книги из ГПНТБ / Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов

Л ( г ) =

П т

Vn

(4.2.2)

Ущ

П «=

О

По

леммам 3.3.1, 3.3.2,

3.3.3

последовательности функций

V\n {z)

и Vn (z)

сходятся

(п. в.

Р\, Р) к Н-измернмой и (п. в.

Р1,

Р)

конечной функции

V{z). Согласно лемме 3.7.2, функция

V(z) положительна (п. в.

Р ь Р).

По лемме 3.6.1

с учетом сказанного

П

Тогда

X n(z) =

ут (г) '

\n[Xn{z)]n =

!i\x\Xn { z ) ^ n

j

dt

- f

ч

П[Хх % )

11 <

1п I* - (* )]"< «

\*п (z)-

1]•

Но Х п(z) —у 1

(п. в.

Ри Р),

У„(г)- Vu>(*)

n[X„(z) — 1 ] = л

п

V\п {%)

(г, иа) —(а, и*) ,

ь,

Vk) +

тх

V I

(« -

ь, Vk)-

2«х У

А=1

Ха

2 j

Ч

Ущ{*)

следует

из леммы

3.4.1,

limV

(z, vk) - (а, Ук)

,

.

v k) =

W(z)

г ->■со

ч

[а

0

/7=1

(п. в. Рх, Р), причем предельная

функция W (z)

Н-измерима.

В силу этого

im

Уд (*) 1 2

lim

Ш * ) ]

=

П-*■ со [Уш(*) J

Хд (2)

со

(а —b, vky-

mx (W)

(*) +

гexp

V { z )

(4.2.4)

(п. в. Р 1,

Р), причем функция, стоящая

справа в этом равенст­

ве Н-измерима. Подставляя

теперь формулы (4.2.4) и

(4.2.3)

в (4.2.2),

найдем, что требуемое

равенство имеет

место

почти

Действительно, при сделанных

предположениях A(z) (п. в.

Р j , Р) конечна. По этой причине

из теоремы 1.3.1 вытекает,

( и , v)K = ( K u ,

v ),

получим гильбертово

пространство

Н к . Замыкая множество

элементов RK по скалярному произведению

(«,

v )k _x= ( к ~ 1а, v),

1

i_

j_

женный

оператор К 2

, такой,

что К 2

К 2

= К,

и обратный

ему

положительно определенный

самосопряженный

оператор К

" ,

удовлетворяющий

_ I

—L

этом

об-

равенству" Л'

2 К

2 — К~х ■ При

_ 1

ласть определения

оператора

К

“

совпадает со всем Н к - 1,

область значений

на Н к- 1 есть

все

Н и

(к,

®)А._ ,= (/С _ Т и,

K

T vj

(4.3.1)

_ i_

для любых и и v

из //._ ,.

Следовательно,

оператор

К

2

является

изометрическим отображением

пространства

/ / А._в

1

на И. Оператор К~

в таком

случае

является

изометрическим

отображением

пространства//

на / / , - ъ

На элементах

и и v из RK

{ К- 1и, K - ' v ) K= ( u , v )k _x.

Область

R

всюду

плотна

в

//,_ ,,

область значений опера-

К

А

тора /С-1

на RK всюду плотна

в Нк, поэтому (теорема 1.6.1)

оператор К ~ х

расширяется

до

изометрического

отображе­

ния К

пространства

/ /

t

на

Н .

Оператор К,

обратный

К ~ 1,

является

изометрическим

отображением пространства Н к

на Н к —1

и совпадает

с

расширением

по непрерывности опе­

ратора К с множества Н на все пространство Нк .

Математические ожидания случайной функций (г, v) лля

мер

Р х и Р равны соответственно т, {v) =

(a, v) и m(v) =

(b, v)

при

любом

v £ H . Если

— система собственных элементов-

оператора

К,

а К — собственные

числа, соответствующие

соб­

ственным

элементам

и,,

то

из положительности оператора К

следует,

что система

.{'гМч1 1 образует

ортонормированный

ба­

зис в Я,

а все К > 0 .

Как было отмечено в §

4.1,

(a,

«,)*

<

Г!

(*■

«О2 < 00•

(4.3.2)

v=l

v=l

2

Так

как v 4 £ R K при

любом v,

—

у^- ^ =

У^( а ,

K~'v^ — У ^

(/<—1-uVl a ):

= V K ('■»»

a)

=(]/X ^v,

a)

= l/< 2t;,,

a

к - 1

а система элементов К 2"И*

в

силу

изометричности

опера­

тора

К 2 образует ортонормированный

базис в

Г1 (а> М 2

/С

,

a /„ _ i= ||a |

--1

>

sv = l

v = l

Аналогично

y]Uv,

,

5 (&, Wv)2

v = 1

V = 1

Следовательно,

неравенства

(4.3.2)

означают,

что элементы

а и b принадлежат пространству Ик - \. Разность

а — b также

принадлежит Нк- и и

можно

поэтому

искомый

предел чис­

ловой последовательности

представить

равенством

и=1

v=l

\ a - b

\ - , .

(4.3.3)-

Учитывая изометричность отображения

К ~1, можно этот пре­

дел

представить

и выражением

(b, а)

непрерывен на Н относительно нормы || и ||/c, поскольку

I (6.

и) I =

К

Ь,

к 2

И

\к

К 2 И = 0*1\к- г Ы к

в силу

равенств

(4.3.1)

и

К~ и

=

\/<2 и,

К'2 и) =

(Ки, и) = ||и||2.

Из равенства

(4.3.4)

вытекают

неравенства

IIК ¥к <

II и|||<

(1 + II ft||-!) II и | | ,

§ 4.4. Вычисление функции W(z)

Элементы а и b принадлежат области

определения

опера-

_

_ i _

j _

тора К

2 ,

а оператор К 2

является

самосопряженным

в

Н.

Следовательно, при любом v £ H

1

1 \

/ 1

1

и

(v,

а) = \ К 2 v,

К

2 a); (v,

b) = { K 2v,

К

2 Ь

|(т), a ) K H |J a ||/rl, |(г», Ь) | < |И Д | &Ц*-,-

Это позволяет расширить функционалы

— (a,

v) =

(v,

а)

n m(v) = (b,

v) = {v, b)

на все Н к и утверждать,

что в Нк най­

дутся единственные элементы wa и wb, для которых

т \ (“г») = (v, w a)Kt

т (г») = (г;, w b)K.

(4.4.1)

при любом v £ H K. Для v ^ H

('v , w a)K= Hm(xi,

®flnV=Hm( w,

Kwan) = (v, K w a),

Из равенства

К

а) =

(г), K w a)

теперь получим, что a = K rwa

или

wa = K~1a.

Подобным же образом найдем, что

w b= K~lb.

Подставив эти выражения

в равенства (4.4.1),

получим для лю­

бого v £ H равенства

mx{v) = {v,

К-'а)к , m ( v ) = ( v ,

К~'Ь)к , (4.4.2)

m l (v) = (Kv, a)K-i, m{v) = (Kv, Ь) -

(4.4.3)

Случайной функции (z, v) для

меры Р соответствует началь­

ный момент второго порядка

B{v,

v ) ~ K ( v ,

v)2=

= 1МРл + К

K -lb)K'

(4.4.4)

По этой причине каждый элемент пространства Нк принадле­

жит и пространству Н в (§

1.6).

Меры Рх и Р в рассматривае­

мом случае

эквивалентны

(следствие (4.2.1)

и принадлежат

определенность оператора

(теорема

2.3.6).

в. Р и Р)

Функция W(z) определена

в § 3.4

как предел (п.

последовательности функций

(z) = 2

(а _ Ь, щ).

(4.4.5)

Wn(z) = {z, wn) — {a, wn),

если положить

(а — b,

vk)

. X*

ft= l

или с учетом формулы (4.4.1)

я

/_

Vk

Vk

w* = V j * " > - * ) >

h=l

Поскольку -^|=- == К

2

Vk = AT-1AT2 v k, элементы ZC2

6 /?*• об-

2

/X

разуют ортонормированный базис в /Z^-i,

оператор /С-1

явля­

ется изометрическим отображением

пространства Н к-1 на про­

странство Нк и совпадает с ЛГ-1 на /?/с,

система

элементов

•р=г образует ортонормированный

базис

в пространстве Z/^..

А так как К~х {а —

то можно утверждать,

что

после­

довательность

элементов wn из Н сходится по норме прост­

ранства Н к к

элементу

ррх{а — Ь)£НК. Из равенства

(4.4.4)

при этом вытекает, что

последовательность элементов

wn схо­

дится по норме пространства

Н в к

тому же элементу

w =

= К~' (а— Ь). Согласно § 1.6,

можно

теперь утверждать,

что

сти может быть взята Н-измеримая функция

<2, w>. Следова­

тельно,

W(z) = <2, та> — (К~'а,

w)K

(4.4.6)

(п. в. Р,, Р). Или,

приняв во внимание

изометричность ото­

бражения К~\

W (г) =

<2, К~х{а — Ь)>— (а — b,

а)к-1

делом (п. в.

Р,,

Р) последовательности функций

(г,

К -1[a — b]n) = (z,

\а — Ь]в)к^

для некоторой последовательности

[а — Ь\п элементов

из R Ki

сходящейся

по норме пространства Н к-i, допустимо также вы­

ражение

W(z) = (z, [ a - b \ ) K_t - ( a - b , а ) ^

(4.4.7)

Пусть оператор

С0 определен на всюду плотном в Н ли­

нейном множестве

М и удовлетворяет равенству

(КС0и, C0v) = (и, v)

значений

оператора Со на М всюду плотна в Н, то С0 являет­

ся изометрическим отображением пространства Я на Нк -

Пусть

E i— заданное

на конечном промежутке [/], ?г] раз­

ложение

единицы (стр.

214 [1]) и w — элемент из Н, неортого­

межутков А», k — \, ...,

п, и составим сумму

Co£^w

ш

= 2 <г’

>2 Аь

h ■=1

определив функции <z, -тгр—

от z согласно

§ 1.6.

Если ввести функцию

C0£Jfc®

/». (z;

t) = _ , <г

(4.5.2)

II £A'O'I

ft = i

где ХдА(0 — характеристическая

функция

промежутка

Дй, то

сумму f n(z) можно представить

в виде интеграла

№ ) = _[/«(*; .О***-

*I

от z.

Этот интеграл является Н-измеримой функцией

Выберем теперь второе разбиение промежутка

[г^, t->] па п'

промежутков Д; и составим интеграл /„'(z)

Если обозначим

С0ЕЛw

'С0£ Л'да

/

Фа =

1£Д/™|| ’ ф^

воспользуемся равенством (3.1.2), примем

во внимание

равен­

J<2, v>Pl {dz) = ( /С Ч

v)K, v £ H Ki

Н

J<2, v> P{dz)= (K~'b,

v)K, v £ H Ki

H

ний найдем,

что

2 + <

Аа -

J { /„ ( 2 ) - '» '( z ) № ( d z ) = 2 -

н

А—1

2 2

2 (Ф а.

Ф’г)кДА^ +

А=1/=1

(=1

+ 4 2 ( Я “Ч

Ф*)^*—2 2

2 ^ * ' Ф ^ /Ч ^ Ч Фа)дг X

А =1

А =1 i= l

л'

+

X (^(

Ч

+

2 (^ Ч

1=1

п1

(4.5.3)

+

2

-

2 {К-'а,

_*=1

i-i

Обозначим ■»)„=

шах Д*, *)„, =

шах А! и 7|ln=m ax

(v)„, т)я,), Учи-

1<А<л

1<1<л'

Й=1 /=1

из равенства

(4.5.3) получим оценку

f \In{ z ) - I „ { z ) y - P , { d z ) < c [-nuv

' (4.5.4)

н

Аналогичным

образом найдем

i \In{ z ) - I n ’{z)Y-P{dz)Kc^n.

(4.5.5)

н

мер Р д и Р к

функции

I (z). Это вытекает из неравенств

Г

п

J

(*> - V. и ) 1 р (dz) = (os+ ml)

У ]д2 -

/1=1

+

4т 2,.

-i2

<

Xh

^

(о2 +

п'х)

-Чп

4/«2.

+ ■

I2

A

) 2

i l (**(a - *>■7fr),; (^ ■• «, X

h = 1

v = l

X

ОA \2

+

^ + - ?

2

( /C"1 (a _ 6 )’ /"

)К

( W ' ♦■ ),- ■ -

A-l

+

V = 1

A = 1

<

( ° 2 +

o

'4m2.

+ + I r J

K - * * I ъK

+ ^W~ ll^"1^а~ Ь^к + (t^k)Ti il< :> be1K~1(a-

b)!U-ъ ■

+

- ( ^ j T

l l ^ l ^

^

+ ж И ^ 1(a -^)»A--

V(z) = 7^ TJ f ( z - t ) d t

(4.5.6>