книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

è-19. TÈOPEMA ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МАРТЙНЁЛЛЙ И РОВЕРИ

Теорйма чувствительности Мартинеллп н Роверн (1967 г.) относится к усилителю с отрицательным активным сопротивлением, выполненным путем включения резистора R с отрицательным сопро­ тивлением в состав обратимого четырехполюсника без потерь, как показано на іріис. 6-9. Чувствитель­ ность на нулевой частоте Se опреде­

ляется как

щий доказательству, приведен ниже в уравнении ’(6-Л05); он лепко получается благодаря теореме Телледжена.

Мартинелли и Роверн применили теорему Телледжена в своем первоначальном доказательстве один раз, но мы ее применим дваж­

форма теоремы Телледжена для волновых переменных (2-33) пре­ вратится в соотношение

a'i b"i - a ' \ b \ - b ' lb"l - b \ b " , = \ i ' ^ u \ + i ' R u"R , (6-101)

где сумма по а не включает переменный элемент. Так как цепь обра­ тима, величины чувствительностей Sj2 и S2i равны Si2= S 2i; посколь­ ку цепь без потерь, за исключением резистора R, сумма по а исче­ зает и уравнение примет вид:

Теперь обращаемся к теореме Телледжена вторично. Пусть А' избирает случай, в котором цепь питается, как и ранее, с входных зажимов, но теперь Л" избирает вариацию, причиненную изменения­ ми бR в переменном отрицательном активном сопротивлении, когда питание цепи осуществляется только через вход. Используя разност­ ную форму теоремы Телледжена (2-34), получаем:

a'iSb"i — 8a,,1b'x —

= т ^ & ö"* - < « « ) +ы К - ilR I- <6-103)

120

Ввиду свойства обратимости сумма по а исчезает, и мы на­ ходим:

6-20. ТЕОРЕМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МАРТИНЕЛЛИ И ПОДЖЕЛЛИ

Чтобы показать, как теорема Телледжена может быть приме­ нена в довольно специфических условиях, выведем теорему Мартииеллп и Поджелли (1968 г.) [Л. 105]. Рассмотрим обратимый четы­ рехполюсник без потерь, состоящий из двухзажимных элементов, т. е. четырехполюсник LC. Входная матрица рассеивания S pq является симметричной и унитарной, так что, в частности,

Если изменяется какое-либо взятое в отдельности полное сопро­ тивление ветви Zu, то все параметры рассеивания S pq вообще также изменяются и, следовательно, могут быть рассматриваемы как функ­ ции Zu. Результат, который мы должны доказать:

Этот результат вытекает из трех применений теоремы Теллед­ жена, в которых используются два различных режима питания. В одном режиме, обозначенном' штрихом, вход (вход 1) получает питание, но выход (вход 2) не-получает (Л'г= 0). В другом режиме, обозначенном двумя штрихами, питание подается на выход, но вход не получает питания (Л"і=0). В первом применении теоремы Тел­ леджена допустим, что Л' принимает коэффициенты Фурье режима питания, обозначенного штрихом, а А " принимает вариации первого

порядка режима питания, обозначенного двумя штрихами. Тогда разностная форма теоремы Телледжена (2-34) будет иметь вид:

2 Sp (А'ѵдВ"р - 5А"ѴВ'Р) = Sa ( # ! / " - df'a'U'a ), (6-110)

после преобразования

Поэтому

Во втором применении теоремы Телледжена допустим, что Л' принимает сопряженные комплексы коэффициентов Фурье режима питания со штрихом н А" принимает вариации'первого порядка ре­ жима питания с двумя штрихами. Тогда суммовая форма теоремы Телледжена (2-35) будет такой:

Это выражение после преобразования

Здесь были использованы (6-106) и (6-:108). Третье применение теоремы Телледжена подобно второму; допустим, что А' принимает сопряженные комплексы коэффициентов Фурье режима питания с двумя штрихами и Л" принимает вариации первого порядка в ре­ жиме питания с одним штрихом. Тогда суммовая форма теоремы Телледжена (2-35) приводит к следующему:

Правые части уравнений (6-112), (6-115) и (6-116) имеют оди­ наковые величины; приравнивание величин левых частей этих урав­ нений приводит к желательному результату, т. е. к уравнению (6-109). Другой подобный результат, который может быть доказан аналогичным путем:

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

ПРИМЕНЕНИЕ К СИНТЕЗУ ЦЕПЕЙ

В синтезе цепи могут помочь многие теоремы, до­ казанные в предыдущих главах, так же как и результа­ ты, выведенные в этой главе.

122

7-1. АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦЕПИ

Директор и Рорер (1969 г.) базировали на теореме Телледжена алгоритм автомазированного проектирова­ ния цепи [Л. 40—42].

Предположим, что необходимо рассчитать цепь с предписанной матрицей рассеяния S°pg на входах

(Директор и Рорер фактически рассматривали предпи­ санную матрицу полных проводимостей, но так как была применена разностная форма теоремы Телледжена, то процедура также действительна для матрицы полных сопротивлений и для матрицы рассеяния). Считается, что анализ предписанной цепи на вычислительной маши­ не— рутинная работа; новостью является автоматиче­ ская модификация цепи в цепях уменьшения функции ошибок. Последняя рассматривается как взвешенная сумма квадратов погрешностей в элементах результи­ рующей матрицы рассеяния:

где Wpq является весовым фактором, который определя­

себе интегрирование по диапазону частот. Если цепь незначительно видоизменяется путем изменений полных

решением рассчитать эффект каждого 8Zcß на е посред­

использовано только 2а решений, где а есть число вхо­

дов. Алгоритм найдем путем вычисления вариации пер­ вого порядка в уравнении (7-1):

= 1, если q есть г, иначе оно равно нлуга. Рассмот-

рим также присоединенную к первоначальной цепи (см.

приложение 4) с матрицей полных сопротивлений ветвей

Za?= Z ?ct. Эта присоединенная цепь возбуждается вхо­

дящими волнами Л^г^=(Spr—S°^)* Wpr (с физической точки

зрении это питание можно рассматривать как произведе­ ние погрешности в волне рассеяния, когда цепь получает питание только на входе г, на весовой фактор). Тогда

уравнение (7-2) принимает вид:

В данном случае применяется разностная форма тео­ ремы Телледжена (2-34). Вывод желаемого уравнения сходен с выводом теоремы Кона (6-14), результат будет таков:

Принимается без доказательства приближенная цепь, на­

ние в таких относительных количествах, чтобы как мож­ но быстрее уменьшить е. Таким образом, погрешность е автоматически доводится до минимума и, возможно, до нуля.

124

Техника, описанная здесь в общих Чертах, разработа­ на для линейных не зависящих от времени необратимых цепей, чтобы синтезировать предписанный режим на вхо­ де при определенной частоте.. Подобный подход может быть использован для нелинейных цепей с питанием постоянным током и нелинейных цепей с синусоидальным или периодическим питанием. Если цепь обратимая, то присоединенная и первоначальная цепи »идентичны и процедура в некоторой мере упрощается.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ НА ДРУГИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Ценная особенность теоремы Телледжена заключа­ ется в том, что она связывает токи и напряжения на вхо­ дах цепи с токами и напряжениями повсюду внутри цепи. Другие физические системы с входами и внутренними устройствами, вероятно, извлекли бы выгоду из анало­ гичных теорем. В этом смысле интересно попытаться сформулировать для других систем, как сосредоточен­ ных, так и распределенных, общие теоремы мощности наподобие теоремы Телледжена, который отдавал себе

его теорема была ... «эквивалентом в теории цепей хоро­ шо известной теоремы, что объемный интеграл скалярно­ го произведения соленоидального вектора (сравнимого с і) с безвихревым вектором (сравниваемым с и) равен

нулю» [Л. 154, 155]. Теорема появилась во многих учеб­ никах по электромагнетизму, например у Страттона

(1941 г.) [Л. 152]

8-1. ДРУГИЕ СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ

Обобщение теоремы Телледжена является прямым для других сосредоточенных систем, которые подчиняют­ ся основным законам, подобным законам Кирхгофа. Сле­ дуя Берге и Гоуиля-Хуори (1962 г., 1965 г.), молено наз­ вать «потоком» любую похожую на ток переменную, которая подчиняется закону, сходному с первым зако­ ном Кирхгофа и «разностью потенциалов»,—любую пере-

125

мениую, Похожую на напряжение, которая подчиняется закону, сходному со вторым законом Кирхгофа [Л. 5, 6].

Другие авторы (например, Ширер, Мэрфи и Ричард­ сон, 1967 г.; Кёниг, Токад и Кесаван, 1967 г.) применяли термины «сквозные переменные» и «поперечные перемен­ ные» [Л. 84, 145]. Примерами являются скорость течения жидкости и падение давления в гидростатике, вращаю­ щий момент и угловая скорость в системах механизмов, поток тепла и падение температуры в термодинамике, сила и линейная скорость в механике твердых тел. Для каждой из этих систем можно получить теорему Телледжена и другие теоремы данной книги, хотя индивидуаль­ ные теоремы не всегда полезны в новом контексте. Мно­ гие из приведенных в этой книге стационарных теорем прекрасно известны в механике, например принцип вир­ туальной работы и теорема Кастильяно (Райдер, 1952 г.) [Л. 35].

8-2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ

Хорошо известно, что два закона Кирхгофа для электрических цепей являются в действительности при­ ближенными формами двух уравнений Максвелла. Ана­ логичный аргумент приводит нас от законов Кирхгофа к теореме Телледжена для сосредоточенных цепей и мо­ жет привести от уравнений Максвелла к общей теореме мощности для распределенных электромагнитных систем. Приводим два уравнения Максвелла в наиболее извест­ ной форме:

* Понятие операторов Кирхгофа при желании может быть со­ ответствующим образом расширено.

126

Интегрируем это уравнение по объему рассматривае­ мой системы и применим теорему дивергенции. Левая часть может быть написана в виде поверхностного инте­ грала. Допустим, что система имеет некоторое число вхо­ дов и что поверхность, не занятая входами, является «от­ ражающей» в том смысле, что или Е, или Н имеет нуле­ вой тангенциальный компонент на поверхности. Тогда поверхностный интеграл исчезает, за исключением сла­ гаемых по входам. Таким образом, мы находим:

- f J f A' E -A" ( т - ) ‘г1' - Я 1 л "н -А' ( т г К *

■ V V

(8-4)

Сходство между этой обобщенной теоремой мощности

итеоремой Телледжена (2-20) очевидно. Уравнение (8-4) применимо к среде, которая является обратимой или не­ обратимой, линейной, не зависящей от времени или зави­ сящей от времени.

Конститутивные законы среды, вид питания энергией

иначальные условия в выводе не были использованы. Для электромагнитных систем можно с помощью теоре­ мы (8-4) вывести много таких же теорем, которые здесь были доказаны для цепей. Например, многие из них до­ казал Дике (1948 г.), а Стрэттон (1941 г.) обсудил раз­ личные теоремы -о станционарных свойствах электриче­ ской или магнитной энергии [Л. 39, 152].

Концепция «реакций», введенная Рамзеем (1954 г.), вполне аналогична теореме Телледжена для электромаг­ нитных нолей и может быть использована для многих однотипных целей [Л. 134].

* Символ ^ ^ означает интеграл по участкам ограничивающей

ports

систему замкнутой поверхности, занятым входами в систему и выхо­ дами из нее. [Прим, ред.)

127

П Р И Л О Ж Ё Н И Ё \

0ПЕРАТОРЫ КИРХГОФА

Токовые операторы (и операторы напряжения) Кирхгофа при­

тоже подчиняются первому (и второму) законам Кирхгофа, Резуль­ тирующие величины не нуждаются в том, чтобы иметь размерность тока (напряжения), и могут зависеть от других параметров или' переменных (например, от частоты или температуры), введенных операторами.

Все линейные операторы (которые действуют одинаковым обра­ зом на все ветви и входы электрической цепи) явллются оператора­ ми Кирхгофа. Большинство операторов Кирхгофа, примененных в настоящей книге, являются линейными операторами.

Ниже приводим несколько примеров линейных операторов (все они — операторы Кирхгофа):

1.Тождество: At = £(£).

2.Умножение на постоянную или па заданную функцию време­ ни /((): A i= f(І)і(і).

00

A i = J i( t — i) f (t ) di.

— OO

7. Оценка величины i в заданный момент времени /о: Ai=i(to).

8.Изменение отсчета времени: Л/=/(—/).

9.Выбор четной (или нечетной) части i{t):

Л£ = Y [,: ( 0 + £(—O l­

io. Средняя по времени (или стохастическая средняя эргодического процесса): A i=i{t).

11.Выбор возмущений первого порядка или, более широко, воз­ мущений п-го порядка.

12.Выбор одного частного эксперимента: различные эксперимен­

ты могут затрагивать различные величины элементов или различные режимы питания, однако они всегда затрагивают одну и ту же то­ пологию.

13.Выбор одной цепи из нескольких с одной и той же топо­

логией.

14.Выбор одного комплекта значений элементов.

15.Выбор одной величины некоторого параметра, такого, как температура или позиция ползунка потенциометра.

16.- Дифференцирование по некоторому параметру, такому, ка температура или величина некоторого из элементов.

17.Принятие преобразований Фурье или Лапласа (или для пе­ риодических сигналов выбор коэффициентов Фурье).

18.Сопряженный комплекс.

129