книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

принимаются в следующем виде:

где s = a + jсо — комплексная частота, а Re — обозначение

вещественной части.

Во многих случаях результаты или ограничены, или проще объяснимы для установившегося синусоидального режима, для которого сг=0.

Зависящие от времени, переключающие и изменяю­ щиеся линейные цепи обсуждаются в гл. 6.

5-1. СОХРАНЕНИЕ АКТИВНОЙ И РЕАКТИВНОЙ МОЩНОСТЕЙ

Комплексная мощность P + jQ обычно определяется

в величинах полуамплитуд напряжения и тока, в виде

хотя определение 2U*I применяется некоторыми автора­

ми, например Гиллемином [Л. 63]

(2-20) принимает вид:

(5-3)

который можно понимать как закон сохранения актив­ ной и реактивной мощностей.

Некоторые виды элементов (например, элементы без потерь, пассивные, инертные и нереактивные) могут быть определены исходя из возможных величин комплексной мощности. Тогда (5-3) показывает, что цепи, состоящие из элементов определенного вида, сами относятся к этому

из элементов с заданным фазным углом комплексной мощности, сама обладает таким же свойством. Цепи, со­ ставленные из элементов с углом реактивной мощности, ограниченным некоторым диапазоном, являются сами объектом такого же ограничения, когда комплексная мощность оценивается на входах.

60

5-2. ТЕОРЕМА ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЦЕПЕЙ RLC

Левая часть уравнения есть комплексная мощность цепи. Действительная мощность равна первому члену

вправой части, который выражает рассеяние мощности

вактивных сопротивлениях. Реактивная мощность равна удвоенной частоте, умноженной на величины, заключен­ ные в скобках, которые являются средней энергией, на­ капливаемой в катушках индуктивности минус средняя энергия, накапливаемая в конденсаторах. Эта теорема

хорошо известна (Боде, 1945 г., Гиллемин, 1953 г.) [Л. 12, 63]. Она имеет силу и для случая, когда в цепи имеются идеальные трансформаторы и взаимные индук­ тивности.

5-3. ОГРАНИЧЕНИЕ ДИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩЕЙ МОЩНОСТИ

Дике (1948 г.) показал связь между поступающей в электрическую систему мощностью и разностью между накопленными электрической и магнитной энергиями, если питание синусоидальное [Л. 39]. Его доказательство было приведено для системы с распределенными посто­ янными. Соответствующие результаты для цепи RLC

с сосредоточенными постоянными могут быть получены при помощи теоремы Телледжена.

Рассмотрим линейный двухполюсник RLC\ пусть А"

(2-34) разностной формы теоремы Телледжена в волно­ вых переменных на входе и для внутренних напряжений и токов имеет вид:

Левую часть можно выразить через коэффициент отражения Г = В/А\ члены правой части, соответствую­

щие резисторам, исчезают, остаются только члены, соот-

61

ветствующие катушкам индуктивности и кондеисатюрам:

(5-6)

Так как для 'пассивной цепи |Г |^ 1 , то его мнимая часть не может превышать по величине единицу. Посту­ пающая мощность -равна Р —2 |А |2, таким образом, (5-6) показывает, что по абсолютной величине

где \Ѵт и We являются средними по времени значения­

ми магнитной и электрической энергий; это и есть жела­ емый результат.

5-4. ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

За исключением необычных случаев (например, ра­ зомкнутая цепь), двухзажимный элемент имеет полное

= Z ^ )I ^ ), где индексом а отмечается напряжение, ток

или полное сопротивление одиночного элемента. Много­ зажимные линейные элементы (опять-таки за исключе­ нием необычного случая, такого, как идеальный транс­ форматор) имеют матрицы полного сопротивления

«1*’=Ѵі? '?■ <5'8)

Комбинируя все такие конститутивные связи для всех элементов, можно записать матрицу полного сопротив­ ления ветвей для всех ветвей цепи:

(5-9>

которая для цепи с двухзажимными элементами диаго-

62

Эти матрицы могут быть определены или для сину­ соидального или экспоненциального питания. Для си­ нусоидального питания цепей RLC теорема энергии мо­

жет быть переформулирована в выражениях полного сопротивления. Если цепь имеет только один вход с то­ ком / и полным сопротивлением Z, то (5-4) имеет вид:

2 Z | / | 2= S 2 | / J ^ a +

гes

Таким образом, вещественная часть Z связана с рас­

сеиваемой мощностью, а мнимая часть — с разностью мелсду накопленными магнитной и электрической энер­ гиями.

Обобщением уравнения (5-11) для многополюсных цепей RLC будет выражение

5-5. СВОЙСТВО ОБРАТИМОСТИ

Использование теоремы Телледжеиа для доказа­ тельства теоремы обратимости было, пожалуй, наиболее

1969 г. (Л. 14, 17, 38, 43, 154, 155, 169].

Используются два равноценных, но разных опреде­ ления свойства обратимости. В одном определении ре­ акция четырехполюсника с данной нагрузкой и источ­

ез

ющейся при о'бмене местами источника с нагрузкой. Если обе реакции одинаковы, то цепь обратима. В дру­ гом определении, которое применяли Максвелл (1891 г.),

Рэлей (1894 г.) и Лоренц (1936 г.) [Л. 94, 104, 130], рас­ сматривается свойство обратимости п-полюсников. За­ тем из этого определения можно показать свойство че­ тырехполюсника, упомянутого выше. Мы используем по­ следнее определение.

Линейный, не зависящий от времени п-полюсник или

в которых цепь или элемент питаются различными спо­ собами, например, на разных входах. Частоты питания в обоих случаях одинаковы. Говорят, что цепь или эле­ мент обратимы, если уравнение имеет силу для всех экспоненциальных по форме питаний, а иногда, если оно сохраняет силу для всех синусоидальных питаний. Столь же приемлемым будет решение, охватывающее волно­ вые переменные:

ний симметрична только тогда, когда элемент или цепь обладает свойством обратимости. Подобно этому сим­ метрична и матрица рассеивания.

Теория обратимости гласит, что цепь, выполненная из обратимых элементов, .сама обратима. Эта теорема может быть легко доказана посредством теоремы Тел-

в эксперименте 2. Тогда разностная форма теоремы Телледжена ('2-22) примет вид:

64

Если цепь содержит только обратимые элементы, тор- да сумма в .правой части исчезает и, как это видно, цепь в целом обратима.

Не все физические устройства являются обратимыми и не все элементы цепи обратимы. В частности, микро­ волновые циркуляторы и изоляторы необратимы. Гиратор является необратимым элементом цепи. Кроме того, понятия пассивности и обратимости являются независи­ мыми и не должны 'быть смешиваемы. Можно показать из довода о пассивности, что многозажимные элементы, запасающие энергию, такие, как элементы с взаимоин­ дукцией, должны «быть обратимыми, но это доказатель­ ство не имеет силы для резистивных элементов, таких,

Обозначение взято так же, как в § 5-6, с той только разницей, что здесь мы имеем знак плюс вместо знака минус, как это имело место в (5-13). Гиратор является примером необратимого устройства. Идеальные транс­ форматоры необратимы, хотя они также и обратимы.

ратимости», может быть доказано при помощи теоремы Телледжена. Она гласит, что цепь, состоящая из необра­ тимых элементов, сама необратима. Доказательство, в котором используется суммовая форма теоремы Тел­ леджена (2-23), подобно доказательству теоремы обра­ тимости.

5-7. ВЗАИМНАЯ ОБРАТИМОСТЬ

Бордвик (1956 г.) дал общее определение понятия взаимной обратимости [Л. 13]. Рассмотрим две цепи

содинаковой топологической структурой, но, возможно,

сразными конститутивными законами элементов. Будем

Как видно, входное полное сопротивление является линейной суммой полных сопротивлений ветвей; коэф­ фициенты в сумме — вещественные неотрицательные чис­ ла. Эта форма полного сопротивления цепи показывает зависимость между полными сопротивлениями ветвей и

входными сопротивлениями. Например, если все Z a

мнимые, тогда таким же является и Z. Если все эле­

менты имеют полные сопротивления с определенным фазным углом или в пределах определенной области фазных углов, то Z обладает тем же свойством.

5-9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИИ ВХОДОВ И ЭЛЕМЕНТОВ

Рассмотрим две цепи с однородной топологией и индексацией ветвей и входов. В некоторых случаях обе эти цепи могут быть физически одинаковы. Примем, что цепи имеют матрицы полных сопротивлений ветвей Zap и Z и матрицы полных сопротивлений входов Zp9 и Zp9.

Пока нет зависимости между Zaр и '2 ^ однако можно

найти полезные результаты, когда Я получается из Za?

посредством транспозиции матрицы или составления комплексно-сопряженной матрицы, либо умножением на постоянную, либо комбинацией этих операций.

Используем разностную форму теоремы Телледжена (2-22), примененную к двум цепям о одинаковой тополо­

гией, примем Л' как коэффициент Фурье первой цепи (не обозначенной тильдами над буквами) и А" как. ко­

эффициент Фурье для второй цепи (обозначенной тиль­ дами); тогда найдем:

так что при транспонировании матрицы полных сопро-

Тйвлений элементы второй цепи получаются из соответ­ ственно расположенных элементов первой цепи 1, то пра­

вая часть уравнения (5-20) исчезает, и мы получим, что Zpq= Z qp. Следовательно, если матрицы полных сопро­

тивлений ветвей обеих цепей являются транспонирован­ ными по отношению друг к другу, то таким же свойст­ вом обладают и матрицы входных полных сопротивле­ ний.

Подобным лее образом (5-21) приводит к заключению,

что если Z ap = Z*ai то Z pq = Z*qv. Комбинация этих ре­

зультатов показывает, что если Z ^ = Z ^, то ZP9= Z * P9.

Эти результаты базируются на разностной форме теоремы Телледжена и поэтому в равной мере примени­ мы к матрице рассеивания при условии, что нормализационные полные сопротивления матрицы рассеивания вещественны. Последующий результат вовлекает силь­ ную форму теоремы Телледжена и поэтому в общем слу­ чае неприменим к матрице рассеивания.

Используем сильную форму теоремы Телледжена (2-20) в применении к двум цепям с идентичными топо­ логиями; пусть А' относится к коэффициенту Фурье первой цепи и А" — к коэффициенту Фурье для второй

цепи. Вычтем из результата произведение некоторого числа А на результат, подученный при взаимном обме­ не местами Л' и А", получим:

Результат действителен для любых Za{J и Zap; одна­

ко полезен случай, когда Zap получается из Zaß посред-

ством транопонирования и последующего умножения на А. Тогда правая часть уравнения исчезает, и в резуль­ тате Zpq—AZqp. Таким образом, доказано, что если пол­

ные сопротивления ветвей во второй цепи получены из полных сопротивлений ветвей первой цепи путем транс­ понирования матрицы полных сопротивлений и измене­ ния уровня полного сопротивления (умножения на А),

то соответствующие матрицы входных полных сопротив-

1 Это значит, что вторая цепь является присоединенной к первой (см. приложение 4).

68

Ленин связаны такой же зависимостью. Здесь А может

быть постоянной (действительной, мнимой или комплекс­ ной) или может быть сложной функцией частоты.

Операции: перестановка строчек и столбцов (транс­ понирование), замена комплексов сопряженными, умно­ жение на постоянную или функцию частоты, любые две или более из этих операций в последовательном порядке, например транспозиция и замена комплексов сопряжен­ ными,— будучи выполненными над матрицей полных сопротивлений ветвей, представят новую цепь с новыми входными сопротивлениями, связанную с прежней цепью "посредством той же самой операции.

Важные следствия этих результатов относятся к це­ пям с матрицами полных сопротивлений, которые имеют специальные свойства. Например, если цепь имеет сим­ метричную матрицу полных сопротивлений ветвей, зна­ чит, она не изменяется при замене матрицы полных со­ противлений ветвей ее транспонированной матрицей:

7 — Z

Следовательно, матрица входных полных сопротив­ лений не изменилась: Zpq= Z pq. Только что доказанные результаты дают нам, что Zvq— Zqp и, следовательно, Zpq— Zqp\ это значит, что матрица входных полных со­

противлений симметрична. Это одно из нескольких свойств, которым должна также обладать матрица входных полных сопротивлений, если им обладают мат­ рицы полных сопротивлений ветвей. Другие свойства, которыми должна обладать матрица входных полных сопротивлений Zpq, если ими обладает матрица полных сопротивлений ветвей Za?:

1 Применимо также к матрице рассеивания.

69