книги из ГПНТБ / Константинов, Б. П. Гидродинамическое звукообразование и распространение звука в ограниченной среде

через время т, являющееся периодом колебания, причем

•г ( х ) = Ж о,

(1,33)

X(т) = —Хй.

Впоследующие периоды т картина движения повто­ ряется. Условие периодичности позволяет установить связь

между периодом колебания т и отношением х0/а:

Таким образом, отношение периода между соударе­ ниями к периоду свободных колебаний системы зависит только от отношения х0/а. На рис. 22 формула (1, 34) дана в виде кривой, представляющей собой отрезок си­ нусоиды, повернутый на 90°. Все возможные изменения величины х0/а заключаются в пределах от —1 до +1. При х0/а= —1 среднее положение клапана находится над плоскостью А и удар происходит с нулевой скоро­ стью. В этом случае форма колебаний будет чисто сину­ соидальной, а период г равен периоду свободных коле­ баний Т. Когда жо= 0 или же при очень большой ампли­ туде колебаний (а 2г> х0) форма колебаний представляет повторяющийся отрезок синусоиды, от угла 0 до к; пе­

37

риод колебаний г равен половине Т. Смещение нулевого положения под плоскость А (х0 > 0) приводит к даль­ нейшему сокращению периода г, в пределе (при а -> х0) до нуля. Соотношение (1, 34) действительно в какой-то мере лишь в определенном интервале величии г/Т и х0/а, так как при его выводе не учитывались ни потери, ни время соударения.

Обращаясь к автоколебаниям бьющего клапана, за­ метим, что здесь возможны два случая: 1) когда удар при колебаниях действительно имеет место; 2) когда отклоне­ ние клапана в одну сторону со­ провождается лишь крутым, но плавным увеличением упруго­ сти.* Можно считать, что рас­ смотрение одного первого слу­ чая дает в грубых чертах пред­ ставление о том, что происходит

иво втором случае. Самовозбуждение бьющего

туда установившихся колебаний определяется нелинейностью характеристики S(x) и в какой — условиями удара.

На рис. 23 представлена характеристика S (я) для трости кларнета на мундштуке, причем вертикальные ли­ нии отмечают экспериментально определенные границы, достигаемые концом трости при колебаниях. Очевидно, что здесь процесс происходит в пределах линейного участка и ограничение амплитуды происходит по дру­ гой причине.

Будем характеризовать потерю энергии при ударе коэффициентом реституции е, так, что скорость клапана

* Например, для трости кларнета, изображенной на рис. 4, увеличение упругости может явиться следствием частичного при­ легания трости к мундштуку.

38

после удара х 2 будет меньше скорости до удара хг, Т, К в s < 1 раз:

где 8 — инкремент нарастания амплитуды вследствие отрицательного наклона характеристики трения. Скорость движения будет

Как и ранее, a:0=ßsin f = x (0).

При колебаниях с постоянной амплитудой условие периодичности состоит в том, что

Представим себе колебания с такой большой ампли­ тудой, что х0/а -> 0 и колебания приближенно представ­ ляются повторяющимися полусинусоидами; в этом слу­ чае период повторения т=Т/2. За время свободного по­ лета скорость увеличится в ехр {8/2} раз. Если умень­ шение скорости при ударе происходит в меньшее число раз, так, что

не произойдет ограничение из-за загибов характеристики трения. Если же

то потеря скорости при ударе будет больше, чем увели­ чение скорости в свободном полете, и амплитуда коле­

щаться вместе с уменьшением амплитуды, наряду с этим будет уменьшаться и процентное восстановление скорости, в то время как процентная потеря при ударах остается

39

постоянной. В силу этого автоколебания будут зату­ хать до полного их прекращения. Таким образом, условия

Во втором случае, при уменьшении амплитуды, время свободного полета будет возрастать и вместе с тем бу­ дет возрастать и процентное увеличение энергии; в то же время энергия, теряемая при ударе, будет умень­ шаться, так как соударение будет происходить не при максимальной скорости. Очевидно, что в этом случае обязательно установятся стационарные колебания, как бы велика ни была потеря скорости при ударе. Пусть при ударе происходит полная потеря скорости так, что е=0; тогда амплитуда колебаний будет просто равна х0: а=ха. Форма колебаний будет синусоидальной, а период т равен периоду свободных колебаний Т.

При значениях 0 < е < 1 устанавливаются стационар­ ные колебания, форма которых представляет повторяю­ щийся отрезок синусоиды, а период т заключен в пре­

Вкакой мере изложенные соображения приложимы

креальным системам клапанов, показывают следующие

цифры. Коэффициент реституции е полированного сталь­ ного шарика при ударе о каленую стальную плиту со­ ставляет 0.7—0.9. Коэффициенты реституции, определен­ ные нами для звукообразователей с бьющим клапаном, ко­ леблются в пределах от 0.01 до 0.1. Инкремент нарастания колебаний изменяется от нуля до нескольких десятых. Таким образом, практически всегда е < ехр {— 8/2} и

40

установление стационарной амплитуды связано с поте­ рями при ударе.

Практически во всех случаях 8 можно считать малым и вместо (1, 41) пользоваться простыми формулами

Эксперименты, проведенные с проходящим язычком гармонии, к которому подводилось препятствие в виде стального шарика, припаянного к концу микрометричес­ кого винта, в основном подтвердили изложенные выше выводы, а именно: 1) приближение шарика до соударе­ ния вызывало уменьшение размаха колебаний и повыше­ ние частоты; 2) форма колебаний представляла повторяю­ щийся отрезок синусоиды; 3) при задании некоторого

можно было довести коэффициенты восстановления до величины, близкой к нулю. Форма колебаний в этом случае была практически чистой синусоидой, а частота равнялась частоте свободных колебаний. Шарик с резин­ кой работает как простой ограничитель, приближение и удаление его на определенную величину вызывает точно такое же изменение амплитуды колебаний.

§1,8. Автоколебания акустического резонатора

В§ 1, 5 было показано, что клапан с моду­ лируемой щелью является отрицательным акустическим

сопротивлением, если реальная часть выражения ил dS -j.-

-f- Sjpu^ 0. В этом двучлене отрицательным может быть только первый член. Для малых синусоидальных коле­ баний его можно представить в следующем виде:

41

где S 0—по-прежнему эквивалентная площадь поверхности клапана, а С„ — механическое сопротивление клапана.

Если dS/dx < 0, т. е. отклонение клапана в направ­ лении потока (в схеме рис. 14) вызывает уменьшение щели, то для возбуждения необходимо Im {(„} < 0. Для клапана «закрывающегося» dS/dx )> О и Іш (См) 0. Если клапан представляет собой систему с одной степе­ нью свободы, то

Im {(„} < 0 при (о < Q, Im {Сы} > 0 при m > Q . Та­ ким образом, возбуждение резонатора «закрывающимся» клапаном возможно только тогда, когда клапан имеет частоту собственных колебаний более высокую, чем ча­ стота возбуждающихся автоколебаний резонатора. Для «открывающегося» клапана соотношение обратное, его ча­ стота должна быть ниже частоты резонатора.

Обращаясь к реальным преобразователям, мы можем констатировать, что выведенные здесь общие соотношения полностью подтверждаются.

Так, кларнет, саксофон, гобой, фагот имеют систему «закрывающегося» клапана, и частота последнего лежит существенно выше частоты возбуждаемых звуков. Для группы медных духовых инструментов, а также для си­ стемы тайфона клапан (губы музыканта, мембрана) от­ крывается при увеличении средней разности давлений.

во всех этих случаях частота клапана ниже частоты возбуждаемых звуков.

В свете изложенных соображений становится ясным, почему возбуждение системы, подобной кларнету, в ши­ роком диапазоне частот происходит.практически без ре­ гулировки клапана; сильный поджим трости губой необ­ ходим лишь в самой верхней части диапазона, а именно с целью повышения ее частоты для создания возмож­ ности возбуждения. Наоборот, для возбуждения медного

42

инструмента необходима специальная регулировка губ, чтобы извлечь каждый последующий обертон. Было по­ казано, что при извлечении звуков медного инстру­ мента без помощи музыканта приходится для каждой ноты изготовлять отдельный экземпляр имитирующих ре­ зиновых «губ». Очевидно, что извлечение звука на одном из полутора десятков обертонов в зависимости от жела­ ния музыканта происходит таким образом, что частота губ делается несколько ниже частоты извлекаемого обер­ тона и выше частоты предыдущего. В этих условиях все нижние тоны не смогут возбудиться, так как клапан на этих частотах представляет активное положительное со­ противление; верхние тона труднее возбуждаются вслед­ ствие возрастания порога возбуждения с частотой; в результате создаются условия для возбуждения одного единственного тона.

Из изложенного выше видно, что автоколебания в клапанном преобразователе возникают благодаря вза­ имному влиянию, через модулируемый поток, двух сиѳтем: 1) механической — клапана и 2) акустической — резонатора. В общем случае можно говорить лишь об автоколебаниях системы с двумя степенями свободы. Именно так и рассматривали возбуждение язычковой трубы Вин и Фогель [3]. Как уже указывалось выше (см. § 1,3), они пришли к заключению, что возбуждение происходит на той из двух частот связанной системы, которой соответствует меньший декремент затухания.

Для того чтобы теоретически осветить этот вопрос, рассмотрим уравнения, управляющие автоколебаниями та­ кой связанной системы.

Пусть движение клапана задается одной координа­ той X, а движение резонатора — мгновенным значением колебательной части давления р. Для упрощения выкла­ док примем: 1) полное отсутствие потерь в обеих систе­ мах; 2) постоянство линейной скорости газового потока.*

Движение резонатора и клапана описывается следую­ щими уравнениями:

1) уравнение сплошности среды

dp

— 1''Л = Р° К — уоб — S QX).

* Т. е. малость колебательного давления по отношенпю к сред­ нему перепаду.

43

'гДе р — колебание плотности, ьх — объемная колебатель­ ная скорость в устье резонатора, ѵо6 — объемная скорость газового потока в щели, равная v^S (х), V — объем ре­ зонатора, р0 — средняя плотность среды;

2) уравнение движения массы воздуха в горле резо­ натора

С = шН-

dS

Вотсутствие дутья — = 0 и, следовательно, В = 0 ;

решение для /V будет

44

всегда сопровождается увеличением декремента затухания другого вида. Формы колебаний, в смысле возможности их возбуждения, меняются местами, если изменить на­

В качестве клапана-возбудителя использовалась трость кларнета. Расположение деталей показано на рис. 24. При возбуждении системы звуком от громкоговорителя в колебаниях трости в отсутствие дутья можно было оп­ ределить два резонанса на частотах ѵ2=275 гц и ѵ2=490 гц. Соответствующие декременты затухания, определенные по методу резонансной кривой, были 81=0.15 и 82=0.07.

При подаче давления так, что это вызывало умень­ шение щели, можно было возбудить колебания только с частотой—297 гц. При перемене направления дутья на обратное возбуждались колебания только с часто­ той~ 500 гц.

45

'Таким образом, вывод Вина и Фогеля должен бытВ Неправлен в том смысле, что определяющим в возникно­ вении одного из двух видов колебаний является не дек­ ремент затухания, а вид характеристики dSIdx.

В практических случаях влияние механической и аку­ стической систем друг на друга слабое. Так, в музыкаль­ ных духовых инструментах клапан дает лишь очень не­ большие поправки к частоте автоколебаний резонатора.

Когда частота клапана много выше частоты автоколе­ баний, можно положить В (ш) = си Вѵ где В х — константа. Как уже указывалось выше, это соотношение имеет место

упреобразователей типа кларнета.

Сдругой стороны, когда податливость клапана носит инерционный характер (губы музыканта), можно положить

В(ш) = —В 2/ш, где В 2 — константа.

Подстановка значений В (ш) в (1, 47) дает для по­ правок AI па длину трубы (в предположении, что резо­ натор выполнен в виде трубы)

46