книги из ГПНТБ / Прикладная математика [сборник статей]

б _

б а

' f

-

И2ч?

a { i -1) с

где значения

функций д ц (амплитуд) и &п

(фазовых углов), за - '

висящих от U)

<

определяются по таблицам

[з]. Поэтому предель­

ные значения

могут быть определены при помо­

щи таблиц функций

l)3l и 0Л в зависимости

от значений О)

и Ег .

■

Учитывая изложенные дсвущения и обозначения, получаем сле­

дующие выражения

для давления, скорости

частицы и интенсивности

в точке U ,9,1р),

а

также для полной излучаемой мощности

в даль-

0

ней зоне:

РяР ° * ш ? е

Ж \* п \

:

»^л Гсой0);

^

т/ 1 o-iK/'V'

1^я1со$и11Г-б^-6й-И(д*1)Я->£г-£й»срА}:^

1

- ^ g s . IQn 1 с о й Ш ^ -6 ^ - И С п * г Ж -8 д - 2 ь е^ ^ }

Vn-

Ъ h ~

К М

:

°

a ^ C c o s B )

(24)

1

d B

-

91 -

|£?Л I ICU-PnCcos 0)Л гп(С О 80)со8|ф '-ф ^+^^51-е1+ф4+

j - c '

_ c ' J- Я '

\

1 1

L

*

p / а \ _ ^ р у +

- £ f f l

~ 6 m }

______________________________________________________

'

:

щ

д

а

rr

2.3TPoC

I Qti I

( » )

, h

coS((p-£e.)

n =

e

т ш Щ щ р ’

где |ДЛ I= |l < (B ^coaf1 [ f ^

f Y

^ - l

) | ё +л(л*1)(—-)

*exp ^(Ц п- 5л -£^ ^-50

x

\Оп \- \ и п а г +Уп п Ш ) № ) ^ У ^ [ ,

. c

Д я = |Л й 1 ^ ';

<?л=1<?л 1

^ ;

работы

й f-ьfei

On со$(ф4~£е)

РЛ = е •

(25)

П о

где

П 0 - значение

полной излучаемой мощности без учёта

вязкости

и теплопроводности

среды (\?=\? = х о= 0).

Если со =Щ@достаточно мало, то все

члены, кроме первого,

Д

д 4

\

4 Я

C 2 fl* l)c o s(c fe - 6 t)

i

^

e

S

чд„')чд»г

Если величины V ', 1>Дъд)

о .„о,. ^ 'б Л5

Х аб

есть

ве­

а

личины малые по

сравнению с

единицей,

то для

заданного

радиуса

а и величины

и 6 г бУДУт малыми по

сравнению с единицей^

Тогда по формулам (22) можно написать следующие приближения:

при ш =л<,сг-

-т—

:>>с

Лл + -j-

И“

-

Х

|А й 1

12Г

при

2 Я я _

1

Л .

u)=

<<п\Т

(2rt+l)£t« l;

Д й - д » ,

й

*

j V

- 0»-

а « * #«

/

* /

's,(su -4)-|-K ,

Л =0

;

К п-

<зЛ *

Л * 0 ;

Л и т е р а т у р а

1.

Цой И.И. Излучение пульсирующей сферы в

вязкой

среде4.-

"Механика жидкости и газа ", 1969",

вып. 4.

2.

Ламб Г . Гидродинамика. М., Гостехиздат, 1947.

3.

Морз Ф. Колебания и з.вук. М., Гостехиздат, 1949.

4 .

Ватсон Д.Н. Теория бесселевых функций.

Ч.

Изд-во

иностр.литературы? 1940.

превращается в тепло.

1

Определим скорость, с которой часть энергии звуковой волны

поглощается вследствие вязкости, а часть

рассеивается

благода­

ря присутствию сферического препятствия.

Пусть сферические звуковые волны, исходящие от точечного

источника Е , распространяются в вязкой

среде и встречают

на

своем пути абсолютно твердую и неподвижную сферу радиусом

а ,

центр

которой находится

на расстоянии

6

от источниКа^вдка Е

При установившемся движении (с временным множителем

1)

зада

ча

определения акустического поля

вязкой среды приводится

к решению двух уравнений

Гельмгольца:

. дср4-Лг[ф=0 ;

д<Р+/^Ф=0,

(I)

^ = 0 ;

Г0= О ;

J V 0 ,

( 2)

где «

! - с ч

’

: V т

3 5 л

* =

“\ Г

К ,

r 8 , V v

- проекции скорости точки на оси сферической

Р , в , U)

системы

координат, связанной

со

сферой;

-

сферические координаты;

о

-

частота

колебаний.

Я=0

(k%r)?n (cosBj£>-6 ^ 4-

*ik i "Hi A n (In +-1)hn (ki&)hn(klr)Pn (co$0 )p'6ii'; (3 )

'

> r)

где

hft{z),jf](z)

- сферические

функции Ханкеля и Бесселя

J^rj (cos 9)

П -го порядка;

о

-

полиномы Лежандра;

Aft

и Bft -

постоянные

коэффициенты, определяемые

по

д

следующим формулам:_ .

_ - П (п+Р/п [к^а)Ьп {кгаЬк^<Х]п(кух) \kiahb(к^акЬ^а)]

Ал

kfik'n(k.ja) [к ^ К (кгakhn[кь^\-п (п+ 1)ЛЙ (к^)кп [кьа)

в

_ k ih n ik iS jjJ k ia l+ k iA n h n (k i& )h n (k ^ c t)

(4)

Л

к 2кп (кг6)[k0ia/}l,l(k1a)fhftikla}]

ГДе

Jn (z)=

M

Ш hn (z)-

где ? Г Р °7 Г

F On

•давление и радиальная скорость па-

э

= ,

дающей сферической в'олны; .

ps,=p Q^ £ £ ; y^r= -J& ’^

давление и радиальная скорость волн,

отраженных от сферического препят­

ствия.

Так как

механическая

энергия в замкнутом

пространстве

остается постоянной, то среднее значение этого

интеграла пред-

4 - И 1 Р , У£г * р ^ 9 е )с1$.

(5)

рой меньше б ,

но значительно больше величины

, ]*>'* -

толщина вязкого

пограничного слоя:

.

•

h j w *

(б)

В этом случае потенциалы скоростей падающей и отраженной

волн имеют вид

сp p = i k i ^ { l n + { ) h n i k i6 )jn (Ajе)Рп ( c o s 8 ) e~6 i l ;

ф < г=ik. £

[In+1)Д я {kjS)hn(к{г)Рп(co s 8 )e■6ii

(?)

A

n=0

с высокой степенью точности можно ограничиться

двумя первыми

членами в разложении (?)..

Найдем значение интеграла (5) при монопольной составля­

ющей падающей

волны. Для этого в формулах (7) нужно поло­

жить п = 0 .

Тогйа для действительных частей потенциалов

скоро­

стей падающей

и отраженной волн будем иметь

=ki [/о(A^jsin 6t-ji0{ki6)ca$6t}j0 (k%r);

(8)

<ps =

k ^ 0j 0{ k s ) - 5 0Tia ( k ^ t i a e t -

[60j 0 { k ^ ^ n d k ^ ) J c o s e tj,

где

a 0=H0j 0{ki&)-Kon °

60 = H 0n 0{k^ + K o j'o ( k t 6 );

Aa=Hn+iKD=

j o ( k

j

O i .

K ik ^ a )

’

- 98

-

В этом случае значение, интеграла (5)

/ г=-6Яр0С(5'

1

(is)

1+ к\61.

Н%.

к \ а Ч \ а г и к\6г

(17)

Этот результат в совокупности с выражением (II)

опреде­

сферическом препятствии.

^

Е|зли значение а. имеет порядок

]?>

или меньший,

чем {У

f то вследствие

малости к \&

1

4ра t+ра

и потеря энергии, выраженная

через

поток

энергии

в первоначаль

ных волнах, оказывается равной

ska

1+

1

1

•

1

Т\аг.

(18)

ра

|Ь сзг

'Н16Ч

В этом случае выражением (II)

в сравнении

с

полученным

выражением вполне можно пренебречь.

Таким образом, формула (18)

определяет ту

часть энергии

в падающих волнах, которая поглощается вследствие вязкости

среды.

Если в формулах/(1 7 ),

(18)

перейти к пределу при<5-—°°,

то полученные результаты

совпадут

с

результатами

работы [2 ],

ло

Ю-4 сек) процессы, связанные с теплопроводностью, вязкостью

и

внешними притоками тепла, не успевают развиться. Поэтому

В исходном

состоянии пластинка и газ с обеих

сторон

от

нее находятся в

покое.

В начальный момент времени

t = О

слева на пластинку р

падает ударная волна

I заданной

ин­

тенсивности (ou,X -t

диаграмму на рис. 1 ,а ) .

Требуется

опре­