книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

Левая часть есть нелинейная мощность цепи. Правая часть есть сумма нелинейных мощностей элементов цепи. Подобным же образом можно показать с помощью тео­ ремы Телледжена, что дополнительная мощность цепи равна сумме дополнительных мощностей элементов цепи. Эти теоремы доказал Миллар в 1951 г. [Л. 109].

Миллар обобщил понятия нелинейной мощности и дополнительной мощности на элементы, отличающиеся от местносимметричных сопротивлений. Обобщенная нели­ нейная мощность G(i) определяется из фактического то­

ка и напряжения элемента следующим образом:

В общем случае G(l) зависит от характера предыду­

щего питания и не является функцией состояния, хотя для местносимметрнчных резисторов она служит функ­ цией состояния и равняется нелинейной мощности, опре­ деляемой (4-14). Теорема Телледжена может быть использована для того, чтобы показать, что обобщенная нелинейная мощность цепи, вычисленная на входах, рав­ на сумме обобщенных нелинейных мощностей элементов цепи. Концепция дополнительной мощности может быть обобщена подобным же образом [Л. 109].

4-5. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МОЩНОСТИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ

Вариационные принципы не так широко применя­ ются в электротехнике, как в механике, хотя основные принципы практически идентичны. Вообще говоря, это потому, что результат применения таких принципов обычно сводится к нахождению одного комплекта зако­ нов Кирхгофа, который легче найти другими путями. Тем не менее вариационные принципы представляют некото­ рый педагогический и эстетический интерес. Здесь мы описываем, как теорема Телледжена может не только привести к величине, которая является стационарной, а также и показать, что эта величина максимальна или минимальна.

Предположим, что имеется цепь из нелинейных рези­ сторов (в случае многозажимных они должны быть мест­ носимметричными) с действительным распределением то­

50

ка і°а и і° и действительным распределением напряже­

ния и°а и и°р. Затем мы полагаем, что существует неко­ торое другое распределение тока іа и ір, которое невер­

но для этой цепи, хотя оно и подчиняется первому зако­ ну Кирхгофа. При этом имеется в виду, что неверные значения напряжений иа и ир, вычисленные исходя из

этих токов посредством конститутивных законов (а для входов посредством входных зависимостей между тока­ ми и напряжениями), не подчиняются второму закону Кирхгофа.

Возможно подсчитать нелинейную мощность отдель­ ных элементов Ga, соответствующую неверным значениям

токов Ga (ij, используя конститутивные законы для эле­

ментов; аналогично можно рассчитать нелинейную мощ­ ность цепи, рассматривая ее с зажимов G(ip) и исходя из неверных значений токов на входе іР. Нет уверенности в том, что G(ip) равна сумме неверных значений нели­

нейных мощностей для элементов Еа G(/a) или даже

зависит от нее, хотя такая зависимость существует при верных значениях токов. Действительно, в предыдущем параграфе мы доказали:

SaGa(ia) стационарна в отношении вариаций токов ветвей,

которые, во-первых, подчиняются первому закону Кирх­ гофа и, во-вторых, совместимы с известными токами входов. Покажем также, что при конечных отклонениях %aGa(ta) минимальна для верных токов при условиях, ко­

торые будут сформулированы более точно.

Чтобы доказать первый результат, допустим, что опе­ ратор Л' есть разность между неверными и верными зна­ чениями токов, а А" представляет верные значения на­ пряжений; тогда теорема Телледжена (2-20) примет вид:

При отклонениях первого порядка ір — г®левая часть

уравнения является изменением нелинейной мощности

ковы, что токи входов поддерживаются неизменными; тогда левая часть уравнения исчезает, и мы найдем, что изменение первого порядка в EaGa исчезает при равно­ весных значениях тока. Итак, £aGa стационарна в отно­

шении вариаций тока, совместимых с первым законом Кирхгофа и согласуемых с граничными условиями, когда все ір остаются неизменными. Иная интерпретация (4-21)

может быть дана в других случаях.

Уравнение (4-21) имеет силу для сопротивлений как с положительным, так и с отрицательным наклоном (кри­ вой), но ограничено вариациями первого порядка. Если мы рассмотрим только положительные сопротивления, но допустим конечные вариации, то правая часть урав­ нения будет не меньше, чем левая. Этот результат те­ перь доказан вместе с некоторыми обобщениями.

52

суммой на входах. Тогда мы находим:

Из (4-24) мы можем заключить, что если токи іа вы­

браны так, чтобы быть совместимыми с первым законом Кирхгофа и с граничными условиями цепи, причем ре­ зультирующие токи на зажимах имеют верные значения (это значит, что левая часть неравенства исчезает), то сумма SaGa(U> подсчитанная по этим токам, не менее,

чем сумма SaGa(J°)> подсчитанная по верному распреде­

лению токов. Таким образом, эта сумма минимальна для верного распределения токов. Уравнение (4-24) также полезно, если вместо того, чтобы иметь на некоторых вхо­ дах цепи ограниченные токи, питать эти входы извест­ ными напряжениями и°р. Тогда неравенство подразуме­

вает, что

Таким образом, если токи іа варьируются, то правая

часть уравнения есть минимум при верном распределе­ нии значений токов. Этот результат является обобщени­ ем теоремы минимального нагрева Максвелла (1891 г.) [Л. 107] на нелинейные цепи (Миллар, Райдер) [Л. 107, 109, 135]. Дополнительная мощность цепи подчиняется теоремам, которые дуальны приведенным в § 4-5.

4-6. ТЕОРЕМА МИНИМУМА И МАКСИМУМА НАПРЯЖЕНИЯ

Талбот (1955 г.) доказал и применил теорему, кото­ рая может быть обобщена для цепей из нелинейных ре­ зисторов {Л. 153]. Идея заключается в том, что макси­ мальные и минимальные потенциалы в таких цепях на­ ходятся на внешних узлах; это значит, что невозможно найти внутренний узел с потенциалом, который нахо­ дится вне пределов диапазона, ограниченного внешними экстремальными потенциалами. Теорема не верна для цепей с идеальными трансформаторами.

Эта теорема может быть доказана при помощи тео­ ремы Телледжена. Рассмотрим цепь, представленную на

53

Будем обозначать символы первоначального действия цепи без штрихов, отметим штрихами распределение на­ пряжения, соответствующего 1 В на узле s и 0 на всех других узлах. Это распределение напряжения подчиняет­ ся второму закону Кирхгофа при предположении, что узел s не у входа, все и'р= 0. По теореме Телледжеиа

Каждый член в левой части равен нулю, а в правой части исчезают все члены, кроме тех, сопротивления ко­ торых присоединены к узлу s. Для каждого из них ы'а = = 1 и іа положителен, так как в начальном действии

предположено, что узел s имел наиннзший потенциал. Таким образом, сумма положительных членов оказалась равна нулю. Это противоречие показывает, что первона­ чальное предположение не обосновано. -

Эта теорема может быть использована для показа, что коэффициент передачи по напряжению у таких цепей находится между 1 и — 1 [Л. 38, 142] и что величины входных резисторов трехполюсника Д12, R13 и R31 подчи­

няются «треугольнику неравенства». Обобщение этой теоремы на изменяющиеся во времени сопротивления не­ линейных резисторов — прямое следствие, потому что в доказательстве не была использована независимость сопротивлений резисторов от времени.

54

4-7. ТЕОРЕМА МИНИМУМА И МАКСИМУМА ТОКА

нет величины, дуальной потенциалу1. Тем ие менее суще­ ствуют два родственных результата, которые верны. Первый: если цепь планарная, так что она имеет дуал, то наибольший контурный ток будет на одном из входов. Это утверждение есть дуал теоремы минимума и макси­ мума напряжения, причем собственно дуалами являются контурные токи и потенциалы1.2 Второй: если цепь имеет только один вход (или более точно, только один источ­ ник ее питания), то ни один ток ветви не может превы­ шать ток источника питания3. Этот факт, который мы сейчас докажем с помощью теоремы Телледжена, озна­ чает, что коэффициент передачи по току резистивного двухполюсника (или я-полюсника) находится между — I

и 1 [Л. 38].

Чтобы доказать этот результат, примем, что сущест­ вует ветвь с током г^, большим, чем ток источника пи­ тания. Обозначим напряжение на этой ветви символом и? и наивысший на ее двух зажимах потенциал через U.

Определим распределение напряжений, обозначаемое штрихом, следующим образом.

Зададим потенциал 0 всем узлам с потенциалом, мень­ шим, чем U, и потенциал 1 В всем другим узлам. Затем замечаем, что все и'а и и'р равны — 1, 0, или 1 В и что

произведение іаи’а для всех внутренних ветвей больше

пуля или равно нулю. Обратимся к теореме Телледжена, используя действительное распределение токов и новое, только что определенное распределение напряжений:

1 Необходимо различать узловые потенциалы и напряжения вет­ вей. Таким образом, теорема минимума и максимума напряжении ие утверждает, что каждое напряжение ветви должно быть меньше или равно некоторым входным напряжениям; это утверждение вообще

55

Правая часть (4-27) больше пли равна ір и так как

Имеется только один источник питания, то левая часть меньше или равна току источника питания, что и требо­ валось доказать.

В случае наличия нескольких источников питания обобщением теоремы минимума и максимума тока явля­ ется теорема двух корзин Волэвера (§ 3-9).

4-8. ЦЕПИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ КОНДЕНСАТОРАМИ

Черри (1951 г.) определил понятия энергии и коэнергии для нелинейных конденсаторов [Л. 24]. Энергия как функция заряда равна:

Нижние пределы интегрирования не требуют точного определения, пока функции не выражены в действитель­ ных числах; обычно они берутся как точки, в которых или заряд, или напряжение равно нулю. Энергия и ко­ энергия цепи из нелинейных конденсаторов могут быть определены из соотношений между зарядами и напря­ жениями на зажимах конденсаторов

С помощью теоремы Телледжена можно доказать, что энергия (или коэнергия) цепи из нелинейных конденса­ торов равна сумме энергий (или коэнергий) отдельных элементов. Доказательство аналогично соответствующей теореме для нелинейной мощности § 4-4, за исключением того, что в А! должен также входить интеграл по вре­

мени.

Теорема Телледжена может быть использована для нахождения вариационных принципов для цепей с нели­ нейными конденсаторами (по Черри). Найдено, что энер-1

1 В определения принято, что duPldqT= diirJdqp.

56

гкя стационарна для малых вариаций заряда, совмести­ мых с законом сохранения заряда, когда нет изменений в зарядах на входах. Кроме того, для больших измене­ ний в распределении зарядов найдено, что энергия долж­ на быть больше, чем энергия, подсчитанная при исполь­ зовании верных зарядов. Детали этих правил здесь не приводятся, потому что они в сущности идентичны соот­ ветствующим правилам для цепей с нелинейными рези­ сторами. Необходимо только заменить токи зарядами и нелинейную мощность энергией. Теорема Телледжена может также привести нас к вариационным принципам для коэнергин (Черри, 1951 г.), подобным существую­ щим для дополнительной мощности в цепях с нелиней­ ными резисторами.

4-9. ЦЕПИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ КАТУШКАМИ ИНДУКТИВНОСТИ

[Л. 24]. Энергия как функция полного потокосцепления равна:

Энергия и коэнергия цепей с нелинейными катушками индуктивности (с линейной или нелинейной взаимоин­ дукцией) могут быть определены путем логического обобщения (4-32) и (4-33). Можно затем доказать при помощи теоремы Телледжена, что энергия (или коэнер­ гия) цепи, состоящей из нелинейных катушек индуктив­ ности, равна сумме энергий (или коэнергии) отдельных элементов. Теорема Телледжена может быть также использована (по Черри) для нахождения вариационных принципов для цепей с нелинейными катушками индук­ тивности (с взаимоиндукцией). Найдено, что энергия (или коэнергия) стационарна для малых вариаций пол­ ных потокосцеплений (или токов), совместимых со вто­ рым (или первым) законом Хирхгофа, когда нет измене­ ний в полных потокосцеплениях (или токах) на входах.

57

Следовательно, при этих условиях энергия (или коэнергия) должна быть минимальной.

Эти результаты вместе с обобщениями могут быть доказаны с применением тех же приемов, какие были использованы для цепей с нелинейными резисторами.

4-10. ЗАДЕРЖКА РАССЕЯНИЯ

Карлин (1967 г.) доказал интересную теорему, ко­ торая гласит, что, когда линейная цепь возбуждается

впереходном режиме, рассеяние не может появиться по времени ранее приложения этого режима [Л. 23]. Здесь эта теорема обобщена на цепи с рассеивающими элемен­ тами, включая нелинейные резисторы и элементы, не имеющие потерь, которыми могут быть, например, нели­ нейные конденсаторы, катушки индуктивности, гираторы, традиторы и конъюнкторы [Л. 53, 55]. Рассмотрим цепь

всостоянии покоя (т. е. с накопленной энергией, равной нулю, И7=0) в момент времени (\. К цепи приложено

возбуждение в переходном режиме; в некоторый более поздний момент t2 этот режим заканчивается, и цепь опять переходит в состояние покоя с W(i2) = 0 . «Время

рассеяния» определяется как центр тяжести рассеяния, рассматриваемого как функция времени:

и

J Е (0 «а(0 dt

j Е ‘а(0 «а(0 dt

/, res

оно может быть объяснено как «среднее» время, в тече-, ние которого имеет место рассеяние. Подобным же обра­ зом определяется «время поступления энергии»:

^а

[ S p tip (i) Up (t) dt

J Eptv(t) up (t) dt

Затем теорема констатирует:

58

і-іли в сущности, что рассеяние не может появиться «прежде» поступления энергии. Чтобы доказать этот ре­ зультат, мы используем теорему Телледжена дважды. Первый раз мы допустим, что А' и А" — операторы тож­ дественности. Интегрируя в пределах от Ч до t%, нахо­

дим:

где все члены для элементов, не имеющих потерь, исчезли, потому что цепь находится в покое в моменты t\

И/2-

Этот результат констатирует, что суммарная энергия, поступившая в цепь, равна суммарной энергии, рассеян­ ной в активных резисторах. Далее допустим, что Л'опять есть оператор тождественности, и А" умножим на t. Проинтегрируем от іл до /2 и найдем:

І-и

Здесь использован факт, что мощность в элементах без потерь есть скорость изменения накопленной энер­ гии, так что сумма по элементам без потерь равна:

f,

Последнему члену в (4-38) не свойственно быть от­ рицательным, так как W(t) принята неотрицательной.

Если каждую часть этого уравнения разделить на соот­ ветствующую часть (4-37), результатом будет желаемое неравенство (4-36).

ГЛАВА ПЯТАЯ

ПРИМЕНЕНИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ЦЕПЯМ

В гл. 5 рассматриваются линейные цепи, не зави­ сящие от времени (если нет иного указания). В основном здесь формулируются теоремы, полученные в частотной области. Напряжения, токи (и волновые переменные)

59