книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

мй, iio для многозажимных элементов оно не является соответствием «одни к одному».

Правило знаков для напряжения и тока каждой вет­ ви взято так, что произведение напряжения и тока равно

правление для тока в элементе ветви, напряжение на за­ жимах которого положительно.

Вход цепи состоит из пары зажимов, выведенных на­ ружу, к которым могут быть приложены напряжение и ток. Правило знаков для напряжения и тока на входе показано на рис. 2-3.

Для обозначения внутренних ветвей цепи будем при­ менять греческие буквы, а для обозначения входов ■— латинские (рис. 2-4). Для тока и напряжения будем

использовать строчные буквы і и и, чтоб обозначить пе­

ременные во временной области; для обозначения частот­ ных переменных применим прописные буквы / и U.

10

2-2. ЗАКОНЫ КИРХГОФА

Рассмотрим цепь без входов, имеющую b ветвей, nt

узлов и s отдельных частей. Первый закон Кирхгофа устанавливает для токов nt—5 ограничений, так что толь­ ко b— iii + s токов могут быть заданы независимо, после

чего все оставшиеся токи ветвей могут быть найдены из линейных зависимостей вида

где /р — независимые токи в количестве b — щ -\- s\ В ^а—

или указателя связок в цепи1.

Второй закон Кирхгофа может быть выражен в функ­ ции от . Для каждого произвольно выбранного тока

существует один замкнутый путь в пределах остальной части цепи, не включающий другой из независимых то­ ков. Таким образом, имеются b—iii + s таких контуров,

для каждого из которых может быть написан второй за­ кон Кирхгофа. В результате

Данная форма законов Кирхгофа удобна для доказа­ тельства теоремы Телледжена. Так как конститутивные законы элементов не были использованы, то цепь можА содержать в себе многозажимные элементы. Можно на­ писать законы Кирхгофа и для цепей с входами в форме (2-1) и (2-2) при условии, что каждый вход временно рассматривается как ветвь, и приняв в расчет, что услов­ ное направление тока входа противоположно направле­ нию тока ветви (сравните рис. 2-2 и 2-3).

2-3. ТЕОРЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ

Из (2-1) и (2-2) можно вывести простую теорему мощности. Приводится она здесь потому, что ее вывод сходен с выводом теоремы Телледжена. Умножим (2-1)

иа , тогда получим:

1 Читатели, которые недостаточно хорошо знакомы с этими вы­ ражениями законов Кирхгофа, могут справиться в стандартных учебниках, таких, как Гиллемина (1953 г.), Сешу и Балабаниана

(1959 г.) [Д, 63, ИЗ].

11

Если просуммировать такие выражения для всех вет­ вей а, то по уравнению (2-2) правая сторона исчезнет и получится:

а. Таким образом, (2-4) констатирует, что сумма мгно­

венных мощностей во всех элементах равна нулю, — ре­ зультат, согласующийся с принципом сохранения энер­ гии. Приведенное здесь доказательство имеет силу неза­ висимо от природы элементов или питания цепи.

Если цепь будет иметь входы, подобный вывод при­ водит к следующему выражению:

(2-5)

Следовательно, в каждый момент времени мощность, которая вводится в цепь через ее входы, распределяется среди элементов цепи без потерь.

2-4. ТЕОРЕМА КВАЗИМОЩНОСТИ

Обобщение (2-5) может быть выполнено для цепей

•в двух состояниях. Под разными состояниями цепи име­ ются в виду токи и напряжения, соответствующие раз­ ным условиям питания, разным по составу элементам или разным величинам элементов или же разным началь­ ным условиям, но при одной и той же топологии. Под двумя состояниями цепи могут подразумеваться действу­ ющие состояния двух разных цепей, которые имеют оди­ наковую топологию. Законы Кирхгофа применимы к каждому состоянию. Таким образом, (2-1) и (2-2) по­ кажут, что

( 2-6)

(2-7)

где один штрих и два штриха относятся к двум состоя­ ниям.

Тот же прием, который привел (2-1) и (2-2) к (2-5), теперь приводит (2-6) и (2-7) к

( 2- 8)

12

Обратим внимание, что токи і'ѵ и і'аподчиняются пер­

вому закону Кирхгофа, но не обязательно соответствуют любой системе действующих токов в сети, потому что соответствующие напряжения могут не подчиняться вто­ рому закону Кирхгофа *. Аналогично напряжения и"р и иа подчиняются второму закону Кирхгофа, но в общем

случае не соответствуют какой-либо системе токов, кото­ рые подчиняются первому закону Кирхгофа. Таким об­ разом, теорема Телледжена рассматривает токи и напря­ жения, которые не обязательно существуют в цепи, по крайней мере в одно и то же время. Такие произведения, как і'ри"р, не являются мощностью и называются квази-

мощиостыо.

Теорема квазимощности [уравнение (2-8)] является формой, первоначально данной Телледженом (1952— 1953 гг.) и известной с тех пор под его именем. Она мо­ жет быть использована для вывода многих теорем тео­ рии цепей. Она является специальным случаем более об­ щей формы, приведенной ниже (2-20).

2-5. ПРИМЕР

Теорема квазимощности [уравнение (2-8)] примеча­ тельна тем, что оба состояния цепи не должны быть обя­ зательно связаны друг с другом. Рассмотрим дляприме-

Рис. 2-5. К теореме о квазимощности. Типовая цепь с четырь­ мя внутренними ветвями и двумя входами.

с — схема цепи с неспецифнрованными элементами и пронумерованны­ ми ветвями и входами; б —топология этой сети с пронумерованными ветвями и входами.

ра цепь на рис. 2-5. Эта цепь имеет два входа и четыре внутренние ветви. Два возможных состояния этой цепи показаны на рис. 2-6 и 2-7. Оба состояния имеют разные1

1 По этой причине они могут пониматься как ^виртуальные токи» и аналогично и"Р и и"а — как виртуальные напряжения.

13

состояния 1 на соответствующие токи состояния 2, мы найдем, что сумма произведений на входах 1 и 2 будет

равна сумме произведений в ветвях. Действительно, из табл. 2-1 видно, что каждая нз них равна 5,5 Вт. Эта квазимощность в 5,5 Вт не может быть истолкована как действительная мощность или как мощность рассеяния, тем не менее она подчиняется теореме консервации по (2-8). Подобным же путем мы можем умножить токи состояния 1 на напряжения состояния 2. Суммы на вхо­

дах и на ветвях составят по 100 Вт.

Доказать теорему квазимощности для данной спе­ цифической топологии легко. Первый закон Кирхгофа

а второй закон Кирхгофа заключает в себе условие, что для любого состояния (здесь обозначенного двумя штри­ хами)

не относятся обязательно к одному и тому же состоянию цепи. Действительно, они не нуждаются в каких-либо других соотношениях, кроме факта, что каждый подчи­ няется соответствующему закону Кирхгофа для цепи той же топологии. Запись теоремы квазимощности [уравне­ ние (2-8)] для этой топологии получается в виде

i'piu"pi+ i'ргЧ-"рг= + і'зіі"з+ іДмД. (2-13)

Легко подтвердить, что (2-9) — (2-12) включают в себя (2-ІЗ) без каких-либо суждений о конститутивных зако­ нах элементов. Просто (2-9) умножается на и"рі, а (2-10) на и"рг, и результаты складываются. Затем

используются для упрощения (2-11) и (2-12).

2-6. ДРУГИЕ ВЫВОДЫ ТЕОРЕМЫ КВАЗИМОЩНОСТИ

Полезно рассмотреть более чем один вывод приве­ денного результата; многие могут предпочесть приведен­ ные ниже два вывода теоремы квазимощности, потому что они менее математичны и более интуитивны.

15

Для первого вывода рассматриваем одну систему то“ ков і'я и другую систему напряжений ия цепи без вхо­

дов. Не требуется их соответствия одному и тому же режиму питания цепи, и нет необходимости в какой-либо связи между ними, за исключением того, чтобы каждая подчинялась закону Кирхгофа для цепи одной и той же топологии. Выберем какой-либо узел цепи как базис­

ный 1 и найдем потенциалы е"7 всех других узлов отно­ сительно базисного. Здесь у есть индекс для щ узлов

сети. Эти потенциалы могут быть найдены однозначно, если и только если первоначальная система напряжений ветвей ы"аподчиняется второму закону Кирхгофа. Затем

для каждого узла у определяем, какие из ветвей к нему присоединены, и составляем сумму всех токов і ' а, про­

текающих в этих ветвях (в сумме проставляется знак плюс для тех токов, принятое положительное направле­ ние которых от узла у, и знак минус для тех, у которых

принято направление к узлу). Эта сумма представляет полный ток, вытекающий из узла, и в соответствии с пер­ вым законом Кирхгофа равна нулю. Теперь умножим эту

сумму на потенциал узла е" н прибавим к ней подоб­

ные произведения для всех других узлов цепи; обозна­ чим этот результат через 5.

В сумме 5 каждая ветвь представлена дважды, по одному разу для каждого из узлов, между которыми ветвь расположена. В одном из случаев ток ветви по­ является со знаком плюс, в другом — со знаком минус. Два выражения комбинируются, чтобы дать ток ветви, умноженный на разность потенциалов двух узлов, т. е. на напряжение ветви.

Таким образом, мы находим: S = £ * iaUaНо S по сво­ ему строению есть сумма членов, каждый из которых равен нулю; следовательно, 5 = 0, и мы доказали теорему квазимощности. Таким же путем проводится доказатель­ ство для цепей с входами.

1 Если цепь имеет более чем одну отдельную часть, выбор про изводится по одному базисному узлу для каждой части.

16

Повременно. В самом деле, это доказательство сохранит силу, если вместо потенциалов е мы будем приписывать

узлам какие-либо другие количества, например ежегод­ ное количество осадков в различных частях света или цены на фондовой бирже.

напряжения в каждую ветвь дерева с напряжением, рав­ ным и"в; это значит, что мы сделаем напряжения вет­

вей дерева в N' равными соответствующим напряжени­ ям в состоянии, обозначенном двумя штрихами в сети N.

Эти источники напряжения посредством второго закона Кирхгофа определяют напряжения между зажимами всех

Теперь подобным же образом поместим источник тока в каждую оставшуюся ветвь цепи N' с током, равным

і а- Таким образом, все токи и напряжения ветвей в цепи

что и является формулировкой теоремы квазимощности. Второй вывод теоремы иллюстрируется рис. 2-8.

2-7. ОПЕРАТОРЫ КИРХГОФА

Теорема Телледжена может быть обобщена при помощи операторов. Они вводятся так, что несколько теорем могут быть записаны одновременно. При выборе того или другого оператора общая форма приводит к бо­ лее специализированным уравнениям. Мы рассмотрим образование комплектов токов в ветвях посредством оператора Л, действующего на действительные или вир­ туальные токи ветвей цепи. Если результат есть ряд то­ ков, которые подчиняются первому закону Кирхгофа, тогда мы назовем Л токовым оператором Кирхгофа. На­

пример, если комплект токов в ветвях {іа (і)} подчиня­

ется первому закону Кирхгофа, то тогда и их производ­ ные по времени тоже ему подчиняются. Таким образом, одним примером токового оператора Кирхгофа является производная по времени; другим примером будут преоб­

разования Фурье; если {іа (I)} подчиняется первому за­

кону Кирхгофа, то ему также подчиняется и комплект преобразований Фурье {/J«)}.

Аналогично мы будем называть оператор Л опера­ тором напряжения Кирхгофа, если он дает комплект на­ пряжений ветвей, которые подчиняются второму закону Кирхгофа, когда действует на систему напряжений, под­ чиняющихся этому закону. Мы будем применять термин оператор Кирхгофа, имея в виду или оператор напряже­ ний Кирхгофа или токовый оператор Кирхгофа в зави­ симости от того, какой оказался подходящим в контексте. Многие операторы Кирхгофа (включая примеры, приве­ денные выше) являются и токовыми операторами и опе­ раторами напряжений, но это не всегда так.

18

В примерах, упомянутых выше, оператор Кирхгофа (чтобы быть конкретней, рассмотрим оператор напряже­ ний Кирхгофа) применяется отдельно к каждому (дей­ ствительному или виртуальному) напряжению ветвей. Но вообще операторы применяются ко всей системе на­ пряжений ветвей. Подходя, скажем, к Лмо, можно при­ нять в расчет напряжения в других ветвях с учетом того, как ветви взаимосоединены (т. е. с учетом топологии).

Примером оператора напряжений Кирхгофа, который зависит от топологии, является тот, который выбирает разности между квадратами узловых потенциалов для образования напряжений ветвей, которые подчиняются второму закону' Кирхгофа. В данном случае этот опера­ тор не является токовым оператором Кирхгофа.

Тем не менее многие из операторов, применяемых на практике, обладают тем свойством, что при подходе, ска­ жем, к ЛІ2 другие токи ветвей (действительные или виртуальные) и, із, h и т. д. игнорируются. Эти опера­

торы могут, однако, зависеть от других параметров, както от частоты, температуры и т. д. Докажем, что такие операторы должны быть линейными1. Из обратного

утверждения легко видеть, что все линейные операторы, которые действуют на напряжения или токи ветвей раз­ дельно, являются операторами токов и напряжений Кирх­ гофа. Большинство операторов, применяемых в этой кни­ ге, являются линейными.

Чтобы доказать только что высказанное утверждение, полагаем, что (га } есть система токов ветвей, которые подчиняются первому закону Кирхгофа:

Так как Л не зависит от топологии и игнорирует все токи, за исключением того, иа который он действует, его можно таким же образом применить к независимым то­ кам /р. Если Л является токовым оператором Кирхго­

фа, то, значит, первый закон Кирхгофа имеет силу, и мы получим:

При подстановке (2-15) в (2-16) мы получаем требую­ щееся условие:

1 Применение линейных операторов не ограничивает теорему линейными цепями.