книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕПЯМ

Теорема Телледжеиа была получена без принятия во внимание разновидностей включенных в цепь элемен­ тов. Обычно эта теорема применяется к цепи определен­ ного вида, например к цепи с нелинейным активным сопротивлением или к линейной цепи RLC. В этой главе

из теоремы Телледжеиа выводится несколько общих тео­ рем, которые применимы ко всем видам цепей.

3-1. ТЕОРЕМА МГНОВЕННОЙ МОЩНОСТИ

Если Л' и А" являются операторами тождественно­

сти, то теорема Телледжеиа [уравнение (2-20)] приво­ дится к виду

Сумма в левой части уравнения относится к входам; каждый член ее является мгновенной мощностью, по­ ступающей в цепь. Сумма в правой части относится к ветвям, и каждый член ее является мгновенной мощ­ ностью, поставляемой элементу ветви а.

Уравнение показывает, что в каждый момент време­ ни мощность, поглощаемая цепью на ее входах, полно­ стью распределяется между элементами цепи. Этот ре­ зультат хотя и не тривиален, но настолько общепринят, что никто из читателей не будет им удивлен.

Некоторые виды элементов цепи (например, пассив­ ные, без потерь или неэнергетичные) могут быть охарак­ теризованы в соответствии с их способностью поглощать энергию. Уравнение (3-1) может быть использовано для показа того, что цепи, состоящие из элементов опреде­ ленного класса, сами относятся к тому же классу, на­ пример цепи из пассивных элементов являются сами по себе пассивными.

3-2. ТЕОРЕМА МОЩНОСТИ МАЛОГО СИГНАЛА

Часто случается, что цепь подвергнута смещению

рах), поляризация, «преобладание» (в регулировке электромагнит­ ного механизма) и т. и. (Прим, ред.)

30

ких случаях внимание фокусируется на возмущениях из этого «невозмущенного» состояния. Это состояние может быть постоянным или зависимым от времени. Возникает вопрос, подчиняются ли возмущения какой-либо теореме сохранения энергии. Теорема Телледжена частично обес­ печивает ответ.

Предположим, что токи и напряжения на входах и в элементах разложены на невозмущеиные части и воз­ мущения:

(3-2)

Выражение для напряжений аналогично. Если А' и А." используются для выбора невозмущенной части или

возмущений, то теорема Телледжена (2-20) сводится к четырем отдельным теоремам:

(3-3)

(3-4)

(3-5)

(3-6)

Первая из них может быть объяснена как соотноше­ ние сохранения энергии для иевозмущениого состояния. Четвертая есть зависимость, включающая только возму­ щения. Она формулирует, что некоторый своеобразный вид «мощности» распределен по элементам цепи. Эта «мощность малого сигнала» может быть часто объяснена физически, например, в обычной ситуации, когда воз­ мущения отличаются по частоте от невозмущенных на­ пряжений и токов. Объяснения второй и третьей теорем менее просты, однако они помогают показать механизм взаимодействия между ударным возбуждением и пере­ менными малого сигнала.

Они приводятся здесь как указание на тот факт, что теорема Телледжена часто приводит к результатам, кото­ рые хотя и правильны, но трудно объяснимы.

Элементы цепи могут быть классифицированы со­ гласно их способностям принимать или генерировать мощность малого сигнала. Так, элементы, которые могут генерировать мощность малого сигнала для малых из­ менений около точки равновесия при постоянном токе, называются «местиоактивными»; примерами служат тун-

31

кельный диод и транзистор. Элементы, которые могут генерировать мощность малого сигнала для малых воз­ мущений около зависимого от времени невозмущенного состояния, могут быть названы.«параметрически актив­ ными»; примером может служить нелинейный конден­ сатор. В таком случае (3-6) может быть применено, что­ бы показать, например, что усиление возмущений не­ возможно при независящем от времени невозмущенном состоянии, если по крайней мере один элемент в цепи не является местноактивным.

Обычно расчеты свойств малого сигнала элементов ограничены возмущениями первого порядка, а компонен­ тами высшего порядка пренебрегают. В других случаях, однако, необходимо выделить часть возмущения первого порядка, часть второго порядка, часть третьего порядка и т. д. Теорема Телледжена может быть применена для доказательства большого количества результатов, подоб­ ных (3-3) — (3-6), но с величинами нулевого и первого порядка, замененными величинами нулевого, первого, второго, третьего порядка и т. д. Производим дальней­ шее обобщение. Допустим, что каждый из операторов Кирхгофа в теореме Телледжена состоит последователь­ но из двух операторов Кирхгофа, один из которых из­ бирает порядок отклика, а другой остается произволь­ ным. Таким образом, обобщенная форма (3-6) будет иметь вид:

Обобщения трех других теорем аналогичны. Уравне­ ние (3-7) может привести к многочисленным другим тео­ ремам точно таким же путем, как это получается из теоремы Телледжена. (2-20).

3-3. ТЕОРЕМА МОЩНОСТИ ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО ТОКОВ

Взятие среднего по времени напряжения или тока— линейная операция, так же как и взятие остатка пере­ менной после того, как вычислена средняя по времени. Это дает части переменной, относящиеся соответственно как бы к режиму постоянного тока (de) и к переменно­ му по времени режиму (ас):

32

Если эти операторы отождествить с Л' и Л", то тео­ рема Телледжена (2-20) приводит нас к зависимостям:

Первое уравнение может быть объяснено как теоре­ ма мощности постоянного тока, а последнее уравнение есть теорема мощности переменного тока. Два средних уравнения — более неясного смысла, но они показывают взаимодействие между источниками и стоками перемен­ ного и постоянного токов.

3-4. ТЕОРЕМЫ ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Обычно временная область более применима для нелинейных цепей, чем частотная область. Однако не об­ ращая внимания на то, является ли цепь линейной или нелинейной, можно применять преобразования Фурье для переменных, например:

—00

Если какая-нибудь из переменных периодична или имеет периодическую часть, то частотные переменные имеют импульсы на определенных частотах.

Операция применения преобразований Фурье линей­ на, даже если она и применяется здесь для переменных в цепях, которые могут быть нелинейными. Если обозна­ чим через А" преобразование Фурье, а через Л' — его

Этот результат может быть рассмотрен как закон сохранения активной и реактивной мощностей; при этом активная мощность является активной составляющей

I*U, а реактивная мощность есть мнимая составляю­

щая 1. Возможно, что более интересным случаем будет тот, в котором напряжения и токи являются суммами синусоид с частотами со,-:

Типичными примерами являются состояния с частота­ ми формы псоо или формы /гсоі + нсйоЕсли А" избирает составляющую со,-, а А' избирает ее сопряженный ком­

плекс, то теорема Телледжена (2-20) сводится к следу­ ющему уравнению:

(3-17)

Это есть выражение закона сохранения активной и реактивной мощности на каждой частоте.

Преобразователи частоты можно классифицировать в соответствии с тем, подчиняются они или нет какимлибо из различных ограничений между активной и ре­ активной мощностями при различных частотах. Типичны­ ми из таких «формул связи частот с мощностью» явля­ ются формулы Манли — Роу [Л. 50, 51, 54, 103, 123, 124],

ограничения преобразования активной мощности в нели­ нейных сопротивлениях (Пэйдж, 1956 г.; Пантелл, 1958 г.; Пенфилд, 1960 г.) [Л. 116, 117, 123], ограничения в от­ ношении реактивной мощности в нелинейных сопротив­ лениях (Манли и Роу, 1956 г.; Пенфилд, 1960 г.) [Л. 103, 123], ограничения в отношении реактивной мощности в нелинейных конденсаторах и катушках индуктивности (Пенфилд, 1960 г.) [Л. 123] и формулы Блэка для актив­ ной и реактивной мощностей в гармонических генерато­ рах с нелинейными конденсаторами [Л. 9]. Все ограниче­ ния имеют общую форму, такую, что взвешенная сумма по частотам

(3-18)

может быть либо нулем, либо неотрицательной, либо не­ положительной. Здесь Re означает вещественную часть, и gi является вещественной, мнимой или комплексной

функцией сог и ее связи с другими частотами.

1 Так как частотные переменные определяются посредством интегральных преобразований Фурье, а не из рядов Фурье, эта интерпретация не совсем прямая.

34

Из (3-17) можно вывести, что цепь, состоящая толы ко из устройств определенного типа, сама того же типа. Так, цепь из элементов, которые подчиняются формулам Манли и Р оу 1, сама подчиняется формулам Манли и Роу, если мощности при различных частотах рассчитаны на входах цепи. Эти результаты были приведены раньше Пенфилдом (1960 г.) [Л. 123].

3-5. ТЕОРЕМЫ О СТОХАСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Если напряжения и токи в цепи по своей природе стохастические, то тогда операция взятия средних значе­ ний (обозначенных здесь горизонтальной чертой) есть операция линейная. Если А' и А" берут средние значения

переменных12, то теорема Телледжепа (2-20) превра­ щается в соотношение

-jp/p Up— ix iia, (3-19)

которое выражает зависимость между средними значе­ ниями напряжения и тока.

До некоторой степени более полезный результат воз­ никает из допущения, что Л' выражает в числах пере­ менные в момент времени t+% и Л" — в момент времени t. Среднее значение предпочтительнее брать после при­

Это является зависимостью между перекрестными корреляциями напряжения и тока, измеренных на раз­ личных входах и ветвях.

3-6. ТЕОРЕМА РАМО

Рамо (1939 г.) вывел основную теорему, которая полезна при проектировании и анализах электронных устройств [Л. 129]. Эта теорема дает токи, индуктирован­ ные на электроде зарядами, движущимися поблизости. Индуктированный ток, характерный для одиночно заря-

1 Напомним, что линейные реактивные элементы подчиняются формулам Манли—Роу тривиальным образом.

2 Принято, что операция взятия средних—линейная. Это спра­ ведливо по крайней мере для эргодичных процессов.

где Е '— электрическое поле, которое существовало бы в месте нахождения частицы, если бы частица была уда­ лена, а данный электрод имел бы потенциал, равный 1 В, причем все другие электроды были бы с потенциа­ лом, равным нулю.

Аналогичная цепь может быть легко показана с по­ мощью теоремы Телледжена. Допустим, что мы знаем

распределение токов іа внутри цепи и хотим вычислить

входные токи ір. Пусть обозначенная штрихом операция относится к случаю, когда напряжение W приложено

к исследуемому входу, а все другие входы находятся под напряжениями, равными нулю. Теорема Телледжена (2-20) приводит к следующему выражению:

Испытательное напряжение V может быть любой ча­

стоты или амплитуды и может быть даже напряжением, которое существовало бы, если бы некоторые из элемен­ тов цепи были различными. В действительности распре­

деление напряжений U'a может быть любой системой

напряжений, которая подчиняется второму закону Кирх­ гофа и согласуется с нулевым напряжением на других входах, кроме исследуемого. Также возможна дуальная теорема для нахождения входных напряжений, возник­ ших при некотором заданном распределении напряжений ветвей.

3-7. ТЕОРЕМА ЧЕТЫРЕХ КОРЗИН ВОЛЭВЕРА

Волэвер (1970 г.) доказал замечательную теорему общего характера, которую применяют при нахождении основных границ действия преобразователей постоянного тока из одного вида в другой [Л. 170]. Эта теорема на­ звана теоремой «четырех корзин», потому что каждая из ветвей или входов 1 цепи причислена к одной из четы­ рех систем, а это значит, что каждая ветвь как бы «бро­ шена в одну из четырех корзин». Это назначение полно-

1 Прежде чем обратиться к теореме, заменим направление на. пряжения -(или тока) каждого входа на обратное из-за разных пра­ вил знаков для ветвей и входов, как это рассматривалось в § 2-1.

36

стыо произвольно, за исключением того, что ни одна ветвь в корзине 4 ие может иметь мощности, вытекаю­ щей из нее, это значит, что все ветви в корзине 4 имеют іа иа^ 0 . Другие корзины могут иметь или не иметь

какие-либо ветви, а эти ветви могут иметь или ие иметь

К «а > 0.

Теорема будет гласить:

полностью произвольно. Так, при разумных назначениях эту теорему можно применить для. получения разнооб­ разных основных ограничений. Теорема может быть до­ казана с помощью теоремы Телледжена.

Прибавим к цепи nt— 1 новых ветвей (где nt есть

число узлов цепи) в нижеследующем порядке. Располо­ жим узлы по порядку в зависимости от величины их по­ тенциалов, идя от низшего к наивысшему Ч Затем при­ бавляем новую ветвь между узлом с низким потенциа­ лом и узлом со следующим по величине потенциалом, затем новую ветвь между этим последним узлом и сле­ дующим узлом и т. д., пока не пройдем все узлы. Каж­ дая новая ветвь является разомкнутой, так что распре­ деление напряжений и токов в цепи не изменилось. Но­

вые ветви образуют дерево сети, и все иа могут быть

выражены через напряжения ветвей дерева при помощи второго закона Кирхгофа.

Теперь предположим, что каждая первоначальная ветвь предназначена для одной из четырех корзин при

одном условии, что у всех ветвей в корзине 4 іа ыа ^ 0.

Теперь представим себе предположительное распределе­ ние напряжений в цепи, построенное следующим обра­ зом.

Начнем с первоначального распределения напряже­ ний. Затем приведем к нулю сколько возможно напря-1

для цепей же с напряжениями, изменяющимися по времени, это делается для определенного момента времени.

37

жений ветвей дерева (дерево состоит нз новых ветвей) без изменения напряжения любой ветви в корзине 2. Это значит, что если в выражении напряжений ветвей через напряжения ветвей дерева (по второму закону Кирхго­ фа) какое-то из напряжений ветви дерева не появляется в любом из выражений для напряжений ветвей, находя­ щихся в корзине 2, то напряжение этой ветви дерева приведено к нулю. Теперь, когда напряжения ветвей де­ рева фиксированы, по второму закону Кирхгофа опре­ деляются напряжения всех других ветвей. Назовем ре­ зультирующее распределение напряжений и'а. Отметим

следующие факты.

Во-первых, для каждой ветви в корзине 2

жет быть больше, чем сумма всех напряжений ветвей дерева; в свою очередь эта сумма не больше, чем сум­ ма напряжений всех ветвей в корзине 2.

21и д . — суммирование соответственно по всем ветвям, вхо

ыЬ2

дящим в корзину 1, 2 и т. д.

38

Сумма по ветвям дерева равна 0, так как каждый /а= 0. Сумма для корзины 4 не отрицательна. Приме­

нив (3-24) — (3-27), получим желаемый результат — (3-23). Аналогичное доказательство сохранит силу, если вместо того, чтобы начать с фактических токов и напря­ жений, мы начали бы с любыми системами веществен­ ных токов и напряжений, которые подчиняются законам Кирхгофа.

В частности, можно начать с любого оператора Кирх­ гофа, действующего на токи и напряжения. Необходимо удовлетворить лишь одно требование, чтобы применяе­ мые токи и напряжения были вещественными (что позво­ ляет располагать узлы в порядке восходящего потенциа­ ла). Таким образом, теорема не имеет силы, например, для комплексных коэффициентов Фурье, хотя ее и мож­ но применить по отдельности к вещественной и мнимой частям. Необходимо обращать внимание на то, чтобы, когда оператор Кирхгофа вводит новый параметр, напри­ мер температуру или частоту, было обеспечено неравен­

средством теоремы Телледжена) теорему, дуальную вы­ ражению (3-23) [Л. 170]:

3-8. ТЕОРЕМА ТРЕХ КОРЗИН ВОЛЭВЕРА

Волэвер (1970 г.) доказал теорему, подобную тео­ реме четырех корзин, но используя только три системы, или «корзины», ветвей [Л. 170]. Приписывают ветви к трем корзинам в произвольном порядке, за исключе­ нием того, чтобы ни одна ветвь в корзине 3 не имела мощности, выходящей из нее; это значит, что для всех ветвей в корзине 3 іа и^^О .

Две другие корзины могут иметь или не иметь ветви,

39