книги из ГПНТБ / Константинов, Б. П. Гидродинамическое звукообразование и распространение звука в ограниченной среде

ется в жидкой среде, ограниченной свободной поверх­ ностью. Так, в море с твердым дном характерно ано­ мально быстрое спадание амплитуды с расстоянием' для звуков с длиной волны, большей учетверенной глубины. Особое значение эти соображения приобретают для не­ глубоких водоемов. Еще одним примером может слу­ жить задача о реакции бесконечной круглой трубы на поршневую мембрану, диаметр которой меньше диаметра трубы. Существенным результатом такого исследования является то, что на ряде частот эта реакция, если не учитывать потерь, приобретает бесконечно большие зна­ чения.

I Во время написания этой книги был опубликован целый ряд работ, посвященных исследованию распро­ странения иеплоских волн в цилиндрических трубах.

акустических фильтров и т. п. Упомянем здесь работы Морза [49], Б. К. Шапиро [50], Бриллюена [51], Бюрка и Лихте [52] и И. П. Пустовойтенко [53].* Несмотря на столь большое внимание к рассматриваемой проблеме, еще много вопросов осталось неисследованными. К этой категории относится и разбираемый § 4,5 вопрос о влия­ нии вязкости и теплопроводности на распространение звука в цилиндрических трубах с твердыми стенками. Без решения этого вопроса нельзя правильно учесть реакцию трубы на источник и определить другие тон­ кие стороны процесса распространения звука.

* В настоящее время физическая акустика обогатилась широ­ ким кругом исследований волноводного распространения звука в неоднородных средах и исследований, посвященных задачам о соб­ ственных значениях и собственных функциях. Ряд примеров, при­ веденных Б. П. Константиновым в этом параграфе, получпл подроб­

М.—Л ., 1940). Этот список можно было бы продолжить. Одиако специалисту, знакомящемуся с этой областью акустики, можно рекомепдовать начать именно с четвертой главы книги Б. П. Кон­ стантинова, чтобы представить себе характерные черты теории рас­ пространения звука в ограниченных областях. Практические след­ ствия рассмотренных здесь задач имеют самостоятельный интерес.

(Прим. ред.).

127

малого размера длины вязких и тепловых волн их можно трактовать как плоские и вблизи искривленных границ. Необходимым условием для допустимости такого рассмот­ рения является малость отношения длины этих волн

рической круглой трубе с твердыми стенками без пред­

шение (4, 89) видоизменяется в том смысле, что корни а°п получают малые добавки, так что решение для звуковой

влияние вязкости и теплопроводности мало, то в процессе

128

ниям и в том числе уравнению сііѵ ѵ=0, имеющему в ци­ линдрических координатах вид

ür, о, г от '■>ѳ>2 примем в виде ехр {— \/Х, 12 (г0 — г) + m!nz -|- +//гѲ}, т. е., примем, что вязкие и тепловые волны экс­

изводит таковую для акустической волны. Это необходимо для согласования с граничными условиями.

Для упрощения выражения граничных условий прежде всего отметим, что с точностью до половинной степени йх'/с2 величина (x'—Ti/XJ, содержащаяся в коэффициен­ тах (4, 91), (4, 93), может быть заменена следующим образом: (x'—Л/Х1)= —(А/Ха) (1—Ах'/с2)ä *—h ll^

Заметим также, что x'—h / \ —( i—у-1) х'. Далее, оче­ видно, можно пренебречь третьими членами по сравнению со вторыми в каждом из уравнений (4, 91) и (4, 92). В

vz—(/г/Хх) А х [1— (1—у-1) ЫЧсг\ ЭѲ1/Эг1=0, где член

(1—Y-1) hx'/c2 в скобках можно вычеркнуть. Тогда вместо (4, 91) и (4, 92) мы можем написать

Смысл этих соотношений заключается в том, что тан­ генциальные составляющие вязкой волны мы можем просто положить равными, но противоположно направ­ ленными тангенциальным составляющим акустической волны, вне зависимости от наличия тепловой волны.*

Заменим в (4,94) производную по г • через \/Х3уг в соответствии с принятой экспоненциальной зависимо­ стью ѵг от г), тогда, применяя (4, 94) к условиям на гра-

* Или, другими словами, что тангенциальные составляющие скорости в тепловой волне всегда пренебрежимо малы.

Подставляя это выражение в (4, 94), произведя допол­ нительные вычисления, заключающиеся в замене d%Jdr

на \JKQ*, а Q2 в свою очередь на —A ßJA ^, и, наконец, разделив все члены на —liA1Q1IX1, получим

и тіп. Заметим, что оно действительно для труб не только круглого, но и произвольного поперечного сечения, если под г и 0 мы будем подразумевать местные цилиндри­ ческие координаты в каждой точке контура.

Для трубы круглого сечения, как уже указывалось выше, мы можем для взять выражение Q i= JB(“,.,г/Ѵ0)X Xexp {m..nz+jnö}, очевидно, удовлетворяющее дифференци­

(где а°.п удовлетворяют уравнению /(, (а)=0) и производим разложение по степеням Aafn, ограничиваясь первой

(4, 97) дает для т\ формулу, выведенную Кирхгофом для

подставляя в (4, 97) (Да0)2=(то0—X*) г%и разрешая полу­ ченное уравнение относительно т\, будем иметь

І30

в дифференциальном уравнении (4, 94) пренебрежем чле­ ном у,./г0 по сравнению с d2vr/dr2. Нетрудно точно таким же образом показать, что погрешность в удовлетворении дифференциальных уравнений (4, 6) и (4, 7), которую мы

совершили, приняв зависимость от г в виде ехр {— \/Хг> 3 X

X (г0 — г)), ішеет порядок (г„ уД2, 3)_1 и /гх'т^/с2, что при за­ данной точности * не может отразиться на конечном ре­ зультате. Исходя из сказанного, при выводе общей фор­

мулы мы можем отбросить заранее 7-д1 по сравнению с \/Х3 в знаменателе второго члена уравнения (4, 97).

При і и п, отличных от нуля, мы учтем в (4, 97) лишь

Го

Произведя все необходимые выкладки, получим окон­ чательную формулу для

2(1-1) Хі

* T. e. при учете в конечном результате лишь членов порядка

(*' hi) ш/с2)Ѵі-

9* 131

Эта формула представляет основной результат настоя­ щего параграфа. Она дает константу распространения в цилиндрической трубе для колебаний с любым харак­ теристическим распределением амплитуд по сечению.

Полагая т.?^= и п = 0, мы получим формулу Кирх­ гофа для плоской волны.

Анализ формулы (4, 100) имеет смысл провести для различных частных случаев.

Прежде всего, при > 0 мы и без учета потерь получим быстрое убывание амплитуды колебаний вдоль трубы (см. § 4,4). В связи с этим применение (4, 100) в данном случае представляет интерес лишь для расчета деталей кривой фильтраций на границе области поглоще­ ния и для решения такого вопроса, как определение активной составляющей сопротивления сложного излуча­ теля на низких частотах.

Разберем два случая: а) осевая симметрия, /г=0; б) число узловых диаметров и узловых кругов настолько

132

Таким образом, в отличие от обычной теории, изло­ женной в предыдущем параграфе, при поперечном резо­ нансе мы имеем конечную, а не бесконечную фазовую скорость и, кроме торо, весьма значительное убывание амплитуды вдоль трубы.

В трубе диаметром 5 см, наполненной воздухом при 20° С и атмосферном давлении, первый резонанс с осевой симметрией имеет место на частоте 7840 гц. Фазовая ско­ рость при этом равна 1076 м/сек.,* а коэффициент за­ тухания 19.00 м-1.

Интересно сопоставить последнее число с коэффициен­ том затухания по Кирхгофу. В той же трубе и на той же

коэффициент теплопроводности. Это сравнительно редкий случай, когда при акустических колебаниях влияние теплопроводности отделяется от влияния вязкости. Осу­ ществляя соответствующие экспериментальные условия, можно с помощью полученных соотношений изучать долю потерь, приходящуюся на явления теплопроводности.

Мы позволим себе высказать здесь мысль о возмож­ ности построения акустической методики измерения теп­ лопроводности газов путем экспериментального определе­ ния фазовой скорости распространения и коэффициента убывания амплитуды в трубе в условиях поперечного резонанса. Такая методика по сравнению со статическими способами представляла бы известные преимущества как по отсутствию вредного влияния конвекции, так и по

* Длина волны составляет 13.73 см. Вместо бесконечности, без учета потерь, на протяжении одной длины волны амплитуда вдоль трубы уменьшается до 7.38% первоначальной величины, или в 13.5 раз.

133

Прн условии ü)>.n tu и при большом числе узловых колец, когда п21а.№также мало по сравнению с единицей, фазовая скорость и коэффициент затухания будут точно такими же, какие получены Кирхгофом для плоской волны.

Здесь уместно сделать замечание о применении полу­ ченных результатов к теории ультразвукового интерферо­ метра. Для того чтобы измеряемая фазовая скорость не отличалась от скорости звука в неограниченной среде, выбирают диаметр трубы интерферометра настолько боль­ шим, что Х/2тіг0 1. При этом действительно возникаю­ щие вследствие неоднородности распределения амплитуд на излучателе неплоские волны низких порядков имеют фазовую скорость, равную скорости звука. Но так как члены ряда собственных частот с увеличением і и п неограниченно возрастают, то в интерферометре могут иметь место поперечные резонансы, когда o>Ä*cut.H. В этом случае, если амплитуда соответствующего распределения окажется достаточно большой, могут возникнуть сущест­ венные ошибки. Отсюда можно сделать следующий вывод. При соблюдении условия Х/2r.r0 1 плавные изменения амплитуды (вплоть до обращения фазы на поверхности излучателя) не приведут к существенным ошибкам в оп­ ределении скорости звука. Наоборот, влияние резких неоднородностей * не устраняется никаким увеличением диаметра. С этой точки зрения распределение амплитуд на поверхности излучателя, соответствующее первой форме колебаний пластинки, зажатой по кругу, предпочтитель­ нее поршневого распределения, если диаметр излучателя меньше диаметра трубы.

* При резких неоднородностях ряд коэффициентов А { в (4,79) будет убывать очень медленно.

134

Рассмотрим весьма интересный эффект увеличения за­ тухания и уменьшения фазовой скорости для типов коле­ баний с большим числом узловых диаметров и в отсут­ ствие узловых колец (п велико, і= 0).

Величина (1— входящая в наши формулы, может стать при этом весьма малой, а поправка к скоро­ сти и коэффициент будут резко увеличенными. Приведем значения (1— для нескольких значений п:

Причина такого возрастания влияния вязкости и тепло­ проводности заключается в том, что при этих типах колеба­ ний, распространяющихся по трубе, звуковая энергия со­ средоточивается вблизи сте­ нок, в то время как в значи­ тельной центральной части амплитуда колебаний мало от­ личается от нуля. На рис. 57' приведено распределение зву­ ковой энергии по радиусу тру­ бы для колебаний с десятью узловыми диаметрами. Здесь мы имеем дело с интересным физическим явлением — свое­ образным акустическим скинэффектом. В таких условиях рабочее сечение трубы, по ко­ торому передается звуковая энергия, резко сокращается,

в то время как поверхность стенок, вблизи которых и ра­ зыгрываются явления, обусловливающие поглощение, оста­ ется неизменной.

Используя выведенное нами выражение (4, 95), дадим обобщенные формулы Релея [31, § 347] для поглощения плоских волн в цилиндрической трубе произвольного сечения, учитывающие, кроме вязкости, также и тепло­ проводность.

Так как решение ищется для плоской волны, то Qi в (4, 95) надлежит рассматривать как постоянную вели­ чину для всего сечения и, следовательно, для всего пе-

135

ванию распространения звука в трубах с мягкими стен­ ками. Выделим участок трубы длиной dz и проинтегри­

В заключение настоящей главы укажем на общую методику, следуя которой, можно разрешить многие за­ дачи, касающиеся влияния вязкости и теплопроводности на распространение звука в газе, окруженном твердыми границами.

136