книги из ГПНТБ / Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей

0 = s" £ Г Г L 4- s' У U' U" c 4-

а а а * i—J а а ^ а * ind cap

Условия ортогональности для цепей с элементами только двух типов могут 'быть получены из этих уравне­ ний. Например, для цепей LC, если s' не равно ±5",

(5-99) и (5-100) могут быть удовлетворены лишь при условиях, если

а (5-101) и (5-102) будут удовлетворены лишь, если

Подобный же вывод (5-403) и (5-104), сделанный при помощи теоремы Телледжена, представлен Ли (1963 г.) [Л. 87]. Уравнения с (5-103) до (5-106) выражают орто­ гональность между распределениями тока на двух собст­ венных частотах и между распределениями напряжения. Другой пример заключается в следующем: для цепей с конденсаторами и гираторами, если s" не равна —s',

90

сумма уравнений (5-99) и (5-100) утверждает:

cap

Многие другие ортогональные зависимости могут быть получены при помощи теоремы Телледжена. На­ пример, Паркер (1969 г.) показал, как теорема Телледжеиа приводит к ортогональным зависимостям, которые в свою очередь могут быть применены, чтобы развить идею нормальных модов в цепях RLC (Л. 120]. Его под­

ход заключается в применении (5-99) и (5-100) без гираторных членов. Для цепей без гираторов, если s' не равна s", (5-99) и (5-100) заключают в себе, что

«взаимная магнитная энергия» равна «взаимной элек­ трической энергии» в течение переходного режима, в ко­ тором существуют обе частоты. Вагнер обсуждал это и другие условия ортогональности в 1974 г. [Л. 163].

5-23. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ РЕЗОНАНСНОЙ ЧАСТОТЫ

проблему, заключающуюся в том, как изменяется резо­ нансная частота цепи, когда изменяются величины ком­ понентов либо на бесконечно малые, либо на большие величины. Этот подход может быть сопоставлен с другим приемом, примененным Папулисом (1955— 1956 гг.) [Л. 118, 119].

Изменения первого порядка в собственной частоте обратимой ципи RLC могут быть рассчитаны как пример

применения теоремы Телледжена в такого рода проблемах. Допустим, что SRa, bLa и 8Са являются изменениями

соответствующих величин элементов, и bUa и Ыа явля­

ются результативными изменениями напряжения и тока. Тогда, например, для ветви с катушкой индуктивности имеем:

Пусть А' избирает коэффициенты Фурье, а А" —

малые изменения в них. Тогда разностная форма теоре.

91

мы Телледжена (2-22) будет иметь внД:

Это уравнение может быть решено относительно 6s, но оно не так полезно, как могло бы быть, потому что должны быть известны фазы токов и напряжения. Оно может быть легко распространено на включение взаим­ ной индуктивности, емкости и активного сопротивления.

В качестве другого примера применения теоремы Тел­ леджена рассмотрим изменение первого порядка в резо­ нансной частоте цепи LCG без потерь и без активных

сопротивлений. Здесь резонансная частота s мнимая: s=y'co. Допустим, что Л' избирает сопряженные коэффи­ циенты Фурье и А" — малые изменения в них. Исполь­

зуя суммовую форму теоремы Телледжена (2-23), нахо­ дим:

Таким образом, изменение резонансной частоты мо­ жет быть найдено, если известна форма токов. Некото­ рые из членов могут быть объяснены как выражения энергии. Интересно заметить, что увеличение энергии в каком-либо конденсаторе или катушке индуктивности не может увеличить собственную частоту даже при нали­

важным в определении собственной частоты, поскольку он запасает энергию. Аналогичные выражения можно вывести для цепей RL и RC.

Теорема Телледжена также может привести нас к по­ лезным выражениям для конечных изменений в резо­ нансной частоте. Пусть цепь после случившихся в ней изменений будет обозначена' штрихом, тогда s' будет

новой собственной частотой. Если Л' избирает коэффи­ циенты Фурье до изменения, а Л "— после изменения,

92

fö разностная форма теоремы Телледжена (2-22) приве­ дет для 'Цепей RLCG к уравнению

которое может быть решено относительно конечной раз­ ности s'—s:

Подобным же образом может быть получено выра­ жение, включающее в себя сопряженные комплексы. Из сильной формы теоремы Телледжена (5-84) найдем:

Сумма и разность этих двух выражений дают выра­ жения для з'* + з и s'*—з.

5-24. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ФОСТЕРА

Фостер (1949 г.) привел правило для линейных це­ пей с двухполюсными элементами без трансформаторов (для простоты мы не рассматриваем цепи с более чем одной отдельной частью) [Л. 58]. Если полное сопротив­

ление каждой ветви цепи обозначим через za, а входное

сопротивление цепи при возбуждении с зажимов этой

93

ветви через 2 а, то правило Фостера гласит:

(5-115)

где пі обозначает количество узлов в цепи.

Этот результат может быть доказан с помощью тео­ ремы Телледжеиа, хотя имеются и другие доказательст­ ва (Фостер, Вайнберг) [Л. 58, 59, 165, 166]. Возьмем какой-либо узел и назовем его «земля». Другие nt— 1

узлов выведем к зажимам; таким образом, цепь имеет теперь nt— 1 входов. Определим два типа питания этой цепи. В первом, обозначенном индексом s, единичный ток введен во вход s, а остальные входы имеют токи,

равные нулю. Во втором, обозначенном значком s и тильдой над буквой, все напряжения удерживаются на нуле, за исключением единичного напряжения, прило­ женного к входу s. Эти два режима питания возможны, если цепь не содержит идеальных трансформаторов, разомкнутых или короткозамкнутых ветвей. При этих

на к узлу «; в этом последнем случае оно р авн ое 1. Также заметим, что поскольку Za является полным сопротивле­

нием цепи, измеренным с зажимов а-й ветви, оно нахо­ дится путем рассмотрения напряжения Ua, когда еди­

ничный ток вводится в один из ее узлов и отводится с другого. При применении принципа наложения

ветвь.

Если допустить, что А ' избирает один из режимов питания, а А" — другой, оба с одного и того же входа«,

то уравнение (2-20) сильной формы теоремы Телледжена примет вид:

Левая часть уравнения равна единице, потому что сумма по входам исключает все члены, за исключением одного для входа «. Теперь суммируем по s и находим:

94

По принципу наложения (суперпозиции) действитель­ ные напряжения и токи на входе являются суммой ре­ зультатов действия двух способов питания. Таким обра­ зом, мощность Р будет равна:

Результат, который должен быть доказан, заключает­ ся в том, что оба питания «ортогональны» в том смысле, что мощность Р есть сумма мощностей обеих операций:

Получить доказательство посредством теоремы Телледжена нетрудно. Остается только доказать:

Теперь на каждом входе равно нулю или І'Р или и"р,

так что 2 рі,рЦ,/р= 0. Таким образом, условие, которое необходимо доказать, может быть написано и так:

Применим теорему Телледжена. Позволяем оператору А' избирать операцию, обозначенную штрихом, и А" —

обозначенную двумя штрихами. Теперь разностная фор­ ма теоремы Телледжена (2-22) превратится в выражение

Чтобы увидеть, что левая часть этого уравнения равна нулю, заметим, что правая часть исчезает, так как каждый член в сумме равен нулю:

Бесспорно, доказательство, полученное посредством теоремы Телледжена, может привести ко многим обоб­ щениям условий, для которых эта теорема имеет силу. Теорему недавно заново вывел Намбиар (1969 г.) [Л. 111].

5-26. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ШУМОВ

ДВУХПОЛЮСНИКА

Рассмотрим линейный двухполюсник RLC, внутри

которого имеются разные элементы с различными тем­ пературами. Желательно найти выражение для эквива­ лентной температуры шумов в цепи в величинах темпера­ тур элементов. Предположено, что к каждому резистору

96

подключен последовательно эквивалентный источник на­ пряжения по Тевенм-ну Е л, не коррелированный с други­

ми источниками питания и который имеет среднеквадра­ тичное значение напряжения в интервале частоты А/;

где 7’а есть температура этого резистора.

Наша цель найти эквивалентный источник Тевенина Е для всей цепи и выразить его в величинах «эквивалент­

избирает действия при разомкнутых зажимах, но в при­

Возьмем среднее значение квадрата уравнения (5-128). Так как источники шума в различных резисто­ рах являются по предположению не коррелированными, все перекрестные члены в правой части уравнения исче­ зают и получается:

Этот результат был доказан А. А. М. Сале (частное сообщение) и Холтом и Ли (1969 г.) [Л. 73]. При исполь-

зованші теоремы Кона [уравнение (6-4)] результат мож­ но выразить в функции от dZjdZa как и было сделано

Сале, Холтом и Ли. Возможны обобщения, например на необратимые цепи, и теорема Телледжена использу­ ется для выполнения таких обобщений.

ГЛАВА ШЕСТАЯ

ПРИМЕНЕНИЕ К ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ЦЕПЯМ

Теорема Телледжена применима к цепям с элементами, кото­ рые изменяются (умышленно или не умышленно), так как в ее до­ казательстве конститутивные законы элементов игнорируются. При­ водимые здесь теоремы избраны для демонстрации широкой приме­ нимости и общности теоремы Телледжена. При этом, если не сформулировано иначе, все токи, напряжения и волновые переменные являются частотными переменными.

Мы полагаем, что теорема Телледжена окажется весьма полез­ ной в анализах чувствительности. В большинстве дискуссий о чув­ ствительности (например, Тиме, 1962 г.; Шеффлер, 1964 г.; Блостепи, 1967 г.) теорема Телледжена не применялась, за исключением Киши и Кила ('1967 г.) [Л. 10, 82, 140, 156].

6-1. ТЕОРЕМА КОНА

Важный результат, связывающий изменения во входном пол­ ном сопротивлении двухполюсника с изменениями в полных сопро­ тивлениях внутренних ветвей, доказали независимо друг от друга

Чиваллери, 1965 г.; Киши и Кида, 1967 г.) [Л. 2, 3, 15, 16, 25, 29, 31—33, 61, 74, 77, 81, 95, 96, 101, 127]. Для доказательства своей1

1 В конце 20-х годов X. В. Боде из Телефонных лабораторий

Белла тоже вывел и применил эту теорему, однако в печати она им никогда не опубликовывалась и никаких сведений об ее применении не сообщалось (частное сообщение Боде).

98

В данном параграфе докажем теорему Копа для простого слу­ чая; ее обобщения приводятся в последующих параграфах. Рассмо­ трим двухполюсник с входным полным сопротивлением Z, выполнен­

Подобное соотношение имеет силу для каждой ветви. Если до­ пустим, что А' избирает преобразования Фурье для изменяющихся величин, а А” — малые изменения в них, то разностная форма тео­ ремы Телледжена (2-22) выразится так:

Вследствие уравнения (6-1) и подобных соотношений для каж­ дой ветви (6 -2 ) превратится в выражение

Это и есть основная форма теоремы Кона.

Полагая 2 функцией всех Za, Кои написал теорему в следую­ щем виде:

Теорема Кона носит весьма общий характер. Вариации возмож­ ны по любой причине. Теорему можно применить для установления чувствительности цепи к вариациям температуры или частоты пере­ менного аттенюатора или установления эффекта допусков в пара­ метрах.

Левая часть (6-3) может быть написана в функции проводимо­ сти или коэффициента отражения

Аналогично каждый член в правой части (6-3) может быть или написан в показанной выше форме полного сопротивления, или же выражен через полную проводимость или коэффициент отражения.

Таким образом, например, изменение в коэффициенте отражения двухполюсника, содержащего одну переменную проводимость

будет:

6-2. ТЕОРЕМА КОНА ДЛЯ ОБРАТИМЫХ ЦЕПЕЙ

Теорему Кона можно обобщить на обратимые двухполюсники, не обязательно состоящие из двухзажимных элементов. Снова из разностной формы теоремы Телледжена (2-22) найдем: