книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

женный комплекс коэффициентов Фурье и А" принять за

частотные производные коэффициентов Фурье, то суммо­

Заметим, что в отличие от многих предыдущих тео­ рем здесь появилась сумма двух энергий, а не разность. Доказательство с помощью теоремы Телледжена вызы­ вает несколько обобщений. Первое из них: может быть включена взаимоиндукция. Второе: могут быть включе­ ны гираторы, их действие на правую часть (5-66) равно нулю *. Могут быть включены конденсаторы с потерями или катушки индуктивности с потерями, после чего вы­ вод приведет к выражениям, которые могут быть объяс­ нены как энергия в таких элементах.

Другая основная теорема, затрагивающая более X, чем dX/d(ü, может быть получена для цепей LC сразу

же из (5-4):

Как указал Смит (1967 г.), (5-66) в отличие от (5-67) имеет силу для необратимых цепей [Л. 148]. Эти два ре­ зультата могут быть интересно скомбинированы. Так как Wm и We не отрицательны, то

их сумма все еще существенна. Вспомним для примера, что гиратор и конденсатор вместе могут походить на катушку индуктивности; цепь ведет себя, как будто имеется магнитная энергия, несмотря на то, что энергия считается как часть \ѴС.

80

делаем вывод:

Этот хорошо известный результат может быть также доказан с помощью теоремы реактивных сопротивлений Фостера [Л. 57].

Для иллюстрации того, как теорема Телледжена может быть использована для нахождения полезных тео­ рем при довольно специализированных обстоятельствах, выведем выражение для частотных изменений элемента матрицы рассеивания S2i, согласованного с нагрузкой четырехполюсника без потерь (5ц = 0) [Л. 39]. Использу­ ем суммовую форму теоремы Телледжена (2-35), выра­ жая переменные на входах четырехполюсника через вол­ новые переменные, а переменные внутренних ветвей через напряжения и токи. Пусть А ' избирает сопряженные

комплексы переменных в установившемся синусоидаль­ ном состоянии при питании только с входа 1 рис. 5-2

(Л'Л2= 0 ), а Л "— производные переменных по частоте со опять-таки в случае Л2=0:

Первый член левой части исчезат, так как цепь без потерь (вспомним, что цепь без потерь имеет унитарную матрицу рассеивания). Второй член исчезает, потому что цепь согласована на входе. Правая часть может быть интерпретирована для цепи LC, возможно с гира-

торами, в выражениях накопленной энергии (гираторные члены исчезают). В результате имеем:

(5-71)

где Р — поступающая мощность.

Это и есть результат, данный Дике.

S-17. ГРУППОВАЯ ЗАДЕРЖКА И ЗАПАСЁННАЯ

ЭНЕРГИЯ

Выражение (5-71) может быть некоторым образом упрощено, если обозначить буквой т групповую задержку цепи:

где —0 — фазный угол параметра S2i-

В предыдущем примере § 5-16 цепь была согласова­

[Л. 12]. Этот результат есть частный случай 'более общей формулы, данной Киши и Наказава (1963 г.), которая относится к многополюсникам без потерь [Л. 83]. Этот результат может быть получен для цепи LC (возможно,

с гираторами) из суммовой формы теоремы'Телледжена. Пусть А! 'берет производную но частоте от коэффициен­ тов Фурье и А " — сопряженный комплекс преобразова­

ний Фурье. Тогда суммовая форма теоремы Телледжена (2-35) утверждает:

82

или напряжение, или ток. Тогда теорема однозначности констатирует, что существует только один комплект на­ пряжений и токов в цепи, который совместим с этим воз­

ститутивным законам элементов, законам Кирхгофа и совместимы с заданными входными переменными.

Левая часть (5-83) исчезает, потому что оба решения совместимы с заданными входными напряжениями или токами. Сумма в правой части уравнения может быть разбита на вещественную сумму по резисторам и мни­ мую сумму по катушкам индуктивности, конденсаторам и гираторам. Обе суммы должны исчезать независимо. Так как все сопротивления резисторов не отрицательны,

все Дfa равны нулю для все резисторных ветвей. Это значит, что все ДUa для резисторных ветвей также

равны нулю; результаты как будто бы говорят о том, что многие из других напряжений и токов также одно­ значно определены. Тем не менее возможно, что сущест­ вует комплект напряжений и токов, которые не опреде­ лимы однозначно. Такой комплект может сущствовать только в таких частях системы, где нет потерь. Это — явление резонанса, и при установлении минимой части уравнения (5-83), равной нулю, мы найдем, что опреде­ ленные суммы по конденсаторам, катушкам индуктивно­ сти и гираторам равны нулю. Это является обычным условием резонанса, рассматриваемым в § 5-20. Однако если не принимать во внимание эти резонансы, то напря­ жения и токи устанавливаются однозначно при заданном возбуждении с входов. Если мы зададим также и на­ чальные условия, то даже и эти резонансы будут опреде­ лены однозначно.

84

5-19. РЕЗОНАНС

Собственная частота $=<т+/со есть частота, при которой в цепи могут 'возникать свободные колебания при отсутствии внешнего возбуждения. Теоремы о резо­ нансе в последующих параграфах данной главы доказывыются с помощью теоремы Телледжена для цепи без входов

или с помощью соответствующей разностной или суммо­ вой формы.

Вообще цепь может быть одновременно в резонансе на нескольких собственных частотах; однако в § 5-20, 5-21 и 5-23 рассматривается случай одной резонансной частоты и связанной с ней системы токов или напряже­ ний.

5-20. УСЛОВИЯ РЕЗОНАНСА

Ряд важных условий резонанса в линейных цепях связан с комплексной мощностью различных элементов. Расмотрим цепь в резонансе с одной собственной часто­ той s. Пусть А" избирает коэффициенты Фурье перемен­ ных и А' — сопряженные комплексы коэффициентов

Фурье. Тогда теорема Телледжена (5-84) приводит к вы­ ражению

Последняя запись относится только к целям с двухза­ жимными элементами. Она удобна, например, для цепей RLC. Обе части суммы, вещественная и мнимая, должны

обратиться в нуль. Это ведет к ограничению зон плоско­ сти S, где может возникнуть резонанс.

Так, в цепях с положительными R, L и S резонанс

не может возникнуть при положительной величине о, а в цепях RC он может возникнуть только, если часто­

та со равна нулю. Возможны многие другие объяснения уравнения (5-85); обычно они ведут к зонам в плоскости 5, где резонанс может или не может возникнуть (см., например, заметку Ли и Даниэле, 1966 г.) [Л. 89]. Такие результаты особенно полезны для цепей только с двумя

85

Каждая из сумм вещественна, за исключением по­ следней, которая является мнимой. Вещественная и мни­ мая части:

могут быть легко распространены на случаи с взаимоин­ дукцией и емкостью.

5-21. ФОРМУЛЫ РЕЗОНАНСНОЙ ЧАСТОТЫ

Если форма токов, связанная с некоторой резо­ нансной частотой, известна, то частоту можно вычислить. Могут быть получены две формулы из теоремы Телледжена. Упрощения ради ограничиваем наше внимание цепями RLCG, хотя взаимная индуктивность, емкость и

активное сопротивление могут быть непосредственно до­ бавлены. Сначала допустим, что А" и А ' — коэффициен­

ты Фурье для переменных, и найдем:

gyr

2 Этот результат приемлем, если вспомнить, что гиратор и кон­ денсатор вместе могут походить на катушку индуктивности и на­ оборот,

86

Таким образом, если распределение тока 1 а извест1-

но, то s может 'быть вычислена решением квадратного

Заметим, что члены, относящиеся к гираторам, авто­ матически суммируются в нуль, даже если постоянные гиратора являются комплексными (случай, который мы обычно не рассматриваем) и поэтому не появляются в (5-89); тем не менее фазы токов должны быть извест­ ны, если нужно применить (5-89). Формула, которая тре­ бует только знания величин, может 'быть тоже получена из теоремы Телледжена, если допускать, что один из операторов Кирхгофа берет сопряженный комплекс. Тогда получим:

о = » , Б і/ .Г і . + » / £ іС І Х +

Данное выражение имеет преимущество в том (по крайней мере если гираторы отсутствуют), что только величины токов должны быть известны. Для определе­ ния s надо будет опять-таки решать квадратное уравне­ ние. При применении таких формул важно знать, как критично в окончательном ответе малое отклонение в принятой форме токов. Покажем, что рассчитанная резонансная частота независима от любых отклонений до первого порядка в форме токов при одном условии, что применяемые токи подчиняются первому закону Кирх­ гофа. Этот результат имеет силу, когда применяется (5-89) и если нет в наличии гираторов. Чтоб доказать это свойство, предположим, что действительное распре­

деление тока /° точно не известно, но наш подсчет І а

отличается от него на малую величину. Затем, если s° является действительной резонансной частотой, (5-89) превратится в выражение

87

Теорема Телледжена приводит гіас также к следую­

Заметим, что неверными значениями токов будут те, которые появились в последнем уравнении. Это в точно­ сти та формула, которая применяется для нахождения резонансной частоты, однако в этом квадратном уравне­ нии появляется s°. Следовательно, результат, достигну­ тый ори применении неверных значений токов, является точным значением частоты. Таким образом, этот метод нечувствителен к отклонениям первого .порядка в приня­ той форме токов.

Для цепей с элементами только двух видов подобные результаты могут быть показаны для другой формулы (5-91). Так как цепь LC особо важна, то мы сконцентри­

руем внимание на этом и определим, получается ли вы­ численная собственная частота s выше или ниже дейст­ вительной собственной частоты s°. Теорема Телледжена

дает:

где Ia— принятая неверная система токов, которая под­

чиняется первому закону Кирхгофа.

88

В этом выражении, которое не ограничено отклоне­ ниями тока первого порядка, обращают на себя внима­ ние два примечательных обстоятельства. Первое: откло­ нение в рассчитанной резонансной частоте — второго порядка в отклонениях принятых токов, так что точный расчет собственных частот может быть выполнен из рас­ пределения токов средней точности. 'Второе: со может быть или выше или ниже правильной величины со0. Если, однако, все принятые токи в конденсаторах правильны, то со не может превышать со0. Другой случай, в котором

[Л. 36]. Положим, что цепь имеет по крайней мере две резонансные частоты s' и s" с частотными переменными распределения тока и напряжения / ' а, £/'а, /" а, U"a .

Пусть А ' и А" попеременно избирают одно или другое

резонансное распределение тока, напряжения или обоих вместе или соответствующие сопряженные комплексы.

Среди уравнений, получающихся при применении сильной формы теоремы Телледжена (5-84), будут сле­ дующие:

0 = s ' 2 /' /" L + s " £ V U" С +

ind cap

89