книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

Объяснение левой части уравнения остается прежним, однако Теперь находим в правой части:

Где Zap — матрица полных сопротивлений ветвей.

Таким образом,

жение для SZ в функции 5Zap является обобщением теоремы Кона.

Члены уравнения могут быть опять выражены в изменениях полной проводимости или коэффициента отражения. Заметим, что мы не

делали допущения, что изменения 3Za ß обратимы; попросту цепь

была обратимой до того, как произошли изменения.

6-3. ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ НЕОБРАТИМЫХ ЦЕПЕЙ

Можно доказать результат, аналогичный теореме Кона и для необратимых цепей (ограничение обратимыми цепями теперь снято). Более точно это распространено на двухполюсники, содержащие не­ обратимые элементы. Обобщение на необратимые многополюсники приводится в § 6-4.

Кроме первоначальной цепи, рассмотрим цепь, присоединенную к ней (см. приложение 4). Обозначим изменения в присоединенной цепи тильдой. Таким образом,

подразумевается, что матрицы входных полных сопротивлений свя­

воначальной цепи. Тогда уравнение (2-22) разностной формы теоре­ мы Телледжеиа получится в виде

Если первоначальная цепь обратима, то обе формы тока / а и 7а

идентичны и (6-13) приводится к (6-9).

100

6-4. ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ МНОГОПОЛЮСНИКОВ

Теорема Кона может быть распространена на обратимые и необратимые многополюсники (ограничение двухполюсниками теперь снято). Доказательство идентично с приведенным в предыдущем па­ раграфе, за исключением того, что требуется суммирование по входам:

Заметим, что два распределения напряжений и токов, одно обо­ значенное со штрихом, а другое без штриха, не обязательно одина­ ковы. Например, одно питание может быть таким, что все Тѵ равны нулю, за исключением Tz, а другое такое, что все Vq исчезнут, за исключением /'з. Тогда из (6-14) імы находим:

'где / a есть внутреннее распределение токов, которое получается при размыкании всех входов присоединенной цепи, за исключением вхо­ да 2, а /'р — распределение токов, которое получается при питании только входа 3 первоначальной цепи.

Таким образом, чтоб найти первый порядок зависимости Z23 от

полных сопротивлений всех элементов ветвей Zag , необходимы толь­

Для выражения правой части уравнения как суммы по входам, из которой только один член не равен нулю, используем сильную форму теоремы Телледжена и находим интересный результат:

который является специальным случаем формулы, представленной Белавом (1964 г.) [Л. 4].

Формулы вида (6-14) полезны при анализах чувствительности. Существует несколько определений «чувствительности», включая одно,

ника расчета чувствительностей приводится по существу к использо­ ванию уравнения (6-14) [Л. 90, 91]. Мартинелли (1963 г.) [Л. 104]

101

определил, например, чувствительность У2і по отношению к 'изменяю­ щемуся внутреннему полному сопротивлению Z ,n( как

(6-19)

ядал решение для S в выражениях для токов и напряжений входов

иветвей, которое является специальным случаем уравнения (6-14). Киши и Кида (1967 г.) обсуждали вопросы чувствительности цепей RLC в выражениях запасенной энергии, используя уравнения, сход­ ные с уравнением (6-14) [Л. 81].

6-5. КОМПЛЕКСНАЯ ТЕОРЕМА КОНА

Предшествующие варианты теоремы Кона включают в себя произведения комплексных токов. Более полезной была бы форма, которая содержит величины -токов. Эта форма возможна для опре­ деления цепей и может быть доказана применением суммовой формы теоремы Телледжеиа. Теорема может быть показана путем вывода ее для двухполюсников LC.

Пусть Л7 принимает сопряженные комплексы преобразований

Фурье и А" принимает малые изменения в преобразованиях Фурье.

Если вариации рассматриваются как следствие изменений часто­ ты, то этот результат превращается в (5-66). При желании оно мо­ жет быть написано в волновых переменных, если применить теорему

где использован факт, что для цепей без потерь Г=1.

6-6. КОМПЛЕКСНАЯ ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ ЦЕПЕЙ ИЗОКЛИННОЙ МОЩНОСТИ

Предыдущий результат теперь обобщается для любого двух­ полюсника, составленного исключительно из элементов, которые имеют один и тот же фазный угол по комплексной мощности (при­ мером такой цепи может служить цепь LC с гираторами и с взаимо­ индукцией при s=/tö; другим примером будет цепь RLC при s= c ) . Пусть этот угол будет 0.

102

Матрица полных сопротивлений ветвей обладает теперь свойством Zaß = e2'9Z*pa; в §5-9 было доказано, что в таком случае матрица

входных сопротивлений Z?p имеет то же свойство.

Пусть Л' принимает сопряженные комплексы преобразований Фурье, а А" — их малые вариации. Затем обменяем местами Л' и А". Тогда сильная форма теоремы Телледжена (2-20) предсказы­

Заметим, что мы не предполагали, что 6 Zaß являются измене­

ниями изоклинной мощности, а просто считали, что Znß само по

себе таково. Например, уравнение (6-24) может быть использовано для подсчета результатов первого порядка убыли в цепях без потерь.

Теорема Кона может быть распространена на цепи с изоклиннон мощностью и с количеством входов больше одного. Доказатель­ ство в сущности идентично с доказательством (6-24). В результате получаем:

где режимы питания цепей, обозначенные штрихом или без штриха, не должны быть обязательно одинаковыми.

6-7. КОМПЛЕКСНАЯ ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ ЦЕПЕЙ БЕЗ ПОТЕРЬ

Возможно, наиболее важным типом многополюсников с изоклнииой мощностью являются цепи без потерь, для которых S - ] со. В этом специальном случае применяем суммовую форму теоремы Телледжена [уравнения (2-23) или (2:35)], допускаем, что А' при­ нимает малое изменение в коэффициентах Фурье при одном режиме питания цепи (обозначенном штрихом) и А" — сопряженные ком­ плексы коэффициентов Фурье в другом режиме питания цепи, не обозначенном штрихом. Результат для многополюсников без потерь (не обязательно обратимых) будет:

Режимы питания цепи, отмеченные штрихом и без штриха, нё должны быть обязательно одинаковыми; они могут быть установле­ ны различными для того, чтобы выделить специфические входные па­

103

раметры. Например, если мы назначим А'г равным единице, но все остальные Л'г равными пулю и назначим каждое Л(і равным S 3Q, то (6-26) превращается в запись:

где І 'а и / а являются результирующими распределениями тока.

Эта формула полезна для установления чувствительности S32

к изменениям элементов матрицы полных сопротивлений ветвей.

6-8. ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ ЦЕПЕЙ С ИЗОКЛИННЫМ ПОЛНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ

Цепью с изоклннным полным сопротивлением называется та-' кая цепь, в которой все элементы матрицы полного сопротивления ветвей имеют один и тот же фазный угол 0 , так что мы имеем

Примером цепи с изоклннным полным сопротивлением может служить цепь, содержащая резисторы и гираторы. В § 5-9 теоремой Телледжена было доказано, что для таких цепей матрица входных

полных сопротивлений подчиняется зависимости Zp2 = е2^2*рз.

Рассмотрим многополюсник изоклннного полного сопротивления, а также присоединенный многополюсник (см. приложение 4). Обо­ значим переменные присоединенного многополюсника тильдами. В § 5-9 посредством теоремы Телледжена доказано, что так как

2 aß = Zßaj то Zpq = Zqp. Пусть А' избирает сопряженные ком­

плексы преобразований Фурье величин присоединенного и А " — изме­ нения в преобразованиях Фурье первоначального многополюсника. Затем переменим роли А' и А". Результатом сильной формы теоре­ мы Телледжена будут два уравнения. Если второе умножить на

2/0

е ‘ и вычесть из первого, то получим:

не должны быть обязательно одинаковыми (для получения этого урав­ нения были использованы 'зависимости Zm = ö2^Z~*qv и Z ^ = tf2y5X ХЯ*ра. Это выражение и является формой теоремы Кона для цепи

изоклннного полного сопротивления. Примечательно, что здесь не тре­ буется, чтобы изменения о и м е л и тот же фазный угол, что и Zap.

Для двухполюсника изоклннного полного сопротивления (6-28) превращается в запись:

Интересно сравнить это уравнение, которое относится к цепям изоклннного полного сопротивления, с уравнением (6-13), которое относится к любому двухполюснику; разница только в сопряженных

104

комплексах, появившихся в (6-29). Если мы вычтем (6-29) из (6-13), то найдем:

Это уравнение действительно для двухполюсников с нзоклинным полным сопротивлением. Оно может остаться в силе для произволь­ ного SZap , но только когда отношение 'TJT вещественно, для чего

требуется, чтобы все токи в присоединенной цепи совпадали по фазе (или отличались по фазе на 180°). Фактически этот результат имеет силу и для первоначальной цепи, так как роли цепей мы можем переменить местами без воздействия на вывод. Таким образом, по­ казано, что все токи в двухполюснике с нзоклинным полным сопро­ тивлением совпадают по фазе. Это есть обобщение хорошо известно­ го факта, что все токи в двухполюснике LC совпадают по фазе.

6-9. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Теорема Телледжена может быть также использована для по­ лучения полезных формул по чувствительности высшего порядка. Рассмотрим, например, двухполюсник, показанный на рис. 6-2,

с входным полным сопротивлением Z, выполненный из двухзажимиых элементов с полными сопротивлениями Za. Затем Z можно рас­

сматривать как функцию всех ■■Za, п разложение Z по возмущениям

в Ztt будет:

105

Из (6-4) можно подсчитать dZ/d Za . Производные высшего по­

рядка в (6-31) относятся к тому, что может быть названо чувстви­ тельностью высшего порядка. В частности, матрицу d^ZjdZ^dZ^

иногда называют «хессианская матрица». Эту матрицу можно вы­ числить, используя теорему Телледжена. Для этого просто диффе­ ренцируем (6-4):

Эти формулы представил Г. А. Ричардс из компании Маркоии (частное сообщение).

Для эффективного использования (6-33) необходимо рассчитать производные отношений токов. Это может быть сделано посредством теоремы Телледжена. Увеличиваем первоначальную цепь рис. 6-2 прибавлением к ней нового входа, включенного последовательно в ветвь ß, как показано на рис. 6-3. Полагаем, что ветвь а подвер­ гается возмущениям и тем вызывает возмущение всех токов в цепи. Уравнение (2-22) разностной формы теоремы Телледжена приводит нас к следующему:

/'SU - 3W + I'?dU?x - &/?U'$x = ST(/'TW , - 3/ Tt/'7), (6-34)

где Ußx есть напряжение на новом входе.

В одном из режимов питания первоначальный вход не возбуж­ дается, /'= 0 , но на новый вход подается заданное напряжение

ФО; в другом режиме, из которого берется вариация первого

порядка, первоначальный вход питается заданным током ІфО, но &[=0 и новый вход не получает питания Hp( =0. Тогда (6-34) ста­

новится таким:

-3/рП'

так что

äZa \ I J

Таким образом, уравнения, подобные (6-32) и (6-33), могут быть рассчитаны, если известны системы токов, вызванные гипотетически­ ми источниками напряжения, присоединенными последовательно в каждую ветвь. Теорема Телледжена привела к технике определе-

106

имя чувствительностей второго порядка. Этот процесс может быть продолжен до чувствительностей третьего и высшего порядков.

Эта техника может быть обобщена на необратимые многополюс­ ники. Например, пусть рассматривается определенный элемент Zrs матрицы входных полных сопротивлений Zpg. Интересно узнать, как

Zn зависит от матрицы полных проводимостей ветвей Y а, которая

не обязательно диагопальна или симметрична, потому что цепь мо-

включенными параллельно каждой ветви.

жет быть необратимой. Первоначальную цепь, изображенную на рис. 6-4, увеличим размещением добавочных пар зажимов парал­ лельно каждой ветви, показанной на рис. 6-5.

Токи в этих новых парах зажимов обозначим через ІаХ, І^х и т. д. Если все Іах равны нулю, то распределения тока и напряже­

ния в цепи будут теми же, что и в первоначальной цепи. Рассмотрим также присоединенную к первоначальной цепь (см. приложение 4) и подобным же образом увеличим ее. Тогда разностная форма тео­ ремы Телледжена (2-22) приводит к соотношению

Sp(ГрЗН'р- й/'рНр) + (Tax8U’a - 5 f ' axUa) = £а(/аШ 'а- 8/'aUa).

(6-37)

Режимы питания выбираем следующим образом. В одном режиме питания, обозначенном штрихом, все /'%х равны нулю и все Гр равны нулю, за исключением того, который на входе s (обозначен

индексом s); в другом режиме все / ах равны нулю и все ТР равны

нулю, за исключением того, который на входе г (обозначен индек­ сом г). Тогда, допуская, что каждый элемент матрицы полных про­ водимостей ветвей может изменяться, найдем, что (6-37) превратит­ ся в следующее выражение:

107

каждое из отношеніи”! есть напряжение холостого хода, вызванное током одиночного входа и деленное па этот ток.

Таким образом, отношения являются элементами матрицы пол­ ных сопротивлении Z' цепи с новыми и первоначальными входами. Далее заметим, что так как матрица полных сопротивлений присо­ единенной цепи является транспонированной матрицей полных со­ противлений первоначальной цепи

Производные третьего и высших порядков рассчитываются ана­ логичным образом. Во всех случаях знания увеличенной матрицы полных сопротивлений Z' достаточно, чтобы предсказать производ­ ные всех порядков. Различные формулы второго порядка дали Лю-

6-10. ТЕОРЕМА ПЕЗАРИСА

Теорема Копа и ее обобщения относятся только к бесконечно малым изменениям полного сопротивления. Конечные изменения не­ посредственно не охватываются. Результат, данный Пезарисом (1956 г.), действителен для конечных изменений и поэтому может быть применен для цепей с двумя состояниями или для переключаю­ щихся цепей [Л. 127]. Эту теорему самостоятельно обсуждали Рич­ монд (1961 г.) и де Буда и Хайнс (1967 г.) [Л. 34, 132].

Рассмотрим двухполюсник из двухзажимных элементов в двух состояниях, обозначенных одним и двумя штрихами. В этих двух

108

Левая часть уравнения есть /7"(2"—Z'); может быть записана подобным же образом и правая часть:

Это уравнение в свою очередь аналогично основной теореме Ко­ па (6-3). Так как была использована разностная форма теоремы Телледжена, то при желании любая часть уравнения (6-44) может быть написана в выражениях полной проводимости или коэффициен­ та отражения.

6-11. ТЕОРЕМА ПЕЗАРИСА ДЛЯ НЕОБРАТИМЫХ ЦЕПЕЙ

Для необратимых двухполюсников теорема Пезариса обоб­ щается двумя способами. В первом способе мы пойдем по пути, описанном в § 6-10, но видоизменим объяснение правой части (6-44),

Подобным образом теорема Пезариса может быть распростране­ на па обратимые и необратимые многополюсники. Выводы посред­ ством теоремы Телледжена подобны показанным, и так как эти обобщения не иллюстрируют теорему Телледжена более подробно, то в данной книге они не приводятся.

По второму способу теорема Пезариса может быть распростра­ нена и па необратимые цепи, если рассматривать первоначальную цепь и присоединенную к ней цепь, которая имеет тоже два состоя­ ния (см. приложение 4) ’. Примем, что Л' избирает присоединенную

1 Матрица полных сопротивлений присоединенной цепи в каж­

дом состоянии (со штрихом или без штриха) является транспониро­ ванной матрицей полных сопротивлений первоначальной цепи в .соот­ ветствующем состоянии.

1Ѳ9