
книги из ГПНТБ / Константинов, Б. П. Гидродинамическое звукообразование и распространение звука в ограниченной среде
.pdfчерез время т, являющееся периодом колебания, причем
•г ( х ) = Ж о,
(1,33)
X(т) = —Хй.
Впоследующие периоды т картина движения повто ряется. Условие периодичности позволяет установить связь
между периодом колебания т и отношением х0/а:
■с |
1 |
1 |
х0 |
(1,34) |
sr = |
-ö-------- arc sm — , |
|||
i |
Л |
% |
а |
|
|
Рис. 21. К во |
Рис. 22. Связь между |
|||||
|
просу |
об |
авто |
периодом |
колебания |
и |
|
|
колебаниях |
бью |
отношением |
а. |
|
||
|
щего |
клапана. |
|
|
|
|
|
где |
Т = 2-K\jmlq — период |
свободных |
колебаний |
системы |
|||
(та, |
q). |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, отношение периода между соударе ниями к периоду свободных колебаний системы зависит только от отношения х0/а. На рис. 22 формула (1, 34) дана в виде кривой, представляющей собой отрезок си нусоиды, повернутый на 90°. Все возможные изменения величины х0/а заключаются в пределах от —1 до +1. При х0/а= —1 среднее положение клапана находится над плоскостью А и удар происходит с нулевой скоро стью. В этом случае форма колебаний будет чисто сину соидальной, а период г равен периоду свободных коле баний Т. Когда жо= 0 или же при очень большой ампли туде колебаний (а 2г> х0) форма колебаний представляет повторяющийся отрезок синусоиды, от угла 0 до к; пе
37
риод колебаний г равен половине Т. Смещение нулевого положения под плоскость А (х0 > 0) приводит к даль нейшему сокращению периода г, в пределе (при а -> х0) до нуля. Соотношение (1, 34) действительно в какой-то мере лишь в определенном интервале величии г/Т и х0/а, так как при его выводе не учитывались ни потери, ни время соударения.
Обращаясь к автоколебаниям бьющего клапана, за метим, что здесь возможны два случая: 1) когда удар при колебаниях действительно имеет место; 2) когда отклоне ние клапана в одну сторону со провождается лишь крутым, но плавным увеличением упруго сти.* Можно считать, что рас смотрение одного первого слу чая дает в грубых чертах пред ставление о том, что происходит
иво втором случае. Самовозбуждение бьющего
Рис. 23. |
Характеристика |
клапана, если в состоянии покоя |
|||||
клапанного |
устройства — |
он свободно |
расположен |
над |
|||
трости кларнета на мунд |
плоскостью |
удара, |
происходит |
||||
штуке. |
|
||||||
Вертикальные штриховые |
ли |
точно так же, как |
и проходя |
||||
нии — экспериментально |
опре |
щего. |
|
|
|
|
|
деленные границы, достигаемые |
Представляет |
интерес |
уста |
||||
концом трости при колебаниях. |
|||||||
|
|
|
новить, в какой |
мере ампли |
туда установившихся колебаний определяется нелинейностью характеристики S(x) и в какой — условиями удара.
На рис. 23 представлена характеристика S (я) для трости кларнета на мундштуке, причем вертикальные ли нии отмечают экспериментально определенные границы, достигаемые концом трости при колебаниях. Очевидно, что здесь процесс происходит в пределах линейного участка и ограничение амплитуды происходит по дру гой причине.
Будем характеризовать потерю энергии при ударе коэффициентом реституции е, так, что скорость клапана
* Например, для трости кларнета, изображенной на рис. 4, увеличение упругости может явиться следствием частичного при легания трости к мундштуку.
38
после удара х 2 будет меньше скорости до удара хг, Т, К в s < 1 раз:
|
£2 = £ХѴ |
(1, 35) |
Движение клапана между двумя ударами может быть |
||
описано формулой |
|
|
X = |
sin (at + tp), |
(1, 36) |
где 8 — инкремент нарастания амплитуды вследствие отрицательного наклона характеристики трения. Скорость движения будет
x ( t ) = аше5І.\Т |
5 |
(1,37) |
+ ?) + sin + ?) |
Как и ранее, a:0=ßsin f = x (0).
При колебаниях с постоянной амплитудой условие периодичности состоит в том, что
®(т)б = ®(0). |
(1,35а) |
Представим себе колебания с такой большой ампли тудой, что х0/а -> 0 и колебания приближенно представ ляются повторяющимися полусинусоидами; в этом слу чае период повторения т=Т/2. За время свободного по лета скорость увеличится в ехр {8/2} раз. Если умень шение скорости при ударе происходит в меньшее число раз, так, что
е > е х р | — y j , |
(1,38) |
то амплитуда продолжает нарастать до тех |
пор, пока |
не произойдет ограничение из-за загибов характеристики трения. Если же
е < ѳ х р | — y j , |
( 1 , 3 9 ) |
то потеря скорости при ударе будет больше, чем увели чение скорости в свободном полете, и амплитуда коле
баний будет уменьшаться. При этом возможны |
два слу |
||
чая: і) когда х0 > 0, т. е. когда |
клапан |
в |
состоянии |
покоя прижат к плоскости удара; |
2) когда |
х0 <' 0. |
|
В первом случае время между ударами |
будет' сокра |
щаться вместе с уменьшением амплитуды, наряду с этим будет уменьшаться и процентное восстановление скорости, в то время как процентная потеря при ударах остается
39
постоянной. В силу этого автоколебания будут зату хать до полного их прекращения. Таким образом, условия
е < exp I — |
|
(1, 40) |
*{-}}■ I |
||
-О> О |
J |
|
*о |
|
|
означают невозможность стационарных |
автоколебаний |
|
бьющего клапана. |
|
|
Во втором случае, при уменьшении амплитуды, время свободного полета будет возрастать и вместе с тем бу дет возрастать и процентное увеличение энергии; в то же время энергия, теряемая при ударе, будет умень шаться, так как соударение будет происходить не при максимальной скорости. Очевидно, что в этом случае обязательно установятся стационарные колебания, как бы велика ни была потеря скорости при ударе. Пусть при ударе происходит полная потеря скорости так, что е=0; тогда амплитуда колебаний будет просто равна х0: а=ха. Форма колебаний будет синусоидальной, а период т равен периоду свободных колебаний Т.
При значениях 0 < е < 1 устанавливаются стационар ные колебания, форма которых представляет повторяю щийся отрезок синусоиды, а период т заключен в пре
делах 772 ^ т ^ Т. |
В каждом частном случае ампли |
|
туда колебаний а, период т и фаза <р выводятся |
из си |
|
стемы уравнений |
|
|
х0 = а sin f, |
|
|
i n |
Г8т1 |
(li41) |
—=exp |
sin (сот -f ?), |
|
е exp jjrj Гсоз ((от + ср) + |
8 |
|
sin (сот + <р) = COS <f + — sin f. |
|
Вкакой мере изложенные соображения приложимы
креальным системам клапанов, показывают следующие
цифры. Коэффициент реституции е полированного сталь ного шарика при ударе о каленую стальную плиту со ставляет 0.7—0.9. Коэффициенты реституции, определен ные нами для звукообразователей с бьющим клапаном, ко леблются в пределах от 0.01 до 0.1. Инкремент нарастания колебаний изменяется от нуля до нескольких десятых. Таким образом, практически всегда е < ехр {— 8/2} и
40
установление стационарной амплитуды связано с поте рями при ударе.
Практически во всех случаях 8 можно считать малым и вместо (1, 41) пользоваться простыми формулами
Эксперименты, проведенные с проходящим язычком гармонии, к которому подводилось препятствие в виде стального шарика, припаянного к концу микрометричес кого винта, в основном подтвердили изложенные выше выводы, а именно: 1) приближение шарика до соударе ния вызывало уменьшение размаха колебаний и повыше ние частоты; 2) форма колебаний представляла повторяю щийся отрезок синусоиды; 3) при задании некоторого
нажима |
шарика на |
клапан возбуждение |
колебаний |
ни |
в мягком, ни в жестком режиме места не имело. |
• |
|||
При |
наклеивании |
на шарик кусочка |
тонкой резины |
можно было довести коэффициенты восстановления до величины, близкой к нулю. Форма колебаний в этом случае была практически чистой синусоидой, а частота равнялась частоте свободных колебаний. Шарик с резин кой работает как простой ограничитель, приближение и удаление его на определенную величину вызывает точно такое же изменение амплитуды колебаний.
§1,8. Автоколебания акустического резонатора
В§ 1, 5 было показано, что клапан с моду лируемой щелью является отрицательным акустическим
сопротивлением, если реальная часть выражения ил dS -j.-
-f- Sjpu^ 0. В этом двучлене отрицательным может быть только первый член. Для малых синусоидальных коле баний его можно представить в следующем виде:
dS |
dS X |
dS S q |
X |
dS So |
Ѵд dp |
VjI dx Др |
Ujl dx jw |
S q&p |
Ѵд dx /ш M ’ |
41
где S 0—по-прежнему эквивалентная площадь поверхности клапана, а С„ — механическое сопротивление клапана.
Если dS/dx < 0, т. е. отклонение клапана в направ лении потока (в схеме рис. 14) вызывает уменьшение щели, то для возбуждения необходимо Im {(„} < 0. Для клапана «закрывающегося» dS/dx )> О и Іш (См) 0. Если клапан представляет собой систему с одной степе нью свободы, то
Im {(„} < 0 при (о < Q, Im {Сы} > 0 при m > Q . Та ким образом, возбуждение резонатора «закрывающимся» клапаном возможно только тогда, когда клапан имеет частоту собственных колебаний более высокую, чем ча стота возбуждающихся автоколебаний резонатора. Для «открывающегося» клапана соотношение обратное, его ча стота должна быть ниже частоты резонатора.
Обращаясь к реальным преобразователям, мы можем констатировать, что выведенные здесь общие соотношения полностью подтверждаются.
Так, кларнет, саксофон, гобой, фагот имеют систему «закрывающегося» клапана, и частота последнего лежит существенно выше частоты возбуждаемых звуков. Для группы медных духовых инструментов, а также для си стемы тайфона клапан (губы музыканта, мембрана) от крывается при увеличении средней разности давлений.
Как показали измерения на |
резиновой |
имитации |
губ, |
а также на губах музыканта |
и мембране |
тайфона |
[14], |
во всех этих случаях частота клапана ниже частоты возбуждаемых звуков.
В свете изложенных соображений становится ясным, почему возбуждение системы, подобной кларнету, в ши роком диапазоне частот происходит.практически без ре гулировки клапана; сильный поджим трости губой необ ходим лишь в самой верхней части диапазона, а именно с целью повышения ее частоты для создания возмож ности возбуждения. Наоборот, для возбуждения медного
42
инструмента необходима специальная регулировка губ, чтобы извлечь каждый последующий обертон. Было по казано, что при извлечении звуков медного инстру мента без помощи музыканта приходится для каждой ноты изготовлять отдельный экземпляр имитирующих ре зиновых «губ». Очевидно, что извлечение звука на одном из полутора десятков обертонов в зависимости от жела ния музыканта происходит таким образом, что частота губ делается несколько ниже частоты извлекаемого обер тона и выше частоты предыдущего. В этих условиях все нижние тоны не смогут возбудиться, так как клапан на этих частотах представляет активное положительное со противление; верхние тона труднее возбуждаются вслед ствие возрастания порога возбуждения с частотой; в результате создаются условия для возбуждения одного единственного тона.
Из изложенного выше видно, что автоколебания в клапанном преобразователе возникают благодаря вза имному влиянию, через модулируемый поток, двух сиѳтем: 1) механической — клапана и 2) акустической — резонатора. В общем случае можно говорить лишь об автоколебаниях системы с двумя степенями свободы. Именно так и рассматривали возбуждение язычковой трубы Вин и Фогель [3]. Как уже указывалось выше (см. § 1,3), они пришли к заключению, что возбуждение происходит на той из двух частот связанной системы, которой соответствует меньший декремент затухания.
Для того чтобы теоретически осветить этот вопрос, рассмотрим уравнения, управляющие автоколебаниями та кой связанной системы.
Пусть движение клапана задается одной координа той X, а движение резонатора — мгновенным значением колебательной части давления р. Для упрощения выкла док примем: 1) полное отсутствие потерь в обеих систе мах; 2) постоянство линейной скорости газового потока.*
Движение резонатора и клапана описывается следую щими уравнениями:
1) уравнение сплошности среды
dp
— 1''Л = Р° К — уоб — S QX).
* Т. е. малость колебательного давления по отношенпю к сред нему перепаду.
43
'гДе р — колебание плотности, ьх — объемная колебатель ная скорость в устье резонатора, ѵо6 — объемная скорость газового потока в щели, равная v^S (х), V — объем ре зонатора, р0 — средняя плотность среды;
2) уравнение движения массы воздуха в горле резо натора
|
|
|
I |
dv1 |
|
|
|
|
|
|
|
?0T1~dГ = '~p, |
|
|
|||
где I — длйна, |
— плопДадь |
селения |
горла; |
|||||
3) адиабатическое соотношение между изменениями |
||||||||
давления и плотности |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
—Р = с-Р, |
|
|
|
||
где с — скорость звука; |
|
|
|
|
|
|||
4) |
уравнение движеиия клапана |
|
|
|||||
|
|
|
... |
2 |
S„ |
|
|
|
|
|
|
X + |
шкх = |
— р . |
|
|
|
|
|
|
1 |
^ |
т‘ |
|
|
|
Исключая из этих уравнений ѵг и |
р, получим систему |
|||||||
двух |
уравнений |
относительно |
величин р и х: |
|||||
|
|
* |
|
р,.с2/ |
_ |
|
d S \ |
|
|
Р + “IР = — ~ у |
і‘ -)- ѵл |
J , |
|||||
|
|
|
X- +, и,;;!-- SoР, |
|
|
(1,44) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
ij = |
S 0c2/Vl, |
u>l = |
qlm. |
|
||
|
|
|
||||||
Будем искать |
решение (1, 44) |
в |
виде р —р0 exp {Nt} |
|||||
и х = х 0 exp {Nt}\ |
характеристическое |
уравнение будет |
||||||
где |
|
N i + AW- + B N + С = 0, |
|
|||||
|
. |
, |
, |
S2ро£2 |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
•4 — “ I + ш2 + m V » |
|
|||||
|
|
|
SoPn£_2 |
4S |
|
|
|
|
|
|
|
т |
V |
dx ’ |
|
|
С = шН-
dS
Вотсутствие дутья — = 0 и, следовательно, В = 0 ;
решение для /V будет
44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,45) |
Допустим, |
что |
поток |
вносит |
лишь |
малЬіе |
изменения |
|||||
в значения N lt 2. |
|
Положим при |
|
0, |
но |
малом, что |
|||||
N'it2= Ni, 2+AJVlf 2- |
Подставляя |
ІѴ^, |
в |
характеристи |
|||||||
ческое уравнение вместо N и учитывая лишь первые |
|||||||||||
степени величин |
ДтѴ^ а, |
получим |
для их |
определения |
|||||||
формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
длгі,2 ----- 4/Ѵ2>2 + 2А |
|
|
|
|
|
||||
Подставляя |
сюда значения |
для N \ t 2 |
из |
формулы |
|||||||
(1, 45), получим окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
д/ѵ1 = |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 JА* —• АС ’ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,46) |
|||
|
|
Д/Ѵ2= + |
В |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 'Ja *—4c ' |
|
|
|
|
|
||||
т. е. ДАД и АЛД — величины разных |
знаков. Это озна |
||||||||||
чает, что два вида |
автоколебаний |
одновременно |
суще |
||||||||
ствовать не могут; |
уменьшение декремента |
одного |
вида |
всегда сопровождается увеличением декремента затухания другого вида. Формы колебаний, в смысле возможности их возбуждения, меняются местами, если изменить на
правление |
дутья |
на обратное |
(изменение |
знака dS/dx |
и В). |
|
|
|
|
Для опытной проверки этого результата был собран |
||||
резонатор |
в виде |
деревянного |
ящичка с |
отверстиями. |
В качестве клапана-возбудителя использовалась трость кларнета. Расположение деталей показано на рис. 24. При возбуждении системы звуком от громкоговорителя в колебаниях трости в отсутствие дутья можно было оп ределить два резонанса на частотах ѵ2=275 гц и ѵ2=490 гц. Соответствующие декременты затухания, определенные по методу резонансной кривой, были 81=0.15 и 82=0.07.
При подаче давления так, что это вызывало умень шение щели, можно было возбудить колебания только с частотой—297 гц. При перемене направления дутья на обратное возбуждались колебания только с часто той~ 500 гц.
45
'Таким образом, вывод Вина и Фогеля должен бытВ Неправлен в том смысле, что определяющим в возникно вении одного из двух видов колебаний является не дек ремент затухания, а вид характеристики dSIdx.
В практических случаях влияние механической и аку стической систем друг на друга слабое. Так, в музыкаль ных духовых инструментах клапан дает лишь очень не большие поправки к частоте автоколебаний резонатора.
В нашей |
цитированной |
||||
выше работе |
[14] дан |
||||
подробный вывод |
урав |
||||
нений, |
управляющих |
||||
автоколебаниями |
резо |
||||
натора Гельмгольца. |
Не |
||||
повторяя |
здесь |
этого |
|||
громоздкого вывода, по |
|||||
зволим |
себе |
привести |
|||
лишь два его резуль |
|||||
тата. |
|
акустиче |
|||
|
Полагаем |
||||
скую податливость кла |
|||||
пана равной |
|
|
|
||
Рис. 24. Схема устройства для иссле |
Щ Н = |
л (и) + ів («). |
|||
дования автоколебаний акустиче |
|||||
ского резонатора с тростью кларнета |
Линейная |
поправка |
|||
(7) в качестве клапана-возбудителя. к |
объему |
резонатора |
|||
(а |
следовательно, |
и |
к |
||
частоте) вследствие влияния податливости клапана |
будет |
||||
В (со) |
|
|
|
(1,47) |
|
ДУ = Рос* 50 |
|
|
|
Когда частота клапана много выше частоты автоколе баний, можно положить В (ш) = си Вѵ где В х — константа. Как уже указывалось выше, это соотношение имеет место
упреобразователей типа кларнета.
Сдругой стороны, когда податливость клапана носит инерционный характер (губы музыканта), можно положить
В(ш) = —В 2/ш, где В 2 — константа.
Подстановка значений В (ш) в (1, 47) дает для по правок AI па длину трубы (в предположении, что резо натор выполнен в виде трубы)
А11== Р о с ^ о і1 , |
(1,48) |
° к |
|
46