книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

какую-либо ветвь из корзины 3; пусть ее напряжение и ТОК будут Up и h ; тогда теорема гласит, что два урав-

нения

не могут иметь силу одновременно; это значит, что если одно из них верно, то другое нет, или оба они не верны.

Таким образом, если случится, что напряжение вет­ ви Up больше, чем сумма напряжений ветвей в корзине

2, то ток {р должен быть меньше, чем сумма токов вет­

вей в корзине 1. Это правильно независимо от того, ка­ ким образом активные элементы приписаны к корзинам 1 и 2. Эта теорема может быть доказана теоремой Телледжена. Так же, как в доказательстве теоремы Волэвера для четырех корзин, прибавляем tit— 1 добавочных

ветвей с токами, равными нулю, чтобы получить возмож­ ность определить характер новой системы напряжений

и'а при использовании новых ветвей как дерева.

Во-первых, составим распределение напряжения при приведении к нулю как можно большего количества на­ пряжений ветвей дерева без изменения какого-либо на­ пряжения на ветвях корзины 2 (точно так же, как мы поступали в § 3-7). Затем спрашивается, имеется ли на

рассматриваемой ветви полное напряжение или нет?

Если да, тогда ыр не может превышать суммы напря­

жений ветвей дерева, а оно в свою очередь не может быть более чем сумма всех напряжений на ветвях в кор­ зине 2; таким образом, по крайней мере одно из двух условий: (3-30) и (3-31), в данном случае именно по­ следнее, не верно. Если (3-31) было бы верным, тогда должна быть по крайней мере одна не возбуждаемая ветвь дерева, которая при получении возбуждения уве­

40

ме того, каждое u'a равно 0, — 1 или -f- 1 и имеет тот же знак, что и иа. Таким образом, для ветвей в корзине 3

Обратимся к теореме Телледжена, используя перво­ начальное распределение токов и новое распределение напряжений, и находим:

3-9. ТЕОРЕМА ДВУХ КОРЗИН ВОЛЭВЕРА

Волэвер доказал теорему, подобную теоремам, при­ веденным в двух предыдущих параграфах, но только с двумя системами, или «корзинами», ветвей [Л. 170]. Припишем ветви к двум корзинам так, что все ветви в корзине 2 имеют поступающую в них мощность; это

41

Таким образом, и ток, и напряжение в ветви с пас­ сивным элементом ограничены имеющимися активными элементами. Эта теорема может быть доказана при по­ мощи теоремы Телледжепа; доказательство подобно двум предыдущим доказательствам, поэтому не приво­ дится. Альтернативно теорема может быть рассмотрена как теорема трех корзин при условии, что одна из актив­ ных корзин пуста.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

ПРИМЕНЕНИЕ К НЕЛИНЕЙНЫМ ЦЕПЯМ

Одним из достоинств теоремы Телледжепа является достаточно общий ее характер, допускающий примене­ ние к нелинейным цепям. Мы даем далеко не все приме­ ры того, как эта теорема в специальных случаях при­ водит к интересным результатам. В этой главе отобраны примеры, наиболее подходящие для цепей, содержащих нелинейные сопротивления, катушки индуктивности н конденсаторы.

4-1. ОДНОЗНАЧНОСТЬ

Когда решаются дифференциальные уравнения, по­ лезно знать, что эти решения однозначны и дают закон­ ную возможность применять любые технические приемы с уверенностью, что если какое-либо решение найдено, то оно должно быть правильным. Доказательство свой­ ства однозначности показывает, какие должны устанав­ ливаться граничные и начальные условия.

Теорема Теледжена может быть использована для изучения однозначности в электрических цепях. Теорема однозначности в частотной области приводится в § 5-18; здесь выведена теорема для временной области.

Рассмотрим цепь из нелинейных (или линейных) ре­ зисторов (сопротивления которых изменяются во време­ ни или не зависят от времени), линейных (с положитель­ ными параметрами) конденсаторов, катушек ипдуктив-

42

мости, действительных гираторов и идеальных трансфор­ маторов. Принимаем, что наклон кривой напряжение — ток для каждого резистора положителен *, так что для каких-либо двух разных состояний с. разностью напря­

Полагаем, что в некоторое начальное время to мы

установили напряжение (или заряд) в каждом конден­ саторе и ток (или потокосцепление) в каждой катушке индуктивности. Это наши начальные условия. Зададим также напряжение или ток на каждом входе цепи

to. Это будут наши граничные условия.

Теорема однозначности констатирует, что в цепи су­ ществует только одна система напряжений и токов после to, которая совместима с этими начальными и граничны­

ми условиями, а также с конститутивными зависимостя­ ми элементов.

Эта теорема может быть доказана с помощью тео­ ремы Телледжена. Предположим, что существуют две такие системы напряжений и токов, одна с и'а и і'а, а

другая с и " а и і"а, все они функции времени. Обозна­ чим разности между этими решениями Aua(t) и Aia(t).

Если применить операторы Кирхгофа А' и Л" 'к разно­ стям между двумя решениями, то тогда теорема Тел­ леджена (2-20) будет иметь вид:

Левая часть уравнения исчезает, так как оба решения должны быть совместимы с одними и теми же граничны­ ми условиями. Сумма в правой части может быть раз­ ложена на суммы для резисторов, конденсаторов, кату­ шек индуктивности и гираторов. Члены для гираторов исчезают. Члены для резисторов (4-1) все не отрица­ тельны. Члены конденсаторов имеют вид:

1 Диоды, подчиняющиеся экспоненциальному закону, допусти­ мы, однако не подходят, например, туннельные диоды или конъюнкторы [Л. 55]. Возможно распространить теорему на включе­ ние в некоторых случаях идеальных диодов, но обсуждение таких усовершенствований в объем этой книги не включено.

43

члены для катушек индуктивности подобны; таким обра­ зом, (4-2) примет следующий вид:

где Р — сумма по резисторам не отрицательна, а 'W есть

по природе неотрицательная сумма по конденсаторам и катушкам индуктивности.

По начальным условиям 1Е(/0) = 0 . Если мы проинте­ грируем (4-4) в пределах от U до t, найдем, что сумма

двух неотрицательных членов равна нулю. Это может произойти, лишь когда оба члена равны нулю; поэтому все Д«а и Д{а исчезают1. Таким образом, оба решения

идентичны, и, следовательно, решение однозначно. Д о­ казательство этой теоремы однозначности посредством теоремы Телледжена было дано Бозе и Стевенсом (1965 г.) для линейных цепей RLC и Дезо и Кацнельсо-

ном (1965 г.) для цепей с нелинейными активными со­ противлениями [Л. 14, 37].

4-2. ТЕОРЕМА НЕВОЗМОЖНОСТИ ДАФФИНА

Даффин показал несколько общих условий, при ко­ торых электрическая цепь не в состоянии преобразовать энергию постоянного тока в энергию переменного тока. Он дал определение «первичного» резистору, присоеди­ ненному к источнику постоянного тока так, что не бло­ кируется постоянный ток (цепь без последовательно включенных конденсаторов или параллельных катушек индуктивности). Говорят, что резистор квазилинейный, если его напряжение и ток монотонно связаны однознач­ ной зависимостью с du/di^O. Тогда теорема констатиру­

ет, что изотермическая электромеханическая система, первичные резисторы которой являются квазилинейны­

1 Мы пренебрегли такими патологическими случаями, как не­ определенное значение тока, протекающего в двух короткозамкну­ тых цепях, соединенных параллельно. Конечно, такие случаи отнюдь не вносят вклада ни в Р, ни в W.

44

4-3. ТЕОРЕМА ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА ХЕВИСАЙДА

Теорему о питании электроэнергией нелинейной цепи во время переходного режима первоначально сфор­ мулировал и доказал Хевисайд {Л. 68—70] для линейно­ го случая, позже это же доказал Лоренц [Л. 92, 94], а Дюинкер [Л. 54] распространил доказательство на не­ линейный случай. Рассматриваем цепь с резисторами, конденсаторами и катушками индуктивности, часть из которых или все они могут быть отрицательными. Пола­ гаем, что к их входам подведено постоянное напряжение в течение времени от / 1 до t2 и что к моменту t2 цепь

находится в установившемся режиме, так что все токи и напряжения постоянны *. В частности, в момент времени tz все токи конденсаторов и напряжения на катушках индуктивности равны нулю. Режим цепи до момента 11

не принимается во внимание, за исключением зарядов конденсаторов и потокосцеплений катушек индуктивно­ сти в момент tu появляющихся в окончательном резуль­

тате.

Если до момента ti цепь находилась в состоянии по­

коя (этот случай трактуется Хевисайдом, Лоренцем и Дюинкером), то заряды конденсаторов и потокосцепления катушек индуктивности в момент времени t\ будут

равны нулю. Ввиду того, что напряжение на каждом входе в течение времени между ti и t2 будет постоянным,

в установившемся режиме. Если мы просуммируем эт<? уравнение по всем входам, можно применить к правой части уравнение (2-22), т. е. разностную форму теоремы Телледжена, приняв операторы А' для момента времени t и А" для момента времени U, найдем:

2р [ір (f) Up (t) ip (t„) Up (i2)]==:

1 Авторы, таким образом, приближенно принимают,, что рас­ сматриваемый отрезок времени от /, до tz достаточно продолжи­ тельный. (Прим, ред.)

45

Сумма по ветвям может быть разбита на суммы для резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. Сумма по резисторам будет:

В ряде важных случаев эта сумма стремится к нулю. Во-первых, все члены, принадлежащие линейным рези­ сторам, автоматически равны нулю. Во-вторых, для лю­ бого резистора, соединенного последовательно с емко­

стью, іа (І2) ~ 0, потому что ток конденсатора к момен­

ту t2 исчезает. Если вольт-амперная характеристика ре­

зистора проходит через начало координат, как это обыч­ но бывает, тогда иа ((2) тоже исчезает; вклад от таких

резисторов в (4-7) равен нулю. Аналогичную картину имеем для случаев параллельного соединения резисторов с катушками индуктивности. Эти резисторы также не вносят вклада в (4-7), даже если они нелинейные и их сопротивления зависят от времени.

или иному входу), имеют ua (t) = ua(t2)\ отсюда (на осно­

сят вклада в (4-7). Это справедливо, даже если эти ре­ зисторы нелинейные (хотя их сопротивления не могут быть зависимыми от времени). Таким образом, мы при­ нимаем, что все резисторы соединены или последователь­ но с конденсатором, или параллельно с катушкой индук­ тивности, а также что их сопротивления не зависят от времени или они линейные или подключены параллельно

46

где Ха есть потокосцепление а-й катушки индуктивности.

Выражения (4-9) и (4-10) имеют силу для независя­ щих от времени линейных или нелинейных конденсато­ ров и катушек индуктивности даже при наличии взаим­ ной емкости и взаимной индуктивности. Интеграл левой части уравнения (4-6) в промежутке времени от А до t2

может быть объяснен как разность фактической энергии А, поступающей в цепь в этот промежуток времени, и энергии W, поступающей в цепь в такой же промежуток

времени в установившемся режиме. Таким образом,

l a{tt) исчезают и мы будем иметь:

где последние четыре члена выражают величины энер- . гии и коэнергии в конечном состоянии*.

Уравнения (4-11) и (4-12) являются желаемой теоре­ мой.

4-4. НЕЛИНЕЙНАЯ МОЩНОСТЬ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ

Нелинейный резистор является двухзажимным эле­ ментом с напряжением и и током і, связанными кривой

в координатной системе вольт—-ампер, как это показано на рис. 4-1 и 4-2 (класс нелинейных резисторов содер­ жит в себе линейные резисторы как"специальные слу­ чаи). Обычно эта кривая проходит через начало коорди­ нат; однако иногда полезно рассматривать источники на­ пряжения или тока как специальные случаи нелинейных1

1 Определение коэнергии дано в § 4-8 и 4-9.

47

резисторов; тогда кривая не проходит через начало ко­ ординат. Говорят, что сопротивление нелинейного рези­ стора положительно, если для любых двух точек 1 и 2

на кривой

положительно, а на рис. 4-2 положительно. Эти опреде­ ления могут быть распространены на многозажимные ре­

L

и

может быть использована для показа того, что цепь, со­ стоящая из положительных сопротивлений, сама поло­ жительна.

Миллар [Л. 109] дал определение понятия нелинейной мощности G(i) и дополнительной мощности J (и) нели­

в действительных числах. Обычно они принимаются как1

48

Точка i = 0 для нелинейной мощности и 11 = 0 для Допол­

нительной мощности. В большинстве случаев нелинейная мощность и дополнительная мощность имеют геометри­ ческую интерпретацию (рис. 4-3). Эти определения могут распространяться на многозажимные резисторы при условии, что конститутивные зависимости являются «ме­ стносимметричными», в том смысле, что

Функции находятся просто путем суммирования по парам зажимов в определениях (4-14) и (4-15). Условие местной симметрии (4-16) необходимо и достаточно для того, чтобы G и / зависели только от конечных точек,

ане от пути интегрирования,

азначит, и для того, чтобы G к J стали функциями со­

стояния.

Условие местной симмет­ рии очень сходно с условием

обратимости в линейных це­ пях. В действительности эк­ вивалентная линеаризован­ ная цепь с малыми возмуще­ ниями относительно некото­ рой точки смещения обрати­

ма, -если первоначальная нелинейная цепь местносиммет- Р'ична. В § 5-5 мы докажем при помощи теоремы Теллед­ жена, что цепь, состоящая из обратимых элементов, сама обратима. Подобным же образом при помощи теоремы Телледжена можно показать, что цепь, состоящая из ме­ стносимметричных нелинейных резисторов, сама тоже местносимметрична.

На основании последнего результата можно опреде­ лить для цепей с местносимметричными резисторами не­ линейную мощность и дополнительную мощность через напряжения и токи на входах и их соотношения. С по­ мощью теоремы Телледжена можно показать, что нели­ нейная мощность цепи, как она была определена выше, равна сумме нелинейных мощностей всех элементов цепи. Если А" — оператор тождественности, а А' обозначает

малые изменения тока, то теорема Телледжена (2-20) выразится так: