книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

димости, чтобы Л действовал линейно на комплексные числа; действительно, в пределах нашего понимания тер­ мина сопряженный комплекс есть линейная операция.

Хотя линейные операторы находят частое использо­ вание в применении обобщенной формы теоремы Телледжена, следует подчеркнуть, что имеется много полезных операторов Кирхгофа, которые не являются линейными.

потому что действие А на независимые токи /р не было

определено. Тем не менее, если А является токовым оператором Кирхгофа, тогда комплект токов {Аг'а} под­

чиняется первому закону Кирхгофа и может быть запи­ сан как произведение матрицы В?а иа ее собственный

ряд независимых токов. Это значит, что формула, по­ добная (2-16), действительна при замене А/р некоторыми

соответствую щими величин ами.

Некоторые примеры операторов Кирхгофа, из числа которых многие являются линейными операторами, при­ водятся ниже, в приложении 1.

2-8. ОБЩАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Пусть А' и А" будут два (возможно разные) опе­

ратора Кирхгофа!. Если А' линейный оператор, тогда эффект действия его на уравнение (2-1) будет:

Если Л' не является линейным оператором, факт, что он — токовый оператор Кирхгофа, показывает, что ряд

токов {Л'іа} подчиняется первому закону Кирхгофа и,

следовательно,, подчиняется уравнению, подобному (2-18), но с A ’jр, замененными на соответствующие ве­ личины. Аналогично, если А" является .оператором на-

1 Здесь будем называть Л' и Л" операторами Кирхгофа, предо­ ставляя читателям установить, что Л' является токовым оператором Кирхтофа, однако ему не обязательно быть оператором напряже­ ния Кирхгофа; в отношении Л" — наоборот.

20

пряжений Кирхгофа, то А" иа подчиняется уравнению,

подобному (2-2):

Если Л" является линейным оператором, то (2-19) может быть найдено из (2-2). Точно таким же путем,

который ведет от (2-1) и (2-2) к (2-5) и от (2-6) и (2-7)

к (2-8), мы получим:

Это и является наиболее общей формулировкой тео­ ремы Телледжена, на которую мы будем ссылаться. Она имеет силу для любых операторов Кирхгофа А' и А", для любых конститутивных законов элементов, для лю­ бых типов питания и для любых начальных условий. Если А ' и А" принимаются как операторы тождествен­

ности, (2-20) приводится к (2-5). С другой стороны, если А' и А" избирают различные состояния цепи, (2-20)

сводится к теореме квазимощности, т. е. к (2-8). Некоторые читатели могут предпочесть один из вы­

водов теоремы квазимощности, приведенных в § 2-6. Каждый из этих выводов может быть обобщен с при­ менением операторов Кирхгофа для получения (2-20). Чтобы отличить (2-20) от двух других форм теоремы Телледжена, назовем уравнение (2-20) «сильной формой».

2-9. СЛАБЫЕ ФОРМЫ ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Переменим роли А ' и А" в (2-20) теоремы Теллед­

жена, тогда получим Ч-

Это уравнение мы будем называть «разностной фор­ мой» теоремы Телледжена. Оно может быть выведено из сильной формы, но обратное невозможно.

Сумма (2-20) и (2-21) приводит нас к иногда приме­ няющемуся другому виду теоремы Телледжена:

Ер (А'іѵА "ир + А " іѵА'иѵ) = £ а (А'іа А!'иа + А "іа А'иа).

(2-23)1

1 Предполагается, что операторы Л' и А" одновременно являют­ ся токовыми операторами и операторами напряжений Кирхгофа. В частности, пригодны линейные операторы.

21

Это уравнение будем называть «суммовой формой» теоремы Телледжена. Две слабые формы теоремы полез­ ны по двум причинам. Во-первых, они используются во многих применениях теоремы Телледжена, и было бы неудобным обращаться дважды к сильной форме. Вто­ рая причина — слабые формы особенно хорошо подхо­ дят при волновых переменных.

2-10. ИДЕАЛЬНЫЕ ТРАНСФОРМАТОРЫ

Не обсуждая конститутивные законы элементов в целом, можно сделать исключение в части трехполюс­ ного рис. 2-9 или четырехполюсного рис. 2-10 идеальных

— о —

трансформаторов, для которых конститутивные законы выражаются так:

где N есть вещественная постоянная — коэффициент

трансформации.

Из определения видно, что для любых операторов Кирхгофа Л' и Л"1

Л/г1Л//Ці+А/г2Л/,«2=0. (2-26)

Следовательно, всякий раз при применении теоремы Телледжена (в любой из ее форм) к цепи, в которой1

1 Допускается, что операторы Кирхгофа определяют «напряже­

к другим операторам Кирхгофа.

П

Имеются идеальные трансформаторы, часть суммы, Име­ ющая отношение к ветвям трансформатора, автомати­ чески ставится нулем и потому может быть исключена. Это же самое правило относится и к многозажимным идеальным трансформаторам, но не к трансформаторам с комплексным или зависящим от времени коэффициен­ том трансформации. Насколько известно авторам, други­ ми элементами, действие которых в теореме Телледжена всегда равно нулю для всех операторов Кирхгофа, являются лишь короткозамкнутые ветви (ы =0) и разо­ мкнутые ветви (і— 0).

Идеальный трансформатор обладает свойством неэнергетичности в том смысле, что мгновенная мощность в нем всегда равна нулю. Тем ие менее имеется и дру­ гое свойство, что он ничего не вносит в теорему Телледжена в отличие от многих других неэнергетичных эле­ ментов, как-то гираторов, идеальных диодов, конъюнкторов (Дюинкер, 1962 г. [Л. 55]) и традиторов (Дюинкер, 1959 г. [Л. 52]).

Если ясно не сформулировано противоположное, все теоремы в этой книге остаются в силе, когда в цепи име­ ются идеальные трансформаторы.

2-11. ФОРМА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА ДЛЯ ДВУХ ЦЕПЕЙ

Теорема Телледжена была выведена для одиночной цепи и для операторов Кирхгофа, действующих на на­ пряжение и ток в этой цепы. Если возьмем две цепи с идентичной топологией, то доказательство теоремы не изменится, если рассматривать токи одной цепи, а на­ пряжения— другой. Обе цепи должны, конечно, иметь одинаковую индексацию ветвей и входов. Как пример двух цепей с одинаковыми топологиями см. рис. 2-6 и 2-7.

Теорема Телледжена для двух цепей может быть рас­ смотрена как специальный случай уравнений (2-20) при условии свободной интерпретации операторов Кирхгофа, позволяющей им, в частности, как выбирать цепь, так и выполнять другие операции. Теорема Телледжена для случая двух цепей была доказана и применена Бордеви-

ком (1956 г.) [Л. 13].

Одно из возможных применений теоремы Телледжена для двух цепей относится к симметричным цепям. Пред­ положим, что цепь симметрична в том смысле, что ее

23

•гополбгпя остается инвариантной в группе преобразова­ ний (нет, однако, необходимости, чтобы система токов и напряжений, конститутивные законы, питание или на­ чальные условия были бы инвариантными). В таком слу­ чае система токов или напряжений в теореме Телледжена или обе системы вместе могут быть отнесены к цепи после одного или более преобразований этой группы. Не­ известно, насколько теорема Телледжена может быть по­ лезна в этом отношении.

2-12. ДУАЛЬНАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Рассмотрим вторую цепь, которая является дуаль­ ной к первоначальной цепи. Дадим входам и ветвям двух цепей индексы, согласующиеся с дуальностью. Тогда второй закон Кирхгофа для первоначальной цепи иден­ тичен по форме с первым законом Кирхгофа для второй цепи. Можно поэтому установить ряд зависимостей меж­ ду токами двух цепей, аналогичных теореме Телледжена:

(2-27)

где іа — токи второй цепи.

Насколько известно авторам данной книги, такая форма теоремы Телледжена никогда еще не применя­ лась.

2-13. ВОЛНОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Приведенные здесь определения сделаны по образцу определений Карлина (1956 г.) [Л. 22]. Рассмотрим ка­ кую-либо ветвь цепи с напряжением иа и током іл (ана­

логичные аргументы относятся и к входам). Используя любую вещественную положительную величину Z" с размерностью сопротивления и известную как нормали­ зованное полное сопротивление, определим входящую вол­ ну аа и исходящую волну Ьа следующим образом:

(2-28)

(2-29)

2 ] / Z "

24

Эти волны являются функциями времени, хотя, ко­ нечно, применив к ним преобразования Фурье, можно определить функции в частотной области. Ток и напря­ жение могут быть найдены как функций волновых пере­ менных:

Мощность в элементе данной ветви будет:

Волновые переменные имеют размерность квадрат­ ного корня из мощности. Волновые переменные могут быть определены в каждой ветви и в каждом входе; нет необходимости иметь все нормализованные полные со­

противления Z" равными; зсе они вообще могут быть

разными. Часто отдается предпочтение применению ком­ плексного, а не вещественного нормализованного полно­ го сопротивления. Это описывается в приложении 2.

2-14. ТЕОРЕМА ТЕЛЛЕДЖЕНА, ВЫРАЖЕННАЯ В ВОЛНОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Теорема Телледжена может быть выражена в вол­ новых переменных. В этом случае (2-20) превращается в зависимость

здесь принято, что операторы Л' и А" не влияют на нор­ мализованные полные сопротивления й

Эта форма теоремы Телледжена в некоторой степени усложнена, хотя ее и легко доказать путем подстановки

(2-30) и (2-31) в (2-20).1

1 Оба эти оператора должны быть как операторами напряжений Кирхгофа, так и операторами токов Кирхгофа.

25

Можно написать две менее сложные формы уравне­ ний. Первая форма получается из разностной формы тео­ ремы Телледжена, распространенной на волновые пере­ менные:

2р (А 'ірА "ир — A'HpA'üp) = 2LP (A'apA"bp — A "apA'bv) =

Эти формы могут быть выведены либо с помощью (2-33) и другого подобного же уравнения, в котором А' и А" переменены местами, либо посредством подстанов­

ки (2-30) и (2-31) в (2-22) и (2-23). Заметим, что вол­ новые переменные появляются в (2-34) так же, как на­ пряжение и ток, благодаря чему многие результаты, по­ лучаемые для матриц полного сопротивления, имеют си­ лу для матриц рассеивания. Обратим также внимание на то, что действие на входах в (2-33) и (2-35) может оце­ ниваться либо посредством токов и напряжений, либо посредством волновых переменных. Такого же рода дей­ ствие будет и в ветвях. Для примера можно приравнять второе и третье выражения в (2-34) так, что сумма чле­ нов, содержащих волновые переменные на входах, будет равна сумме членов с токами и напряжениями в ветвях. Такая гибкость полезна в применениях теоремы Теллед­ жена.

В более широком смысле можно сказать, что дейст­ вие от каждого входа или каждой ветви может быть написано или в форме ток — напряжение или в форме волновых переменных. Таким образом, мы можем исполь­ зовать токи напряжение на одном входе и волновые пе­ ременные на другом. Это допускается непосредственным обобщением уравнений (2-33) — (2-35); действие каждого входа или каждой ветви имеет или указанную форму ток — напряжение или же указанную форму волновых переменных (но не обе).

26

І-15. ВЕКТОРНО-ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Пожалуй, маилучшим изложением теоремы Телледжена является формулировка в функциях ортогонально­ сти подпространств векторного пространства. По суще­

самого в себя (Г). Тогда из теоремы Телледжена имеем, что У и Г являются ортогональными подпространствами векторного пространства 6-го измерения, т. е. любой век­ тор комплекта У ортогонален любому вектору комплек­ та Г.

В качестве примера этой формулировки рассмотрим тривиальную цепь на рис. 2-11. Выбранная цепь имеет только две ветви, так что векторное пространство 6-го

27

измерения может быть легко изображено. Второй закон Кирхгофа Ыі= м2 ограничивает подчиняющиеся ему век­ торы расположением вдоль линии, помеченной знаком b на рис. 2-12. Аналогично линия, помеченная у, есть ком­

плект всех векторов, которые подчиняются первому за­ кону Кирхгофа ti + /2=0. Очевидно, что оба подпрост­ ранства b и у ортогональны и, значит, iiUi + huz— Q.

2-16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАКОНОВ КИРХГОФА

СПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Вданной главе теорема Телледжена доказывает­ ся при помощи законов Кирхгофа. Возникает вопрос, нужны ли законы Кирхгофа для того, чтобы теорема

Телледжена имела силу? В этом параграфе будет пока­ зано, что второй закон Кирхгофа вместе с теоремой Тел­ леджена заключают в себе первый закон Кирхгофа и что первый закон Кирхгофа вместе с теоремой Телледжена заключают в себе второй закон Кирхгофа. Более точно покажем, что любая система токов, для которой

для всех распределений напряжения, согласующихся со вторым законом Кирхгофа, автоматически удовлетворяет первому закону Кирхгофа. Доказать это не трудно.

Возьмем разрез цепи (к примеру, узел в ней), в кото­ ром суммарный ток не равен нулю; это значит, система токов не подчиняется первому закону Кирхгофа. Одним из распределений напряжения, согласующихся со вторым законом Кирхгофа, является то, в котором при потенциа­ ле всех узлов по одну сторону разреза, равном нулю, потенциал всех узлов по другую сторону равен единице. Тогда взятая в отдельности ветвь имеет напряжение, не равное нулю, только в том случае, если она разрывается при разрезе цепи, а следовательно, (2-36) сводится к утверждению, что суммарный ток разреза равен нулю. Это противоречие и доказывает теорему.

Доказательство дуальной теоремы подобно приведен­ ному. Покажем, что любая система напряжений, при ко­ торой (2-36) сохраняет силу для всех распределений то­ ка, которые подчиняются первому закону Кирхгофа, авто­ матически удовлетворяет второму закону Кирхгофа. До-

28

казательство не сложно. Возьмем в цепи контур, для которого сумма напряжении в ветвях не равна нулю. Рассмотрим распределение токов, состоящее из тока, равного 1 А, циркулирующего в этом контуре; других токов в цепи нет. Это распределение подчиняется перво­ му закону Кирхгофа; тогда (2-36) приводит к формули­ ровке, что сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю. Противоречие обосновывает теорему.

Мы показали, что распределение тока ортогонально ко всем распределениям напряжения, которые удовлет­ воряют второму закону Кирхгофа только при условии, если оно само удовлетворяет первому закону Кирхгофа, и наоборот. Однако не было показано (и это не всегда правильно), что система токов должна удовлетворять первому закону Кирхгофа просто потому, что она орто­ гональна некоторым распределениям напряжений, кото­ рые подчиняются второму закону Кирхгофа.

2-17. СВОДКА

В этой главе было доказано несколько форм теоре­ мы Телледжена, перечисленных в табл. 2-2. Все эти фор­ мы записаны в функциях операторов Кирхгофа.

Было показано, как обобщить эти шесть форм теоре­ мы для случая двух цепей, топология которых или иден­ тична, или дуальна. Распространение на конститутивные зависимости в неопределенной форме будет рассмотрено в приложении 3.

Главы 3—7 включительно посвящены показу полез­ ных результатов применения теоремы Телледжена в спе­ цифических случаях.

29