Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Константинов, Б. П. Гидродинамическое звукообразование и распространение звука в ограниченной среде

.pdf
Скачиваний:
33
Добавлен:
19.10.2023
Размер:
5.14 Mб
Скачать

через время т, являющееся периодом колебания, причем

•г ( х ) = Ж о,

(1,33)

X(т) = Хй.

Впоследующие периоды т картина движения повто­ ряется. Условие периодичности позволяет установить связь

между периодом колебания т и отношением х0/а:

■с

1

1

х0

(1,34)

sr =

-ö-------- arc sm — ,

i

Л

%

а

 

 

Рис. 21. К во­

Рис. 22. Связь между

 

просу

об

авто­

периодом

колебания

и

 

колебаниях

бью­

отношением

а.

 

 

щего

клапана.

 

 

 

 

где

Т = 2-K\jmlq — период

свободных

колебаний

системы

(та,

q).

 

 

 

 

 

 

Таким образом, отношение периода между соударе­ ниями к периоду свободных колебаний системы зависит только от отношения х0/а. На рис. 22 формула (1, 34) дана в виде кривой, представляющей собой отрезок си­ нусоиды, повернутый на 90°. Все возможные изменения величины х0/а заключаются в пределах от —1 до +1. При х0/а= —1 среднее положение клапана находится над плоскостью А и удар происходит с нулевой скоро­ стью. В этом случае форма колебаний будет чисто сину­ соидальной, а период г равен периоду свободных коле­ баний Т. Когда жо= 0 или же при очень большой ампли­ туде колебаний 2г> х0) форма колебаний представляет повторяющийся отрезок синусоиды, от угла 0 до к; пе­

37

риод колебаний г равен половине Т. Смещение нулевого положения под плоскость А (х0 > 0) приводит к даль­ нейшему сокращению периода г, в пределе (при а -> х0) до нуля. Соотношение (1, 34) действительно в какой-то мере лишь в определенном интервале величии г/Т и х0/а, так как при его выводе не учитывались ни потери, ни время соударения.

Обращаясь к автоколебаниям бьющего клапана, за­ метим, что здесь возможны два случая: 1) когда удар при колебаниях действительно имеет место; 2) когда отклоне­ ние клапана в одну сторону со­ провождается лишь крутым, но плавным увеличением упруго­ сти.* Можно считать, что рас­ смотрение одного первого слу­ чая дает в грубых чертах пред­ ставление о том, что происходит

иво втором случае. Самовозбуждение бьющего

Рис. 23.

Характеристика

клапана, если в состоянии покоя

клапанного

устройства —

он свободно

расположен

над

трости кларнета на мунд­

плоскостью

удара,

происходит

штуке.

 

Вертикальные штриховые

ли­

точно так же, как

и проходя­

нии — экспериментально

опре­

щего.

 

 

 

 

деленные границы, достигаемые

Представляет

интерес

уста­

концом трости при колебаниях.

 

 

 

новить, в какой

мере ампли­

туда установившихся колебаний определяется нелинейностью характеристики S(x) и в какой — условиями удара.

На рис. 23 представлена характеристика S (я) для трости кларнета на мундштуке, причем вертикальные ли­ нии отмечают экспериментально определенные границы, достигаемые концом трости при колебаниях. Очевидно, что здесь процесс происходит в пределах линейного участка и ограничение амплитуды происходит по дру­ гой причине.

Будем характеризовать потерю энергии при ударе коэффициентом реституции е, так, что скорость клапана

* Например, для трости кларнета, изображенной на рис. 4, увеличение упругости может явиться следствием частичного при­ легания трости к мундштуку.

38

после удара х 2 будет меньше скорости до удара хг, Т, К в s < 1 раз:

 

£2 = £ХѴ

(1, 35)

Движение клапана между двумя ударами может быть

описано формулой

 

 

X =

sin (at + tp),

(1, 36)

где 8 — инкремент нарастания амплитуды вследствие отрицательного наклона характеристики трения. Скорость движения будет

x ( t ) = аше5І.\Т

5

(1,37)

+ ?) + sin + ?)

Как и ранее, a:0=ßsin f = x (0).

При колебаниях с постоянной амплитудой условие периодичности состоит в том, что

®(т)б = ®(0).

(1,35а)

Представим себе колебания с такой большой ампли­ тудой, что х0/а -> 0 и колебания приближенно представ­ ляются повторяющимися полусинусоидами; в этом слу­ чае период повторения т=Т/2. За время свободного по­ лета скорость увеличится в ехр {8/2} раз. Если умень­ шение скорости при ударе происходит в меньшее число раз, так, что

е > е х р | — y j ,

(1,38)

то амплитуда продолжает нарастать до тех

пор, пока

не произойдет ограничение из-за загибов характеристики трения. Если же

е < ѳ х р | — y j ,

( 1 , 3 9 )

то потеря скорости при ударе будет больше, чем увели­ чение скорости в свободном полете, и амплитуда коле­

баний будет уменьшаться. При этом возможны

два слу­

чая: і) когда х0 > 0, т. е. когда

клапан

в

состоянии

покоя прижат к плоскости удара;

2) когда

х0 <' 0.

В первом случае время между ударами

будет' сокра­

щаться вместе с уменьшением амплитуды, наряду с этим будет уменьшаться и процентное восстановление скорости, в то время как процентная потеря при ударах остается

39

постоянной. В силу этого автоколебания будут зату­ хать до полного их прекращения. Таким образом, условия

е < exp I —

 

(1, 40)

*{-}}■ I

-О> О

J

 

 

 

означают невозможность стационарных

автоколебаний

бьющего клапана.

 

 

Во втором случае, при уменьшении амплитуды, время свободного полета будет возрастать и вместе с тем бу­ дет возрастать и процентное увеличение энергии; в то же время энергия, теряемая при ударе, будет умень­ шаться, так как соударение будет происходить не при максимальной скорости. Очевидно, что в этом случае обязательно установятся стационарные колебания, как бы велика ни была потеря скорости при ударе. Пусть при ударе происходит полная потеря скорости так, что е=0; тогда амплитуда колебаний будет просто равна х0: а=ха. Форма колебаний будет синусоидальной, а период т равен периоду свободных колебаний Т.

При значениях 0 < е < 1 устанавливаются стационар­ ные колебания, форма которых представляет повторяю­ щийся отрезок синусоиды, а период т заключен в пре­

делах 772 ^ т ^ Т.

В каждом частном случае ампли­

туда колебаний а, период т и фаза <р выводятся

из си­

стемы уравнений

 

 

х0 = а sin f,

 

i n

Г8т1

(li41)

—=exp

sin (сот -f ?),

е exp jjrj Гсоз ((от + ср) +

8

 

sin (сот + <р) = COS <f + — sin f.

 

Вкакой мере изложенные соображения приложимы

креальным системам клапанов, показывают следующие

цифры. Коэффициент реституции е полированного сталь­ ного шарика при ударе о каленую стальную плиту со­ ставляет 0.7—0.9. Коэффициенты реституции, определен­ ные нами для звукообразователей с бьющим клапаном, ко­ леблются в пределах от 0.01 до 0.1. Инкремент нарастания колебаний изменяется от нуля до нескольких десятых. Таким образом, практически всегда е < ехр {— 8/2} и

40

установление стационарной амплитуды связано с поте­ рями при ударе.

Практически во всех случаях 8 можно считать малым и вместо (1, 41) пользоваться простыми формулами

Эксперименты, проведенные с проходящим язычком гармонии, к которому подводилось препятствие в виде стального шарика, припаянного к концу микрометричес­ кого винта, в основном подтвердили изложенные выше выводы, а именно: 1) приближение шарика до соударе­ ния вызывало уменьшение размаха колебаний и повыше­ ние частоты; 2) форма колебаний представляла повторяю­ щийся отрезок синусоиды; 3) при задании некоторого

нажима

шарика на

клапан возбуждение

колебаний

ни

в мягком, ни в жестком режиме места не имело.

При

наклеивании

на шарик кусочка

тонкой резины

можно было довести коэффициенты восстановления до величины, близкой к нулю. Форма колебаний в этом случае была практически чистой синусоидой, а частота равнялась частоте свободных колебаний. Шарик с резин­ кой работает как простой ограничитель, приближение и удаление его на определенную величину вызывает точно такое же изменение амплитуды колебаний.

§1,8. Автоколебания акустического резонатора

В§ 1, 5 было показано, что клапан с моду­ лируемой щелью является отрицательным акустическим

сопротивлением, если реальная часть выражения ил dS -j.-

-f- Sjpu^ 0. В этом двучлене отрицательным может быть только первый член. Для малых синусоидальных коле­ баний его можно представить в следующем виде:

dS

dS X

dS S q

X

dS So

Ѵд dp

VjI dx Др

Ujl dx jw

S q&p

Ѵд dx /ш M ’

41

где S 0—по-прежнему эквивалентная площадь поверхности клапана, а С„ — механическое сопротивление клапана.

Если dS/dx < 0, т. е. отклонение клапана в направ­ лении потока (в схеме рис. 14) вызывает уменьшение щели, то для возбуждения необходимо Im {(„} < 0. Для клапана «закрывающегося» dS/dx )> О и Іш (См) 0. Если клапан представляет собой систему с одной степе­ нью свободы, то

Im {(„} < 0 при (о < Q, Im {Сы} > 0 при m > Q . Та­ ким образом, возбуждение резонатора «закрывающимся» клапаном возможно только тогда, когда клапан имеет частоту собственных колебаний более высокую, чем ча­ стота возбуждающихся автоколебаний резонатора. Для «открывающегося» клапана соотношение обратное, его ча­ стота должна быть ниже частоты резонатора.

Обращаясь к реальным преобразователям, мы можем констатировать, что выведенные здесь общие соотношения полностью подтверждаются.

Так, кларнет, саксофон, гобой, фагот имеют систему «закрывающегося» клапана, и частота последнего лежит существенно выше частоты возбуждаемых звуков. Для группы медных духовых инструментов, а также для си­ стемы тайфона клапан (губы музыканта, мембрана) от­ крывается при увеличении средней разности давлений.

Как показали измерения на

резиновой

имитации

губ,

а также на губах музыканта

и мембране

тайфона

[14],

во всех этих случаях частота клапана ниже частоты возбуждаемых звуков.

В свете изложенных соображений становится ясным, почему возбуждение системы, подобной кларнету, в ши­ роком диапазоне частот происходит.практически без ре­ гулировки клапана; сильный поджим трости губой необ­ ходим лишь в самой верхней части диапазона, а именно с целью повышения ее частоты для создания возмож­ ности возбуждения. Наоборот, для возбуждения медного

42

инструмента необходима специальная регулировка губ, чтобы извлечь каждый последующий обертон. Было по­ казано, что при извлечении звуков медного инстру­ мента без помощи музыканта приходится для каждой ноты изготовлять отдельный экземпляр имитирующих ре­ зиновых «губ». Очевидно, что извлечение звука на одном из полутора десятков обертонов в зависимости от жела­ ния музыканта происходит таким образом, что частота губ делается несколько ниже частоты извлекаемого обер­ тона и выше частоты предыдущего. В этих условиях все нижние тоны не смогут возбудиться, так как клапан на этих частотах представляет активное положительное со­ противление; верхние тона труднее возбуждаются вслед­ ствие возрастания порога возбуждения с частотой; в результате создаются условия для возбуждения одного единственного тона.

Из изложенного выше видно, что автоколебания в клапанном преобразователе возникают благодаря вза­ имному влиянию, через модулируемый поток, двух сиѳтем: 1) механической — клапана и 2) акустической — резонатора. В общем случае можно говорить лишь об автоколебаниях системы с двумя степенями свободы. Именно так и рассматривали возбуждение язычковой трубы Вин и Фогель [3]. Как уже указывалось выше (см. § 1,3), они пришли к заключению, что возбуждение происходит на той из двух частот связанной системы, которой соответствует меньший декремент затухания.

Для того чтобы теоретически осветить этот вопрос, рассмотрим уравнения, управляющие автоколебаниями та­ кой связанной системы.

Пусть движение клапана задается одной координа­ той X, а движение резонатора — мгновенным значением колебательной части давления р. Для упрощения выкла­ док примем: 1) полное отсутствие потерь в обеих систе­ мах; 2) постоянство линейной скорости газового потока.*

Движение резонатора и клапана описывается следую­ щими уравнениями:

1) уравнение сплошности среды

dp

1''Л = Р° К — уоб — S QX).

* Т. е. малость колебательного давления по отношенпю к сред­ нему перепаду.

43

'гДе р — колебание плотности, ьх — объемная колебатель­ ная скорость в устье резонатора, ѵо6 — объемная скорость газового потока в щели, равная v^S (х), V — объем ре­ зонатора, р0 — средняя плотность среды;

2) уравнение движения массы воздуха в горле резо­ натора

 

 

 

I

dv1

 

 

 

 

 

 

 

?0T1~dГ = '~p,

 

 

где I — длйна,

— плопДадь

селения

горла;

3) адиабатическое соотношение между изменениями

давления и плотности

 

 

 

 

 

 

 

 

—Р = с-Р,

 

 

 

где с — скорость звука;

 

 

 

 

 

4)

уравнение движеиия клапана

 

 

 

 

 

...

2

S„

 

 

 

 

 

 

X +

шкх =

р .

 

 

 

 

 

1

^

т

 

 

 

Исключая из этих уравнений ѵг и

р, получим систему

двух

уравнений

относительно

величин р и х:

 

 

*

 

р,.с2/

_

 

d S \

 

Р + “IР = ~ у

і‘ -)- ѵл

J ,

 

 

 

X- +, и,;;!-- SoР,

 

 

(1,44)

 

 

 

 

 

 

где

 

ij =

S 0c2/Vl,

u>l =

qlm.

 

 

 

 

Будем искать

решение (1, 44)

в

виде р —р0 exp {Nt}

и х = х 0 exp {Nt}\

характеристическое

уравнение будет

где

 

N i + AW- + B N + С = 0,

 

 

.

,

,

S2ро£2

 

 

 

 

 

 

 

 

•4 — “ I + ш2 + m V »

 

 

 

 

SoPn£_2

4S

 

 

 

 

 

 

т

V

dx

 

 

С = шН-

dS

Вотсутствие дутья — = 0 и, следовательно, В = 0 ;

решение для /V будет

44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1,45)

Допустим,

что

поток

вносит

лишь

малЬіе

изменения

в значения N lt 2.

 

Положим при

 

0,

но

малом, что

N'it2= Ni, 2+AJVlf 2-

Подставляя

ІѴ^,

в

характеристи­

ческое уравнение вместо N и учитывая лишь первые

степени величин

ДтѴ^ а,

получим

для их

определения

формулу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

длгі,2 ----- 4/Ѵ2>2 + 2А

 

 

 

 

 

Подставляя

сюда значения

для N \ t 2

из

формулы

(1, 45), получим окончательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д/ѵ1 =

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 JА* —• АС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1,46)

 

 

Д/Ѵ2= +

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 'Ja *—4c '

 

 

 

 

 

т. е. ДАД и АЛД — величины разных

знаков. Это озна­

чает, что два вида

автоколебаний

одновременно

суще­

ствовать не могут;

уменьшение декремента

одного

вида

всегда сопровождается увеличением декремента затухания другого вида. Формы колебаний, в смысле возможности их возбуждения, меняются местами, если изменить на­

правление

дутья

на обратное

(изменение

знака dS/dx

и В).

 

 

 

 

Для опытной проверки этого результата был собран

резонатор

в виде

деревянного

ящичка с

отверстиями.

В качестве клапана-возбудителя использовалась трость кларнета. Расположение деталей показано на рис. 24. При возбуждении системы звуком от громкоговорителя в колебаниях трости в отсутствие дутья можно было оп­ ределить два резонанса на частотах ѵ2=275 гц и ѵ2=490 гц. Соответствующие декременты затухания, определенные по методу резонансной кривой, были 81=0.15 и 82=0.07.

При подаче давления так, что это вызывало умень­ шение щели, можно было возбудить колебания только с частотой—297 гц. При перемене направления дутья на обратное возбуждались колебания только с часто­ той~ 500 гц.

45

'Таким образом, вывод Вина и Фогеля должен бытВ Неправлен в том смысле, что определяющим в возникно­ вении одного из двух видов колебаний является не дек­ ремент затухания, а вид характеристики dSIdx.

В практических случаях влияние механической и аку­ стической систем друг на друга слабое. Так, в музыкаль­ ных духовых инструментах клапан дает лишь очень не­ большие поправки к частоте автоколебаний резонатора.

В нашей

цитированной

выше работе

[14] дан

подробный вывод

урав­

нений,

управляющих

автоколебаниями

резо­

натора Гельмгольца.

Не

повторяя

здесь

этого

громоздкого вывода, по­

зволим

себе

привести

лишь два его резуль­

тата.

 

акустиче­

 

Полагаем

скую податливость кла­

пана равной

 

 

 

Рис. 24. Схема устройства для иссле­

Щ Н =

л (и) + ів («).

дования автоколебаний акустиче­

ского резонатора с тростью кларнета

Линейная

поправка

(7) в качестве клапана-возбудителя. к

объему

резонатора

следовательно,

и

к

частоте) вследствие влияния податливости клапана

будет

В (со)

 

 

 

(1,47)

ДУ = Рос* 50

 

 

 

Когда частота клапана много выше частоты автоколе­ баний, можно положить В (ш) = си Вѵ где В х — константа. Как уже указывалось выше, это соотношение имеет место

упреобразователей типа кларнета.

Сдругой стороны, когда податливость клапана носит инерционный характер (губы музыканта), можно положить

В(ш) = —В 2/ш, где В 2 — константа.

Подстановка значений В (ш) в (1, 47) дает для по­ правок AI па длину трубы (в предположении, что резо­ натор выполнен в виде трубы)

А11== Р о с ^ о і1 ,

(1,48)

° к

 

46

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ