Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

при л > л 0 \а — a J	< 8а,	т. е.		1 — 8 < - ^ - < l + S , и функция
f [~t~) оказывается непрерывный внутри					промежутка 1 — 8, <
< t <: 1 + 82 Для
	3>~ (1 + с)а »			'
Представим /„				/	в	я
Представим /„	в виде суммы 1„ = /„ +				/„ +	1п '■
		1-5,
	/ ; =	0				(3.6.3)
		0
		1 + 5,				(3.6.4)
	/ л =	\ f ( ^ n i i ) d t ,				(3.6.4)
		J	\	/
		1-8а
	/ « ' =	\ f l ^ A v n W t ,				(3.6.5)
		J	\	/
		1+5,

и рассмотрим каждое слагаемое в отдельности.

При п > 4 функция F„(t), задаваемая формулой (3.6.2), имеет

			4		монотонно
единственный минимум при £,„ = 1 —— , причем					монотонно
убывает для t < tUr Выберем		из условия— < 8,. Тогда при .
1 — 64<	1 ------ , и функция Fn(t) монотонно убывает в
промежутке	— о,, в силу		чего
Функция	Fn{ t ) ^ F n{ \ - \ ) .				(3.6.6)
Функция
/=■»(!-8.) +	-^ -In л = ( 1 - 8 , ) -		1 - ^ - ]1 п ( 1 - 8 0 - 1 ,
рассматриваемая относительно		аргумента п,		монотонно возра
стает с ростом	п. Если 84 =	— In (1— 8,) — Вр то			84 > 0	для
О < 8 1< 1 . Очевидно, всегда найдется такое				По^>1Ц, для		ко
торого
	85=84 + - ^ 1п (1 -		81) > 0.
При п ^ п2

/=«(1-30 + -й-1п л > 8 6> 0 ,

так как функция, стоящая слева, монотонно возрастает с ро стом п. Учитывая, что ——In ti может быть как угодно малым

для достаточно	большого		я, видим,	что существует такое
и такое	■/] > О,	для	которых Fn(1 — 8,)>т] >		0 при лю
бом п ^ п 2’. Принимая		во внимание		это и формулы	(3.6.6) и
(3.6.1), имеем

<Pn {£) < ;	- e	-1ГЧ
<Pn {£) < ;	l/-л	(3.6.7)

.для любого n^-n'2. Подставляя эту оценку в выражение (3.6.3),

получим неравенства

п 1—6,

0 < / я <			т ,> -
0 < / я <		2 / я	J / ( ^ ) Л .
		2 / я
а после замены	переменной		интегрирования по формуле х =
а-п
-J-— неравенства
	0 < / п< :		1 ( 1 --М 2 £?" Т *
	п'^2\|А т1
из которых сразу	следует, что Нш/п = 0, поскольку			lim ап =
= а > 0.			п-*<х>	Л-*-СО
= а > 0.

Вычислим теперь предел последовательности интегралов 1„. Нетрудно показать, что при 4 функция - |~ /г„(^), опреде

ляемая формулой (3.6.2), имеет единственный минимум в точке

^in = exp \|	^ZT4~J
и монотонно возрастает при	tln. Так	как lim t )n = 1 и tln < 1
		Л —Ш
для любого п > 4, при п > 4 функция		— /у, (£) монотонно во

зрастает в промежутке t > 1 + 82. Но тогда в этом промежутке

монотонно возрастает и функция				— Fn {t) +		In п, и можно
написать, что
4 - рп(0 + — 1п я >			ГТ87 ^	(1 + §2) + 1		S2 In п.
Рассматривая	функцию
		1+ ■^»(l +	8j> +	п(1 + ®г)In П
относительно	аргумента п,		нетрудно установить, что она мо
нотонно убывает с ростом п. Следовательно,
Fn (1 +		82) +	-~Г In « > r f		182 -	1п(1 + У1.
Поскольку §9 >		0,			0.
		З3 = 82 — ln ( l - f 83) >
А так как величина -^-1п п			может быть сделана сколь угодно
малой, то существуют такие пх и т)>0,					что при

-7-FnV)>T\> 0

для любого £ ^ 1 + 8 2. Отсюда, на основании равенства (3.6.1), получим оценку

	--тг-Щ
	(3.6.8)
'Ря ( * Х 2 ]Лг
справедливую при	для любого ^ > l + o 2i которая вме
сте с формулой (3.6.5)	приводит к неравенствам

°</;<дтг I /(тК’’''"

1+Oj

а после введения новой переменной интегрирования х —-j- к.

неравенствам

1П

1+ оа

					&	I	“ Т 1— dx.		(3.6.9)
			о < 1 Л<
	1		2	.1
	—р				имеет единственный			максимум при х ш—
Функция —
— ~ г г^п< а поэтому					монотонно возрастает			при	х < х ы. Если
4U +	82) ’	то л.		"	1 + 83	. Следовательно, при таких л функ
			,и
1	п		а,
	2 Tl~Jr~					возрастает в промежутке
ция ~^е			монотонно
< f^."57 ,	и вместо			неравенств (3.6.9)			получим неравенства
				0 < / - <		(1+5,Г"	- т ч < 1+8->

из которых вытекает, что Н т / л = 0 .

п-+СО

Вычислим предел последовательности интегралов /„, опре деляемых равенством (3.6.4). С этой целью рассмотрим интеграл

I „ = J ?n(t)dt =	2	- Т ‘
I „ = J ?n(t)dt =	е	dt —
О	О

Vf пе 2

2 7 ^

Применяя формулу Стирлинга (стр. 279 [25]), получим

Г	^	- ( т - 0
		(«),

причем lim е(л) =

Поэтому

Я -*- со

п—3

—

i f j

е (/г)

и Jim.I„ =

Представим

теперь

1„

в виде суммы

I„ +

Ti +I n, считая

I—

<>i

dt,

i'n=

1+5.,

с? ,,(t)dt,

со

* п

= ,

i ; ; =

tpjt)d t .

1 Og

1+Cli,

Для

промежутка

0 ^ £ < Л < 8 1

справедлива

оценка

(3.6.7)г

поэтому

lim 1„ = 0,

а для

t >

1 + о 2— оценка

(3.6.8),

поэтому,

Я-^со

вычислив элементарный интеграл, найдем

lim I« =

Таким

образом,

при любых §i >

и 32 >

]-}-Оа

<?n(t)dt = 1.

l i ml „ =l i m

(3.6.10)

11~> СО

0 ,

/I —у со „

„

Так

как

функция

f (х)

непрерывна

в окрестности

точки

х,.

при любом е, > 0

можно найти такое п0, что при п > пй

для

любого

из

промежутка

1— 3 ,< J /< ;i+ 8 2. Пусть

—

значение

из

промежутка

1 — о:

1 -j- о2,

при

котором

функция

максимальна,

а £2 — значение

из этого про

межутка, при котором функция /(-^-(минимальна. Поскольку

	1+0.J				1 -J- Од
In-		f	9*{t)dt+ С			-т-	- /	т	Тп (0^>
In-	1-5,	f			/	-т-	- /	т	Тп (0^>
	1-5,			1~Мэ	1-5,
				1~Мэ
	/ \| - п ) С < j / ( f ) ? . (О < « < / ( - £
				1-5,
то, учитывая		(3.6.10),		получим
		lim I n — / ( а ) <			f l - f ) - / ( « )			+	еи
	lim /;; =			/ ( а ) >	/ ( - \|7 ] - / ( а )
Устремив s к нулю,				будем	иметь ^	?	2.-» 1.		Устремив затем:
и ех к нулю,		получим равенство
				lim l"n = / (а),
которое	и доказывает лемму 3.6.1.

§ 3.7. Вычисление меры некоторых множеств

Пусть (тМ"=1 — ортогональный, но необязательно нормиро

ванный базис в Нк такой, что ( fl'Wvll^-= Х»]^1, причем К являет ся корреляционным оператором меры Р £ Р Т. И пусть матема тическое ожидание m{v) случайной функции (г, v) непрерывно относительно нормы ||'п||УГ Обозначим через XVv (z) элементы пространства L2 (В), соответствующие элементам из Нв (§ 1.6).

(В рассматриваемом случае пространства Нк и Нв состоят			из
одних и тех же элементов). Справедлива		П т ц , =	1А0
Л е м м а 3.7.1. Если И т Х » =	Х0, 0 < Х „ < о о ,
и 0 < р.0 < с о , а плотность / (х )	имеет конечным	начальный

момент второго порядка о2 -j- тс2, то последовательность функций

	П
v a { z ) =	У ] Pv [ X Vl (г) - т (г»0]в	(3.7.1)
	V - 1

сходится в среднем квадратическом относительно меры Р.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Прямыми вычислениями можно по
казать, что
\[Vn+P{ * ) - v aw Y P m				=
И
	пА~Р
				v\|Jv
	* - i		V =	1
п +р	, 2 2 ,	р — п	/I	I2 2
(п -Ьр)2	, 2 2 ,	р — п	2	I2 2
(п -Ьр)2	Х„\|ч “г	{п + р) п		XvJJ.,
»=1

Отсюда и вытекает справедливость леммы.

Обозначим через V{z) предел последовательности функций

Vn (z).

Л е м м а 3.7.2. Пусть выполнены условия леммы 3.7.1,

причем (x.v = у - , v = 1, 2, ... , и пусть Е —произвольное бо-

релевское множество на числовой оси, а функция f (х) огра ничена и имеет не более, чем конечное число разрывов на каждом конечном промежутке числовой оси (кусочно непрерывна). Тогда

P [ z - . V {z ) £ E \ = \ f ( x ) d x .	(3.7.2)
Е

Для доказательства этого утверждения потребуется

Л е м м а 3.7.3.	Если
	П	nt
<РЯ(0 =	t \ т	2x dx	,	(3.7.3)
<РЯ(0 =	/(* )	^t	,	(3.7.3)

а плотность вероятностей. f (x ) ограничена, кусочно-непре рывна и имеет конечным первый момент, то при любом с>О

lim	f va{ t ) d t = f		lim	f n(t)dt.
« -► С О	О	O	n - со
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Фиксируем		произвольное	0 < е < 1
и представим	в виде суммы ТдСОН- X (0 +				(*) функ

ций, определив слагаемые выражением вида (3.7.3) с интегра

лами по	промежуткам 0	— е£, t	— zt •< а- t -\|- at,
t -\-et iC х	<. со соответственно.	Затем введем	функцию
		«

Функция	^п(х)		имеет единственный максимум в точке
и монотонна справа и слева от этой точки.
Для последовательности чисел
							Г[Д-
				V n + 1[1+ - )
			а„ =■			п I

				/ 2 Г
пользуясь	_L	неравенствами			(стр.	280		[25]),		найдем	предел
					утверждать, что,					если x ^ . t — st
lim ап — е г . Это позволяет
П—-СО			то	найдется	такое		пъ	что	при п >		п± функ
или x ^ t - j - z t ,
ции &п{х)	неположительны.				Но тогда			и	<р\|1+1 (£) — срД^Х^О,
<р"+1 (f) — <р” (7)<0,				е с л и « > л , .		Другими			словами,		функции
«/(£) и <р” (0 образуют монотонно							убывающие последователь
ности.		полуось			на две		области точкой 0 < х 0 < о о .
Разобьем
При х < д :0		f(x)	мажорируется			константой у,				а при	х ^ х 0 —
функцией	i J x 2.		Так как			П

ср;-(0<			sup		—
			—£<0<Б

5 Зак. 389

то	для	t ^ . x 0			t 'f Е /
					t 'f Е /
		ф" ft) < — ■(П‘				М	с	2л*
		‘ II ' '	^	II		Г	с	-7-
				22 Т Л
а	для	t > л-0			/ Ц/
					/ Ц/		.1.	lit
					л		.1.	lit
		?;; (о <	— 7i«‘		г-	i \ 2		2.1- dx
		?;; (о <	— 7i«‘		г-	т	*	— •

2 2 Г /Л

/-е/

Л/“

После замены переменной интегрирования по формуле х = -^-

получим						п__ 1_
					II	п__ 1_
t+zt	Л,	_	nt		II	, 2	1—8
t-et	т )	е			-+1			1	T ' V ’ <
t-et	т )	е	2~х	~ =(*Г		Л I		1	T ' V ’ <
	t \2		2~х	dx / П
						2	‘ 1-f-s
			< ( т )		г (	л	- 1)-
Вследствие	этого		для	t < х 0
а для t > х 0			? "(* )< Т.		если	«. > 4 ,
а для t > х 0

? « (* )< - jr . если » > 4 .

Таким образом, последовательность функций ер" (£), а> сле_

довательно, и последовательность функций <р„ (£), мажорируют ся суммируемой функцией, что и доказывает лемму.

Докажем теперь лемму 3.7.2. На основании-леммы 3.2.1

P \ z £ H : V { z ) > c } = lim	lim P [ z £ H : V n { z ) ^ c p), (3.7.4)
c \c	п-^со

где ср — некоторая числовая последовательность, стремящаяся убывая к числу с. Для рассматриваемой меры Р

P \ z £ H - . V n( z ) ^ c p\ =

= \ f ( x ) ( ^ r Y dx	exp	- - Jr У \ zl\ d z> • ■• dz"=
2-х		- - Jr У \ zl\ d z> • ■• dz"=

^2 * k= l

= \ / w ( - & V d x

I rfZj ...

(3.7.5)

если положить

	/	Ф Ь
(	п	\	п
п	т r X I	2	т X I	2 ^
	h=l		"Ри П г Уft=1, г* > СР’
2х '~п~ Z i Zk			"Ри П г Уft=1, г* > СР’
			при	4 < Ср.
			ft=l
Функция <f>(l/ ф	zi	суммируема на		тогда и толь
\ р	<*=1

ко тогда, если функция ? ("|f ~ ^ ~ r) r n~' суммируема на поло жительной полуоси. При этом '

. . . dz n =

со	___
= S„ j* < f ( y 2 j L r)r*-'dr,
где Sn — площадь сферы единичного		радиуса. Так как
	П
s„	2тТ
s„	( т ) '
	( т ) '
то с учетом (3.7.6) и (3.7.7)	при t =	~ - r 2

Гшх X

пУ ! z i \ dzi ■■■ dzn= jfsm

п=1

п п

2	2	2
	п £ т х.	1

г I ~Т

Благодаря этому и (3.7.5),

_н_	_	n t _
tT	е	2х d t.

(3.7.6)

(3.7.7)

			J l ___ ______	n t
P l z £ H : V n( z ) ^ c p)=--	f ( x ) d x - ^ r j	-	t 2 e	2x dt,
J	A - 2 2 2	Г	2 / u
			c„

или на основании теоремы Фубнни

P [ z £ H : Va{z)

dt ■

2” Г Ц

По доказанной лемме предел последовательности по п под ынтегральных функции можно внести под знак интеграла. Это позволяет написать равенство

lim P [ z £ Я: Vn { z ) > c p\ =

dt	lim	2Л* dx_
dt	lim	■ t
		■ t
которое с учетом	леммы 3.6.1 и формулы Стирлинга		можно
записать в виде		СО
		СО
lim P [ z £ H : Vn(z )> c p} = j‘ f ( t ) d t .			(3.7.8)

После подстановки выражения (3.7.8) в равенство (3.7.4) най дем, что

СО

P \ z £ H \ V ( z ) > с}=--^ f ( x ) d x .

Так как мера Р счетно-аддитивна, а а-алгебра борелевских множеств на числовой прямой порождается всеми полубесконечными промежутками, можно распространить это равенство и на произвольные борелевские множества.

Г л а в а 4

ОБНАРУЖЕНИЕ И ПРИЕМ ИЗВЕСТНЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ НЕГАУССОВСКОЙ ПОМЕХИ

§ 4.1. Условия задачи

В литературе подробно исследована задача обнаружения и приема ’известных сигналов на фоне гауссовской помехи. В ряде практических ситуаций, однако, гауссовская модель по мехи оказывается мало подходящей, поскольку в них заметно сказывается влияние случайного изменения дисперсии помехи от одного акта обнаружения или приема к другому. В этих си туациях целесообразнее использовать для помехи и аддитивной

смеси помехи и сигнала распределения вероятностей, задавае мые плотностями вероятностей вида (3.1.1). Частично такая задача уже рассматривалась [22]. В этой главе дается ее полное решение.

Как было показано в первой главе, оптимальные по байе совским критериям процедуры принятия решений полностью определяются отношениями правдоподобия, вычисленными для всех возможных комбинаций пар вероятностных мер, соответ ствующих гипотезам. Очевидно, если все меры одного и того же типа, то достаточно вычислить отношение правдоподобия для любых двух из них. Обозначим эти меры Р\ и Р. Будем считать, что они принадлежат семейству Рд, и определяются соответственно плотностями f\n {z\, ..., zn) и fn (z\, ..., zn) вида (3.3.1) и (3.3.2).'Для простоты положим, что выполняются не равенства (3.4.1), а плотность f(x) ограничена и кусочно-не прерывна. При этих предположениях и будем искать отноше ние правдоподобия для мер Р\ и Р.

§ 4.2. Общее выражение для отношения правдоподобия

Обозначим отношение правдоподобия через Л(г). Т е о р е м а 4.2,1.

(п. в. Р1, Р), причем функция W(z) определяется леммой 3.4.1,

афункция V(z) — леммой 3.3.1.

До к а з а т е л ь с т в о . На основании теоремы 1.5.1 для рас

сматриваемых мер

Л (z)— lim

ТХ-f

почти всюду на Н относительно каждой из мер Р\ и Р. Введя

обозначения

[(z, и*) — (b , £//,)]=

[(z, vk) — (а, Ук))'2’ k

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ