книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

Обобщение па многополюсники получается непосредственно. Так как была применена разностная форма теоремы Телледжепа, то мо­ гут быть получены подобные же результаты, включающие в себя полные проводимости или параметры рассеяния.

6-12. ТЕОРЕМА ХАЙНСА

Хаймс дал основную теорему переключения для диодов [Л. 721 (см. также Гарвер и Хаймс, 1964 г. [Л. 60]; Вам Лоок, 1966 г. [Л. 159]; де Буда и Хайнс, 1967 г. [Л. 34]). Диодный выключатель

Рис. 0 -6 . Диодный выключатель,

встроенный в обратимый двухпо­ люсник, чтобы получить коммути­

предполагается переходящим из состояния разомкнутой ветви в со­ стояние короткого замыкания и встроен в обратимый двухполюсник, как показано на рис. 6 -6 .

Если мы обозначим эти два состояния индексами s и 0 и при­ мем, что А' и А" — коэффициенты Фурье для этих двух состояний, то из разностной формы теоремы Телледжепа для волновых пере­ менных (2-34) найдем следующее:

одного элемента, который изменяется. Если обозначим ток и напря­ жение диода индексом d, то (6-48) примет вид:

Это выражение имеет много применений. Оно действительно даже тогда, когда ток диода в «разомкнутом» состоянии не равен нулю и когда напряжение в состоянии «короткого» не равно нулю. Если они равны нулю, второй член правой части уравнения исчезает. Для встречающихся в практике диодов максимальное напряжение разомкнутой цепи (холостого хода) и ток короткого замыкания ограничены во избежание разрушения диода. Величина уравнения (6-51) указывает на ограничение выключаемой мощности и размера измерений коэффициента отражения в функции от максимально до­ пустимых напряжений и тока диода £/макс и / мансРассматривае­ мая здесь цепь считается получающей питание от одного и того же

НО

Эти формулы могут комбинироваться всевозможными способами для различных цепей. Например, разность уравнений (6-64) и (6-54) дает уже полученный ранее результат — уравнение (6-45). Комбини­ руя (6-53), (6-55) и удвоенное (6-54), найдем:

Они легко могут быть объяснены для цепей с резисторами. Если со­ противления резисторов неотрицательны, то последний член в (6 -6 6 )

неотрицательный, и мы видим, что увеличение сопротивления любого резистора в цепи или вызывает увеличение входного полного сопро­ тивления входа или оставляет его без изменения. Аналогично из (6-67) заключаем, что уменьшение сопротивления любого резистора не может вызвать увеличения Z.

Как результат применения этих уравнений может быть рассмо­ трено другое использование этих выражений. Из (6-58), (6-62) и

112

(ß-63) мы ияХодйШ

Этот результат может быть также выражен в волновых пере­ менных. Каваками (1965— 1966 гг.) детально исследовал инвариант­ ность этой величины, по крайней мере для случая обратимой цепи без потерь, н доказал много обобщений уравнений (6-70) [Л. 78—80]. Сходный инвариант исследовали Шау-Петерсен и Тоннинг (1969 г.) [Л. 138].

Шестьдесят четыре уравнения, упомянутые выше, приводят к мно­ гим другим полезным комбинациям. В добавлении можно сказать, что подобные результаты могут быть получены для цепей, имеющих три и более состояний, если использовать теорему Телледжена по­ добным же образом.

6-14. ТЕОРЕМА ВОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ШЕННОНА— ХАГЕЛЬБАРГЕРА

Одним из свойств активного сопротивления резисторного двух­ полюсника как функции активных сопротивлений ветвей Ra являет­

ся свойство «вогнутости», которое может быть доказано теоремой Телледжена. Положим, что активное сопротивление каждой ветви

может принять одно из двух возможных значений R'a и R'/a (ко.

торые могут быть в некоторых ветвях одинаковыми), что приводит к входным активным сопротивлениям двухполюсника R' и R". Вы­ водимая теорема относится к активному сопротивлению R, которое измеряется на входе, в то время когда каждое из активных сопро­

тивлений ветвей имеет величину Ra «на полпути» между их двумя возможными значениями:

(6-71)

Можно предположить, что величина R лежит между R' и R”, й нам необходимо доказать, что

Эту теорему вывели Шеннон и Хагельбаргер (1956 г.); Мельвии

(1956 г.) и Шнейдер (1969 г.) [Л. 108, 139, 144].

ствующим количеством штрихов. На основе сильной формы теоремы Телледжена (2-20) находим:

Еще не была использована зависимость между Ra , /?' и R" .

Сделаем это после сложения (6-77) и (6-78). При использовании (6-73) найдем желаемый результат — выражение (6-72). Возможны обобщения этого результата, и доказательство с помощью теоремы Телледжена указывает пути к некоторым из них.

6-15. ТЕОРЕМА АТТЕНЮАТОРА БЛЭКА

Блэк (1964 г.) применил теорему Телледжена, чтоб показать невозможность создания обратимого четырехполюсного переменного аттенюатора, содержащего один переменный элемент, если требует­ ся, чтобы выходное полное сопротивление поддерживалось постоян­ ным при изменении коэффициента передачи по напряжению при холостом ходе [Л. 8 ].

114

Одно состояние цепи, обозначенное штрихом, имеет отношение к определению выходного полного сопротивления при короткоза­

(индекс и обозначает переменный элемент). Другое состояние цепи, обозначенное двумя штрихами, описывает действие цепи в качестве

6)

Рис. 6-7. Четырехполюсныіі аттенюатор.

а — четырехполюсник с одиночным переменным элементом Zu (не

мерения выходного полного сопро­ тивления.

переменного аттенюатора. В этом случае / " 2 равен нулю и U'\ по­

стоянно. Необходимое условие заключается в том, чтобы U"i было функцией от переменного элемента Zu. Аттенюатор и оба его со­ стояния показаны на рис. 6-7.

Суммы по непеременным элементам цепи выпали, потому что эти элементы не изменяются. Первый, третий и четвертый члены ле­ вой части этого уравнения исчезают, так же как и член в правой части, так как І'и равен нулю.. Следовательно, и второй член равен нулю, если подразумевать, что U"2 должно быть независимым от Z3. Теорема доказана.

Доказательство с помощью теоремы Телледжена указывает путь обобщения результатов Блэка. Может быть получена форма, вклю­ чающая волновые переменные, и есть возможность расширения клас­ са цепей, для которых результат действителен, хотя мы не рассма­ триваем этого здесь,

6-16. ТЕОРЕМА БИЛИНЕЙНОСТИ

Теорему билинейности обсуждали де Кларис (1956 г.), Паркер и др. (1965 г.) и Соренсен (1967 г.), она может быть доказана с по­ мощью теоремы Телледжена [Л. 35, 122, 149]. Эта теорема билиней­ ности описывает изменения в любой функции отклика цепи (в пол­ ном сопротивлении, полной проводимости или параметре рассеива­ ния), вызываемые конечными изменениями в одном элементе, нахо­ дящемся внутри цепи. Теорема констатирует, что отклик является билинейной "функцией величины элемента, находящегося внутри цепи (элемента матрицы полных сопротивлений ветвей или матрицы пол­ ных проводимостей или матрицы рассеивания). Например, зависи­ мость элемента входной матрицы рассеивания S23 от У5 7 — элемента

матрицы полных проводимостей ветвей Уа^ равна:

(6-80)

где А, В и С зависят от того, какой отклик рассматривается и какой элемент изменяется от остальных элементов матрицы Уар но не

зависят от У57.

Предполагается, что цепь линейная, но не обязательно обрати­ мая. Доказательство с помощью теоремы Телледжена проводится в два этапа. Для упрощения докажем уравнение (6-80); доказатель­ ства билинейности других зависимостей (таких, как полного сопро­ тивления) подобны. Сначала пусть У57 имеет три значения У, У' и

Y". Это приводит нас к трем значениям 5зз, которые назовем S, S' и S". Тогда (6-80) может быть легко получено из соотношения

(6-81)

где I независимо от У; здесь У' и Y" приняты фиксированными, но допускаются изменения величины У.

Вторым этапом доказательства является наглядный показ урав­ нения (6-81). Рассмотрим первоначальную цепь н ее присоединенную цепь (см. приложение 4). Как обычно, обозначим переменные при­ соединенной цепи тильдами. Пусть Л' избирает присоединенную цепь, питаемую только на входе 2 , с У57=У (и отсюда ^ 7 5 = У)- Пусть А"

избирает первоначальную цепь, питаемую только на входе 3, с У57 = = ’5*75 = У'; разностная форма теоремы Телледжена (2-34) приводит нас к выражению

не

ИЛ 1

1 Ur, U'

6-17. ТЕОРЕМА ПОДОБИЯ ШЕКЕЛЯ

Шекель (1967 г.) доказал теорему об одновременных эффек­ тах одиночного переменного элемента Zv (k) на аналогичные параме­ тры многополюсника [Л. 146]. Физическая причина изменений к не нуждается в точном определении или известности. Примерами двух сходных параметров являются два элемента матрицы входных пол­ ных проводимостей или два коэффициента отражения. Результат по­ лучается следующий: как функции от k оба они имеют сходные за­

Таким образом, невозможно представить себе цепь, в которой к при малых значениях влияет па Z]3 и при больших значениях влияет на Z із, по не наоборот. Этот результат может быть доказан с по­ мощью теоремы Телледжена. Рассмотрим два значения к, т. е. k и к', и соответственно обозначим токи и напряжения для этих двух значений k с таким же числом штрихов. Рассмотрим также присо­

к=к'. Тогда разностная форма теоремы Телледжена (2-34) превра­ тится в соотношение

Так как была применена разностная форма теоремы Телледже­ на, можно рассматривать уравнение (6-87) в выражениях полного сопротивления, полной проводимости или параметров рассеивания в этой же форме. В частности, для полных сопротивлений уравнение примет вид:

Spg [2р3 (k') - Zn (к)} V ' q == \Zv(k>) - Z„(A)] 7VI'V, (6-88)

где большая часть членов в сумме по ветвям отпадает, потому что эти элементы не изменяются.

117

Чтоб добиться результата, который получил Шекель [уравнение (6-86)], уточним режимы питания токами Тр и V Во-первых, уста­ новим все токи на входах Тр равными нулю, кроме тока на входе /, и все токи І'Р также равными нулю, кроме тока на входе 3. Теперь (6-88) становится вида

Л’/",

Строго говоря, нам следовало бы применить обозначение, ука­ зывающее, что эти токи соответствуют равенству нулю всех токов иа входах, кроме входа 1 и входа 3; однако такое обозначение обре­ менительно.

Затем положим равными нулю все токи иа входах, кроме Ті и /'г, и найдем, что

г.» (ft') - m = fz, [k') - z v (*)] -^r — (6-90)

где в каждом из отношений в правой части токи иа входах, кроме указанных, равны нулю (так что два символа /'„ фактически обо­ значают разные случаи). Важно заметить в этом уравнении, что

Повторные доказательства такого же рода приводят к сходным ре­ зультатам относительно других элементов матриц. Доказательство действительно для матриц полных сопротивлений проводимостей и матриц рассеивания.

6-18. ТЕОРЕМА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ АТТЕНЮАТОРА САИТО И ИКЕДА

Рассмотрим обратимую резисторную цепь с одним изменяю­ щимся резистором R, действующую как переменный аттенюатор с активным сопротивлением нагрузки г и источником питания с вну­ тренним сопротивлением г. Коэффициент усиления аттенюатора есть

118

так как цепь то предположению обратима и неизменяема. Таким

Теперь применим теорему Телледжена снова, допуская, что оба оператора Л' и Л" избирают вариации. В результате найдем выра­ жение

Это является результатом, который мы должны были доказать. Хотя это неравенство имеет силу для всех возможных значении G, точный предел уравнения (6-93) применим лишь к случаям, когда

0,25<|G | <0,5.

119