книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

5-10. ТЕОРЕМА ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА ЙАН-ДЕР-ПОЛЯ

Ван-дер-Поль (1937 г.), Боде (1938 г.), Гаспарнни (1960 г.) изложили и доказали теорему об избытке элек­ трической энергии над магнитной, накопленном в двух­ полюснике RLC, питаемом на входе напряжением посто­

янного тока [Л. 11, 61, 158]. Уравнение теоремы

Эта теорема может быть значительно обобщена; не­ которые обобщения могут быть очевидны из доказатель­ ства посредством теоремы Телледжена. Рассмотрим два способа питания сети: один — постоянным током, а дру­ гой— при низкой частоте со. Теорема Телледжена в раз­

Разобьем это выражение на отдельные суммы для катушек индуктивности, конденсаторов н резисторов так, что правая часть уравнения примет вид:

Сумма по резисторам исчезает. Если разделить оставшиеся члены на /со. и перейти к пределу при /со— >■

— Я), то найдем, что

Это и есть искомый результат. Уравнение может быть легко распространено на цепи с взаимоиндукцией

ина многополюсники; оно может также быть написано

вволновых переменных.

70

5-11. ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Рассмотрим цепь RLC с матрицей входных полных

сопротивлений 2 р?(ш). Теперь рассмотрим другую цепь RLC с тем же режимом на зажимах, т. е. с той же са­ мой Z pq(со). Эти две цепи не должны быть непременно

должна иметь большую запасенную емкостную энергию, и разность будет точно равна запасенной во второй цепи магнитной энергии. Пример двух цепей с одинаковым ре­ жимом на зажимах дан на рис. 5-1.

Эта теорема может быть доказана посредством тео­ ремы Телледжена. Доказательство, приводимое ниже, до некоторой степени отличается от данного самим Телледженом.

Произведение двух напряжений во временной области ua(t) и Up(t) может быть выражено через напряжения в

частотной области НаН , t/p(Ф):

Подобные выражения пригодны и для токов. Можно написать выражения для магнитной и электрической

7J

энергии в частотных ‘переменных:

Если А7 и А" являются соответственно оценками пре­ образований Фурье по и и Ф, то уравнение (2-22) раз­ ностной формы теоремы Телледжена приводит к зависи­ мости

Sp [/р(ш)£/р ( Ф ) - / Р(Ф) £/„(“>)] =

Сумма по резисторам в правой части уравнения исче­ зает. Сумма по катушкам индуктивности и конденсато­ рам становится равной:

Сумма по входам может быть записана в функции матрицы полных сопротивлений Zpq, рассчитанной при

частоте со и при частоте Ф. Разделив (5-30) на /(со—Ф), получим:

уравнения после интегрирования по со и Ф становится разностью энергий We(t) — Wm{t). В левой части урав­

нения получается сложный интеграл, который может в принципе быть вычислен из Zpq(a) и условия питания ip{t). В этом результате важно то, что мы имеем в прин­

72

иметь какие-либо сведения о 'распределении токов и на­ пряжений внутри цепи. Таким образом, разность We—

— Wm есть функция свойств, измеренных на зажимах це­

пи, и ее питания.

Таким образом, две или более цепей с одинаковыми свойствами, измеренными на зажимах, и с однородным питанием имеют в любой момент времени идентичные значения разности We— Wm■ Настоящее доказательство

приводит к некоторым обобщениям. Могут быть в нали­ чии симметричная взаимная индуктивность, емкость и активное сопротивление. Подобная же теорема, включа­ ющая в себя автокорреляцию напряжений конденсато­ ров и токов в катушках индуктивности, найдена умно­

жением (5-32) на - і - е /шѴ ф ('+г)/4*2.

5-12. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОШЕНИЯ ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ХОЛОСТОГО ХОДА И КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ

Нижеследующий результат (Паркер и др., 1965 г.; Крозер и Фетт, 1966 г.; Моад, 1966 г.; Ван Лоок, 1967 г.; Андерсен и Ку, 1967 г.) доказывается значительно про­

величину Zs\ когда вход 1 разомкнут, входное полное сопротивление со стороны входа 2 будет Z0. Подобно этому, когда вход 2 замкнут, входное полное сопротив­ ление со стороны входа 1 есть Zh, а когда вход 2 разо­

мкнут, входное полное сопротивление со стороны входа

73

что мы имеем четыре разных распределения тока и на­ пряжения, отмеченных индексами s, /г, о и р*. Однако при измерениях Zs и Z v следует использовать цепь, при­

соединенную к первоначальной (см. приложение 4). Таким образом, матрица полных сопротивлений вет­

вей будет Zap = Zga, а не Z ^ . Результирующие входные

полные сопротивления Zs и Z p не изменяются при этой

замене элементов, как показано в § 5-9. Тильда над бук­ вой будет указывать соответствующие распределения токов.

Подлежащее доказательству уравнение (5-33) запи­ шем в виде

74

(рис. 5-3). В алгебраических обозначениях это условие будет таково:

что эквивалентно неравенству

Итак, имеются для цепи три условия: «другие» эле­ менты на месте; «другие» элементы заменены короткозамкнутыми цепями и «другие» элементы заменены разомкнутыми ветвями. Обозначим соответственно ин­ дексами s и о распределения тока и напряжения при

двух последних условиях и без индексов — при первом

условии. Заметим, что равенства t /* = 0 и / “ = 0 дей­

ствительны для «других» элементов, но не обязательны для резисторов.

Если обозначим через А" выбор одного из этих трех условий, а через А' выбор одного и взятие сопряженного

комплекса, то получаются девять уравнений, предска­

oih

там. (Прим. ред.)

76

Заметим, что сумма для «других» элементов в по­ следних пяти уравнениях исчезла. Разделив первое из этих уравнений на | / | 2, а другие на соответствующие произведения токов, найдем:

(5-56)

res

которое завершает доказательство того, что 0 ^ Z s^ Z o. Чтобы доказать главный результат’ (5-43), заметим,

что так как все Ra не отрицательны, то

0 <Е*-

{es

77

Раскрытие этого выражения приводит к уравнению, вещественная часть которого будет равна:

о,!:йі5 Н[тГ+Ке2-

тельны. При умножении на неотрицательную величину Z0—Zs находим желаемый результат (5-43). Это доказа­ тельство вызывает много обобщений, таких, как вклю­ чающие многозажимные элементы, взаимоиндукцию, гираторы, нелинейные элементы и элементы, зависящие от времени. Теорема в зависимости от «других» элемен­ тов может 'быть действительной или вдоль оси /со или в более обширной области на плоскости s. Эти обобще­

ния не будут продолжены в данной книге.

5-14. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ ЛЮНЕЛЛИ

Рассмотрим двухполюсник RLC. Люнелли доказал

и применил [Л. 97— І00] две теоремы о разложении пол­ ного сопротивления Z(s):

где сумма дана по ряду членов (покажем, что это можно считать как сумму по элементам) с Н і, неотрицатель­ ными и вещественными, Кі, вещественными, но возмож­ но отрицательными, и 5 г- и Fi как функции от s; заме­ тим, что одни и те же Кі и Л,- появляются в обоих выра­

жениях.

Докажем эти теоремы. Найдем Яг-, 5,-, Кі и Fi как

функции параметров цепи. Пусть А' избирает коэффи­ циент Фурье, а А" избирает производную от этих коэф­ фициентов по s. Тогда разностная форма теоремы Тел-

леджена (2-22) приводит к следующему равенству:

7a

денсаторов выполняется дуальная операция. В результа­ те (5-61) приводится к виду

Если оба оператора Л' и Л" принимают коэффициенты Фурье, то теорема Телледжена (2-20) приводит к сле­ дующему выражению:

z <‘ >= Е * . (-7 7 5 - ) '+ • 5S L - ( Ч Т Г ) ’+ res ind

По форме это уравнение совпадает с .(5-59), если Ягпонимать как Ra, a Stкак коэффициент передачи по то­

ку для резисторов I J I . Аналогичные выражения приме­ нимы для Кі и Fi.

5-15. ТЕОРЕМА РЕАКТИВНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Хорошо известная теорема, связывающая скорость изменения реактивного сопротивления в цепи LC с за­

пасенной энергией, может быть доказана с помощью теоремы Телледжена. Эту теорему приводили много раз,

79