч у	Ь ^ Ш )
' , J-LLj-

— J\	6	L	-		,	«	(*	-
Рис. I . Сечения			балок: а - сплошного прямоугольного
	сечения}			б -	трехслойных			%
								%
Отношение	объемов			оптимальных		балок		и наилегчайинх
балок постоянного		сечения			Кс для различных			случаев нагруже

ния приведено в таблице.

Таким образом, при ограничениях на величину изгибных или касательных напряжений сечение оптимальной балки определяет ся законом изменения нагрузок M(t) и Q(t) . Оказывается также, что оптимальные по весу балки будут балками равного сопротив ления изгибу или сдвигу.

Оптимальные балки с ограничениями на прогиба

При наличии	ограничений геометрического	характера (4)
приходим к задаче	с ограничениями на фазовые	координаты [2 , з]
В дальнейшем-рассмотрим балки с сечением		типа (рис. 1 ,а )
в ограничением (4) вида

д = const .

(16)

- 19 -

Отношение объемов оптимальных и наилегчайших балок постоянного сечения для различных случаев нагружения

Схема			балки			v opt/ v		c
Схема			балки	Ограничение по б				Ограничение по *С
с	нагрузко"			Ограничение по б				Ограничение по *С
				Тип I		Тип П	•	Тип I	Тип П
4 * -------------- \				2/3		i / г		Г	I
/ . ! —			-------\	£ = 0 ,7 8 3		2/3		1/2	1 /2
- С -		.. ....1		I		I
- С -		.. ....1
А			\ р* t	2/3		1/2		I	I
*	р	п	щ	4 b = 0,783		2/3		1/2	1 /2
				4
^ С —			-------- ж	2/3		1 /2		1/2 .	1/2
^ С —			-------- ж						—
									—
	Возможны следующие выходы					координаты yt на			ограни
чения :						точке x=x*e(Q,L)
		1) !,£/1Ос')\|=Д , </Е(*)=0 в				точке x=x*e(Q,L)			;
		2)	! ^ ( 0 ) ) = Д		или ( ^ ( i j \| = <й		в конце п р о н е ^ т к а р ,!];
		3)	1^/j'pA	на участке [ х ,Х*\			промежутка [0 ,2 ]' . Тре
тий	выход возможен,				если нагрузка носит			редко встречавшийся
в практике характер					х * < х < х * * ;
		М{ х ) =		°	х * < х < х * * ;
				M ix ) , х * х * х>х**.

В точках Х-Х* возможен разрыв непрерывности множителей Лагранжа А, „ , описываемый соотношениями Эрдмана - Вейер-

итрасса [з] :

дер

A .,(x-0)-A jU +Q )+ ду;(х*) =0, У -1 ,2 ;	(I-?)
- § f* = 0

Здесь

(18)

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ