книги из ГПНТБ / Прикладная математика [сборник статей]

основе

двустороннего преобразования Лапласа. М.,

Изд-во

и н остр .ли т.,1952.

та ,

вып. 3, 1959.

6 . Чернов В.М,

Некоторые предельные соотношения для двусто­

роннего преобразования Лапласа

и их приложения. -

"Известия высших учебных заведений. Математика",

1961,К" 4 .

Е.Т.РАКЕНКОВ

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ В ЗАДАЧАХ АНАЛИТИЧЕСКОГО

КОНСТРУИРОВАНИЯ

Рассмотрим

инвариантную относительно

группы Sn нелиней­

ния (МОСАР) типа t i x t n ,

уравнения

которой

имеют вид

X£ = l \

(x±f . tXn) + f

(Li

... ,Xfi))

( i —1,2.,...,л ) ,

(I)

/ а д = о ,

где

) -

линейные*форш

от

переменных

Вектор-функция / =

)

предполагается такой,

что вектор-функция / (М/

=

f

j

является определенно­

положительной. В связи с инвариантностью МОСАР ( I) относитель­

но группы S n линейные

формы

образуют по совокупности

линейные системы, матрицы которых инвариантны относительно

группы &п

:

- и з

-

В матричное

уравнение

д1ЦЯд1«№ |

(Аи,к)'( А 1г,,г)*

||Г11)яг (г>л-

Я * = -

1р(2МГр(ШТ (1 2 )

(t))ry(1)я д1«Яд(1)яГ

СА(г,*)*(А(1,5Гг|

подставим

соотношения

( I I ) . Выполнив несложные

преобразова

нин, получим

(Л-Z )

B u ) * =Bw + ? l z £ B (*).

(13)

Поскольку условия

Сильвестра

для матрицы

В 3х

равносиль­

ны выполнению условий

Сильвестра

для матриц

c

f ,jr, c f Tl:

c w

= 3 m

_ B w .

c (l)* = 3 {4 ( j 7 - i ) B W sr,

( и )

то, подставляя

в

выражения'(14) соотношения

(13),

получаем

С(Ш = С (1).

c W b=c W '

'

( 15)

Итак, видим, если МОСАР (10) можно определить через

соотношения

( I I ) ,

то она

является

решением

задачи

АКР:'

ОУ

^ y ^ A

{a,W f +

« р + г / у

(1б)

ограничения

\ u i j \ ^ c l j

( / = 1 , 2 ;

j = 1 , 2 , я » ) ;

( 1 7 )

расходовсг гнало в управления

j f } *

Е

т

При s

и, если система (I) устойчива,

то

устойчива

и_си-, ■

стема

(10).

Но верно и обратное,

так как условия устойчивости

для систем (I) .и (10) сводятся к выполнению условий Сильвестра

для одних и тех же матриц

С ^ ,

С11) (15)

размера t n x m .

Посмотрим на

системы

(I)

и (10) с

позиций

модифицированно­

го расширения (продолжения). Для этой цели запишем

СДУ

(I) в

форме

[2]

x ^ l kl)lX£,6i h

f ( i m urj,Oi)-

.........я ) ,

(19)

где

линейные формы переменных

;

б^~ элементарный

симметрический инвариант первой степе­

ни .-

r(*i A

) = £ s Xij- ( £ j

l ^ k - ф

х а

* S j k b {k)) .

(23)

Задачи

АКР (20) -

(20"’1> и

(21) -

(2l"") будем называть

экви­

валентными. u

_____

Алгоритм перехода от задачи конструирования симметрич­

ной нелинейной МОСАР типа

п* т

к

задаче конструирования экви­

валентной МОСАР

типа

2 *?п ,

как

видно

из

сравнения

задач

(20) -

(20 ) и (21)

-

(21

),

состоит

в

следующем:

1. Выполняем операцию модифицированного расширения (про­

должения) ОУ (20)

-

(20Ш|),

а

также

функций

(f , г , для чего

предварительно необходимо

записать

задачу

АКР в форме

(20).

2. Заменяем суммирование' от

I до л

суммированием

от

I

до"2. Остальные параметры системы остаются без изменений.

Будем называть

также задачу

АКР

(21) модифицированным

расширением (продолжением) задачи

АКР

(20)

- (20 ) .

В той

же работе

[i] показано, что для

ОУ X^Ax+U

,

на

управляющие

воздействия которого

наложены

ограничения

\Ui(XitXz,...,J [n )\ 4 Q d b ft kXk)

U '= l,2 ........ Я ) ,

( 2 '/ )

А—1

о i s 1

к -1

А =1

о

,

( г о

оптимальными в смыслу минимума функционала

J -

[ { X ,B x ) d t

°

(24,Л)

являются управления

о

вида .

Щ= - 0(Z] Ьк*к)SijnS

и хк

U=U,~.,n),

(20

>

к = \

А

форма}

где (Х,Вх) -

определенно-положительная

в /

(Z ) -

определенно-положительные

функции,

обращающиеся

в нуль

только,

в точке

Z

= 0 .

л

\

Предположим, что в системе (I) вектор-функция 1

является

непрерывной

и

удовлетворяет условию fe ig n // (z) = - S ig n /j (-Z)

( i = 1 ,2 .,. - ,ti)

, а также нигде не обращается в нуль, кроме

точки

Z -

0 .

Тогда вектор-функция ((S ig n Z t ) / ( Z t )

,

- ,( (s i

является положительно-определенной

и удовлвт-

- П6

-

воряет условиям, накладываемым на функцию 0j'

в

задаче

(241)

-

(24/w) .При

непосредственной проверке убеждаемся,что

задача

АКР:

ОУ

X i = {Aw - A w ) x ^ A w Q ^ U i

(7=1,2........п ) ;

(25; )

ограничения

I

(

у

=

1

Д

(25")

ограничения

Н

е д

О i=l

(25//Л)

ft

ФУНКЦИОНЙЛ

„*©

J

=

\ J ^

n U

1i5i ) d t ,

{Z5'")

где

В

находится

из1 матричного

соотношения

(3)

и

является _

обратной

для

МОСАР

(I)

в рассматриваемом

случае,

поскольку

решение задачи

(25)

-

(25,т) дает СДУ ( I ) .

Как и при релейных МОСАР, получаем, что для задачи АКР

(25)

-

(25л/)

эквивалентной является

задача конструирования

МОСАР

типа

1 * т :

ОУ

Х / = ( й ( 1, - А 11) ) л Г у ч - у Л (а>Слг4+ ^ * 14-

(у - 1 .2 );

(261)

ограничения

т

3

I

\U jj\C [.& i^Z j)£ jA zj)

(J = 1 ,2 ,...,/» ); (2б")

ограничения

II

^

T

s

; f - С^1

(26Ш)

*

.

о

^

функционал

о i= i

пн

,

& м)

Алгоритм составления задачи (26)- (26 ) тот же, что и

описанный выше. Задача

(2 6 )-

(26ш) называется модифицирован-

ньш продолжением

задачи

АКР

(25)

-

(25lw)

порядка Я =- ( Я - 2 ) .

Решение

задачи

(26)

-

(261"),

очевидно,

дает

замкнутую

МОСАР

типа 1хт (20) -

(20,w),

являющуюся

для

СДУ ( I ) модифициро­

ванным продолжением порядка

Л = - ( я - 2 , ) .

Часть I .

КИБЕРНЕТИКА

Е.Т.Раженков.

Инвариантные множества и устойчивость симметричных

систем в

банаховых пространствах......................................

3

A. Е.Костин.

О законе распределения евклидова расстояния между

парами ближайших случайных точек в единичном квадрате .

9

М.В.Аристо в, В.А.Троицкий■

Применение теории оптимального управления к конст­

руированию оптимальных балок.........................................

15

B . П.Филатов, Г.В.Цибизов, В.Д.Шлендов, А.Л.Ротинян

Оптимизация работы и вывода на ремонт электролизе­

ров с асбестовой фильтрующей д и аф р агм о й .................

-

23

Е.В.Хохлова, А.А.Маслов, Н.В.Бакулин.

Моделирование работы доменной печи на ЭЦВМ

"Минск-22"

32

В.Н.Щадилов, А^К.Шуваев, Г.В.Кусков, Е.А.Федорова

Некоторые вопросы прогнозирования потребности в мате­

риальных

ресурсах.........................

.................................

...............

37

И.С.Султанов, В.В.Демин, В.Б.Пеньков0

Определение производительности комплексно-механизиро­

ванных линий при случайных остановках бтанков мето­

дом статистического моделирования..........................................

44

Н.В.Бакулин, А.А.Маслов, Е.В.Хохлова

Алгоритм определения необходимого числа проб и его

реализация на языке АЛГОЛ...........

'...............................................

47

В.Г.Базылев, А.А.Кочетыгов, М.А.Сахаров

Использование малых ЭЦВМ в планировании производственных

процессов на предприятиях горнорудной промышленности...

52

И.С.Безверхняя

Об автоморфности подгрупп

свободной группы....................

58

-

П 9 -

Стр..

A.

Н. Фомичева

К вопросу^ выборе стратегии итогового контроля

знанийстудентов..........................................................................

62

Г.К.Архипов-

О проблеме и теореме моментов......................................

Часть П. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И

МАТЕМАТИ-

67

ЧЕСКАЯ ФИЗИКА

II. И.Цой

Задача о неустановившихся колебаниях звуковых волн

от пульсирующей сферы в вязкой среде.....................

71

B,

Н .Носов

Численный расчет циркуляции вокруг профиля в плоском

нестационарном потоке......................................

77

П.И.Цой, А.Я.Федоров

Излучение сложного сферического источника в вязкой

теплопроводной ср ед е ...............................................................

-

84

A. Я.Федоров, В.Я.Лотарев

Рассеяние

и поглощение

звуковых волн

сферой в вязкой

с р е д е .........................................

94

Ю.П.Ильин

Взаимодействие слабой ударной волны с

инерционной Q

пластинкой

в г а зе .........................................

99

B. М.Чернов

Асимптотические свойства преобразования типа свертки

105

Е.Т.Раженков

'

Эквивалентные системы в задачах аналитического конст­

руирования...........

................................................................

.............НО