книги из ГПНТБ / Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов

ных элементов

и систему положительных собственных

чисел

Все элементы

принадлежат И,

поэтому

(v„ vv) K =

(KVv, v^) = X.,b,

где 8v|l — символ.

Кронекера.

Следовательно,

на основании

стей случайных величин (г, т^), ... ,

(z , vn) относительно меры

Рг определяется

плотностью

f

, *п)

%

V

[zv - (а. о,)]3

dx,

2V

ли

к

(3.3.1)

а относительно

меры Р — плотностью

Л е м м а 3.3.1. Пусть

фиксированная

пара

мер Рх и Р

принадлежит семейству Р/т, { гД ^,— система

собственных.г

элементов корреляционного

оператора К,

а {Х,}^ — систе­

ма его собственных чисел. Если

(а -

b, vrf

(3.3.3)

< со,

v=1

К

то последовательность квадратичных форм

V n (z )

т х

[(*■ P v) - ( 6 , o , ) ] a

(3.3.4)

я

UA

Поскольку справедливо неравенство (3.3.3), всегда

можно вы­

брать

р настолько больш им, чтобы р — sup|(fi — a, v ^jy rTk j> 0 .

h>I

множеств

L,$ моно­

При этом условии последовательность

тонно

убывает с ростом л, стремясь к

L {з, и для

любого л:

нотонно убывает

с

ростом п.

Переходя

в

равенстве

(3.3.7)

к пределу по л,

можем записать, что

1 Г т

_

си

П

У - /

[/ы Т + р+ (Ь-а,

vk) i n k ]

P . ( i p ) = j / W '

_

1

ехр { пЧ dz,

dx.

схр (

ft=l

V rm

__

_

— (t^nrs+g—(b-a,vkW\k\

любом Р,

л

(£') =

Нт Р, (Z.p) = 1.

(З-моо

Так как все функции Fk[z) конечны и Н-измеримы, то

функция lim

у Ink

также

Н-измерима, благодаря

чему

ft-»-оо

Н-измеримо и множество Е'.

константа

Начиная с

некоторого значения к, найдется

сг <

оэ такая,

что для

любого

z £ E '

I

(*) | <

с2 /1 п к.

(3.3.8)

Выберем подпоследовательность чисел п1г л2, . . .

так,

что­

бы ряд из чисел "з 1

-

сходился. Тогда на основании неравен-

ства

(3.3.5)

/ пр

СО

I

1/

z£H-.\V„p^(z)-

<

00

Н-измерима. Множество полной меры,

на котором имеет место

сходимость подпоследовательности V,lp(z), имеется для

всякой

ш

последовательности пр со сходящимся

рядом 'V'' 3 1_

- . По-

Л-*- се

= V (г), причем I/' (г) является Н-измеримой функцией.

Повторив теперь предыдущие рассуждения с учетом нера­

венства (3.3.6), убедимся,

что

последовательность Vn (z)

на

Н-измеримом

множестве

Е

полной

P -меры сходится

к

(п. в. Р) конечной Н-измеримой функции V"(z).

на

Обозначив через У(г)

функцию, совпадающую с V'(z)

£\ и с V"(z)

на Е, получим,

что V(z)

Н-измерима и (п.

в.

Р 1, Р) конечна, а последовательность

Vti(z) сходится к У(г)

(п. в. Ри Р).

последовательность

Л е м м а 3.3.2. В условиях леммы (3.3.1)

функций

П

Vln(z)

т х

[(г, у ф

— (a,

-щ )]2

п

2 л

**

/!=1

(п. в. Ри Р).

V ( z ) = V 1(z)

(3.3.10)

Из равенств

Д о к а з а т е л ь с т в о .

„2

(а — Ь, уф"1 +

(а — Ь, уф*

м ,

п

н

M \ { V n-

VlB)2] - 4 - ^ - ^ ]

(a~ ^ - P*)8 +

,

Г m x

ft=l

2 u

(a —ь. ^)21

^

L

«

**

J

ft=l

и неравенства

(3.3.3)

вытекает

сходимость

последовательно­

стей Vn {z) и

Vm(2)

в среднем

квадратическом относительно

обеих мер к одному « тому же пределу.

§ 3.4. Сходимость последовательности линейных форм

Как и в предыдущем параграфе, будем

считать,

что пара

мер Я, и Я принадлежит семейству Р/т и определяется

плот­

ностями вероятностей

(3.3.1) и (3.3.2).

Для таких мер справе­

длива

и

Я при­

Л е м м а 3.4.1. Пусть фиксированная papa мер Я,

надлежит семейству Р/т,

— система собственных эле­

ментов корреляционного оператора К, и

{ХД“и1— система

его собственных кисел.

Если

(а. Щ)2

00

{Ь,

щ)2 < о о ,

v=l

< тс,

2

(3.4.1)

V=1

то последовательность

линейных форм

Wa{z)

у ^ [(г. «0~(Д. «у)] (a

*.)

(3.4.2)

v=l

Я,, Я) к Н-изме­

сходится в среднем квадратическом и (п. в.

римой, (п. в. Ри Я)

конечной функции W(z).

Для доказательства леммы потребуются неравенства

Я, {zf^H: sup

V ( г, Vk)

—

(a. Vk) \ а

> 4 <

V « B

2

и

h

л -

1

п

1 V-

( а — b,

v k )2

(3.4.3)

Xft

>

>е*

^

V

—(b, Vk)

P \ z £ H : sup

V (г,

v k )

> e

<

v < / l

<

2e2 У (a — hb. Vk)2

(3.4.4)

ft=l

J 2

(а - Ь,

y k) c?lv (г) Л (dz) =

0,

(3.4.5)

НfcS+1

J У ] (*’

(а -

b, v k) (г) Я (dz) =

0,

(3.4.6)

- - < « - * ■ ».>

на Qv

и равна нулю

вне

Q.,.

А левую его

Докажем

равенство

(3.4.5).

Обозначив через

часть,

найдем

П

^

’

2v)x

ft=v+ 1

- dzn =

cn

v

О

X exp

тх

х* dzu ... dza X

2х

У

fi=l

тх

rt—v

(а—6, t/fe)

exp X

2

X

2r.x

=WП X*^n-vhS**=v+ l

X*

Учитывая

неравенства (3.4.1),

(3.4.5)

и

(3.4.6) и принимая

во внимание

доказательство

(стр. 58 [28]),

убеждаемся

в схо­

димости последовательности

функций

(3.4.2)

(л. в.

Р\, Р).

Поскольку функции Wn(z) определены всюду на Я

и Н-изме-

римы, предельная функция

W(z)

Н-измерима

и (п.

в.

Р\, Р)

конечна.

§ 3.5. Семейство Р/-р,. Сходимость еще трех типов

последовательностей квадратичных форм

Пусть даны две вероятностные меры Р\

и Р из Pv, которым

стных мер Я, и Р из Р,, имеющих

одну и

ту же

плотность

f(x) с конечным моментом второго

порядка,

общую

для всех

где

/ — оператор

тождественного

преобразования

в простран­

стве Нв, А а— ядерный оператор в этом

пространстве; 0 < Х0 <

< оо — общее для всего семейства

число.

Р/Тх0 оператор Аг

Для

любой пары

мер

Я(

и Я семейства

имеет полную в Нв систему ортонормированных

собственных

элементов

и систему

положительных

собственных

чи­

сел

с

единственной

точкой

сгущения

/.0

такую, что

ряд

со

абсолютно.

Совместные распределения

^ (X fc — Х0) сходится

й=1

...

, Z n = X Vn(z)

вероятностей случайных величин Zj — X Vt(z),

для

этих мер на

основании

§

3.2

определяются

плотностями

вероятностей

со

я

тх

п

(3.5.2)

2х

zkI dx.

Если для элементов vu ..., vn построим функции <z,

Vy>, ..

<z, v„>

(§ 1.6), совместное распределение

вероятностей этих

функций также будет определяться плотностями

(3.5.1)

и

(3.5.2). Справедлива

Л е м м а

3.5.1. Если пара мер Pt и Р

принадлежит

се- -

мейству Р/7х0, то последовательность

функций

v . w - 3 - S <Z,

V k>-

(3.5.3)

*=i

сительно обеих мер к Н-измеримой (п.

в.

Р\, Р) конечной функ­

ции V(z).

При

помощи

равенства

(3.1.2) не­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

трудно проверить,

что

п+р

M,[\Vn+P

1

(Xk

Х0)

п + р

п

/1=1

п+р

о

п

+ ■

X

k“—

k = l

п

Оп+Р)2 /г=1

4

(п+Р)п

м [ [ У п+р- у пу - ) = Ч ^ + К ) . ^ ^ .

В силу свойств чисел

и А0

П + р

У ( K - h ) < с < O O ,

2 ^ ~ Хо)

< С < оо,

Ad

v'k

п+р

h=l

п

fe=--l

‘I■

У *

4

&

И = 1

Vn {z)

Поэтому последовательность функций

сходится в сред­

Л е м м а 3.5.2. Если

пара мер Р,

и Р принадлежит се­

мейству Р/7х„, то последовательность функций

I

=

(3.5.4)

fc=l

п

Р У , (>,->'.)

Н=Л

п

(1-1

Л Г [ ( ^ - Х 01/1Л}2] =

П

X/; —Хц

Xft

-(•■+** 4 У

поскольку

к=1

У (>^-^о)2< с 1< со ,

ft=i

< С < оо,

h*= 1

л

Х*-Х0\2^ Со <С

ч Ь

х* -

х0 < С 3<С»

А = 1

Xft

J j

Ч

ii=i

устанавливает

Если

пара мер Р, и Р принадлежит се­

Л е м м а 3.5.4.

мейству Р/т),0, то

последовательность функций

Un (г) = тх

^

Xft —Х0

(3.5.5)

.сходится (/г. в. Р], Р)

к ti-измеримой (п.

в. Ри Р) конечной

.функции U (г).

Равенства

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ИJSIk = 1

х* — х0

<г,

г/А> Р, (dz) = ^

| К — Д I,

п

п

Xft —Х0

Xi. —Хп

<2,

P{dz) = ^

Vh>4

сходимость ряда

У I

— Х01 и неравенство infXft> 0

обеспечи-

вагот сходимость

й=i

ftbl

функций

(п.

в. Р,, Р) последовательности

п

V Хь —Xfi

< z .

Поскольку

s=i

n+p

n + p

—д

и

<2, Vky

<

h=/i

k—n

s

последовательность функций

Un {z) сходится (п. в. Pi, Р). При

этом предельная функция U(z)

почти всюду конечна относи­

тельно каждой из мер и Н-измерима.

!1” Ш

г А ' f w

( т ) Т е *р { - & }

= / ( “)•

о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Изменяя

переменную

интегрирования

по формуле t — ~Y и вводя

обозначения

(3-6.1)

/=■„ (0 = ^ — (l — Д-) !п г — 1 — Д

«,

(3.6.2)

получим равенство

со

О

о

f ( x ) в

Непрерывность

функции

окрестности,

а (1—

< [a(l + s)

при

некотором

0 < s < l

обеспечивает непрерыв­

ность функции

/ ( — ) в окрестности

ап

г

!+Th- ■

а

Поскольку

a =

lim ап, то при 3 =

-ру— найдется такое п0, что

л —»-со

1 ■'

8