книги из ГПНТБ / Константинов, Б. П. Гидродинамическое звукообразование и распространение звука в ограниченной среде

ия=0,

(4,15)

Ts = 0 .

Кирхгоф дает решение системы (4, 5)—(4, 8) для трех частных случаев. Для свободного пространства им рассмотрены плоские и сферические волны. В трубе он рассматривает волну, в которой колебательные величины во всем поперечном сечении практически не меняются, за исключением пренебрежимо малой области в непос­ редственной близости к стенкам.

Для плоских волн с частотой ш, бегущих в положи­ тельном направлении оси х, частное решение уравнения (4, 5) для (?! будет иметь вид

Очевидно, что (4, 16) выражает обычную акустическую волну, распространяющуюся с адиабатической скоростью и с коэффициентом поглощения, равным

Г7 — 1

Частное решение уравнения (4, 6) для Q2можно пред­ ставить аналогично (4, 16):

Так как в выражение для \Д2 входит лишь коэффи­ циент температуропроводности, то волны вида (4, 19), естественно, называются тепловыми волнами. Фазовая скорость распространения тепловых волн зависит от ча­ стоты и выражается формулой

Отношение а2/с — величина порядка корня квадрат­ ного из малой безразмерной величины шх'/с2 (см. выше), т. е. фазовая скорость тепловых волн, даже на очень высоких частотах очень мала в сравнении со скоростью звука. С другой стороны, коэффициент поглощения теп­ ловых волн §2, по (4, 20), будет иметь вид

Следовательно, 82 получается очень большим. На про­ тяжении длины одной тепловой волны амплитуда ее убывает в exp {2ка282/й>}=535.5 раза, или до 0.00187

первоначальной величины.

Если принять во внимание, что длина тепловых волн очень мала (например, на 1000 гц она составляет всего 0.034 см), становится ясным, что от места возникновения эти волны проникают лишь на ничтожные расстояния.

Глубину проникновения по сравнению с длиной обыч­ ной акустической волны на той же частоте характери­ зует отношение длин волн тепловой и акустической.

Последнее равно отношению соответствующих фазовых скоростей распространения; для воздуха при 20° С из (4, 21) получаем

(4,23)

здесь V и р0 — в единицах CGS.

Рассмотрение тепловых волн производилось в связи с построением теории термофона. Эти волны возникают в газе, например, когда граничному слою задается Колеб­ лющаяся температура или подводится колебательным об­ разом поток тепла. Они возникают также при прохож­ дении акустической волны вблизи теплопроводящего твер­ дого тела. Величина ѵ — скорость, входящая в уравнения (4, 7) и (4, 8), есть не что иное, как решение системы уравнений (4, 1)—(4, 4) для случая, когда не происхо­ дит колебаний давления, температуры или плотности (div ѵ=0). Распространяющиеся колебания величины ѵ представляют собой • вязкие волны, на которые первым обратил внимание Стокс.

Плоская вязкая волна образуется, если плоской гра­ нице газа задать колебания в ее же плоскости. Направ­

98

ление скоростей частиц в такой волие перпендикулярно направлению распространения. Скорость распростране­ ния а3 и коэффициент поглощения вязких воли — вели­ чины того же порядка, что и тепловых:

аз = Ѵ2< Чі,

(4, 24)

йз

Они, так же как и тепловые волны, уменьшаются по амплитуде до 0.187% первоначальной величины на протяжении длины одной вязкой волны.

Очевидно, что вязкие волны могут возникать при распространении обычной акустической волны около не­ подвижных границ.

Учитывая влияние вязких и тепловых волн на погло­ щение звука в трубе круглого сечения, Кирхгоф получает следующее выражение для коэффициента поглощения:

0

где у' = \Jf\[ -f- (у — В качестве граничных условий на стейках трубы Кирхгоф брал соотношения (4, 15).

Существенно, что в формулу для о4 входит лишь один коэффициент вязкости тр, который может быть сравни­ тельно легко экспериментально определен. Наблюдения поглощения звука в трубах и выделение из общего пог­ лощения доли, обусловленной вязкими и тепловыми волнами, по формуле (4, 25) позволяет экспериментально получить так называемую молекулярную часть поглоще­ ния звука в газе. Подобные измерения были проделаны Оберстом [40].

§ 4,2. Вывод формулы для коэффициента звукопоглощения твердой границы

Для вывода коэффициента поглощения сину­ соидальной плоской волны при отражении от бесконечной, плоской и твердой стенки мы используем методику, ана­ логичную описанной, например, у Релея [31, § 270].

Твердая безграничная стенка совпадает с плоскостью £=0, ось у направлена справа налево и лежит в пло­ скости чертежа. Нормаль к фронту падающей волны

7* ѲѲ

составляет угол Ѳс нормалью к твердой стенке и лежит в плоскости чертежа. Таким образом, предполагается, что зависимость от третьей координаты г (ось, перпендику­ лярная чертежу) отсутствует.

Будем считать заданной падающую акустическую волну. Для приведенной температуры Т' можно написать*

Множитель ejmt, выражающий зависимость от времени, здесь и всюду ниже опускаем.

Считая стенку идеальным проводником тепла, пола­ гаем, соответственно (4, 15),

их = О,

при х=0.

Из-за того, что температура стенки постоянна и нор­ мальная и тангенциальная компонйзты скорости у стенки равны нулю, при отражении, кроме обычной акустичес­ кой волны вида

появятся идущие от стенки вязкие и тепловые волны. Чтобы удовлетворить граничным условиям (4, 27), необ­ ходимо принять зависимость от координаты у в этих

получим уравнения с одной независимой переменной:

* Результаты выводов не зависят от того, с какой величиной мы будем оперировать: с температурой, давлением, плотностью или скоростью.

100

Последнее равенство следует из двух:

Поскольку мы имеем тепловые и вязкие волны, иду­ щие лишь от стенки (положительное направление оси х), решение уравнений (4, 30) и (4, 31) можно написать в виде

Температура в пространстве над твердой стенкой сла­ гается из температур, развиваемых падающей и отражен­ ной акустическими волнами и тепловой волной.

Согласно (4, 9),* имеем

101

+ (у/ - cos 0 [Лц exp {VX, (* cos 0 - у sin 0) -

— A rl exp {YXj (—x cos 0 — у sin 0)}] +

+ (%' — y -^ (— v'X.i) /), exp { — X — v'Xj у sin o}. (4, 3S}

В выражеппях (4, 36), (4, 37) и (4, 38) четыре произ­ вольных постоянных: А п , А 12, ѵУа и А 2. Поскольку А п мы считаем заданной, остальные постоянные определяются нз соотношений (4, 27) на твердой границе. Учитывая

(4, 27), из (4, 36), (4, 37) и (4, 38) получим соотношения между константами:

Вследствие того, что Re|\/X.,) и Re (\/Хд) очень ве­ лики, вязкие и тепловые волны затухнут на самых малых расстояниях от стенки и в пространстве решение будет иметь вид

Для определения коэффициента поглощения найдем из (4, 39) отношение А 1г/А 1г, т. е. отношение комплексных амплитуд отраженной и падающей акустических воли:

При выводе (4, 41) всюду учтены лишь половинные степени малых величии hA/с\. и h-q[/c2 так, как это делал Кирхгоф для получения коэффициента поглощения в трубе.

Из формулы (4, 41) явствует, что коэффициент отра­ жения зависит не только от свойства среды, но и от угла падения. : - • -

102

При нормальном падении угол Ѳ=0 и формула (4, 41) упрощается:

или с прежней точностью

/г/.' V С21 •

Заменяя в (4, 42) h на/со и’полагаяЯ12=.<41;Дехр {—/<р}, получим для модуля і и фазы <р выражения

Энергетический коэффициент звукопоглощения а = 1-52 получает выражение

Г 2ы7.'

(4,45)

СІ ■

Величины £, <р и а могут быть выражены для какойнибудь температуры как функции отношения частоты к давлению:

5-3. 45-10_2=17.25% энергии падающей волны.

На границах наиболее употребительной области частот 100—10 000 гц коэффициент поглощения в тех же условиях будет 3.45-10“4 и 3.45-10"3. В таблицах коэффициентов

103

т. е. можно думать, что и в области слышимых частот рассматриваемый нами эффект играет известную роль.

Числовые значения для изменения фазы будут: при

дой стенки, представляющей собой тепловой изолятор, никакого поглощения звука при нормальном падении происходить не будет.

В заключение анализа для Ѳ=0 отметим интересную возможность трактовать эффект теплопроводности твердой стенки как эффект акустической податливости ее. Обыч­ ная формула для отношения комплексных амплитуд зву­ кового давления отраженной и падающей волны имеет вид

Pm, _2 — р0с

(4,46)

Р т , ~ Z + Рос

Из сравнения последней формулы с (4, 42) видно, что абсолютно твердая теплопроводная стенка действует как нетвердая, обладающая акустическим импедансом Z8, равным

Чтобы легче было проанализировать соотношения в случае произвольного угла падения, введем следующие сокращенные обозначения’ для величин, входящих в фор­ мулу (4, 43):

104

Экстремальные значения а получатся, когда da/dd=0, что произойдет при dm/dB= 0 или da/dm—O'. При дей-*

* Величины Ьх и Ь2 для воздуха при 20° С соответственно

105