книги из ГПНТБ / Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов

то оператор А при этом отображении переходит в унитарно эквивалентный оператор умножения на ограниченную сумми­ руемую функцию Gi(co), а оператор В — в унитарно эквива­ лентный оператор умножения на ограниченную суммируемую функцию G(со) (стр. 546—551 [26]), причем функции Gi (со) и G(со) оказываются неотрицательными, а соответствие — взаим­ но-однозначным. В рассматриваемом случае все перечисленные выше условия ортогональности вероятностных мер эквивалент­ ны теореме 2.3.6, т. е. определяются свойствами оператора А\. Справедлива

Т е о р е м а 2.7.1. Пусть операторы А и В в Ь2(Т) унитар­

но эквивалентны операторам умноокёния в L2 на ограниченные суммируемые четные неотрицательные функции Gifco) и G(со) соответственно, обращающиеся в нуль не более, чем на мно­ жестве меры нуль; и пусть найдется такое число 0<Хо<°°, что функция

фМ=%£т-х»

ограничена, при вещественных ш и обращается в нуль не более, чем на множестве меры нуль, причем

J* | Ф (ш) | ййо

Тогда операторы А и В будут положительными и ядерными с непрерывными ядрами, а оператор А\ положительно определен и равен сумме единичного оператора, умноженного на }.Q, и ядерного оператора.

Прежде чем доказывать теорему, докажем несколько вспо­ могательных предложений, считая выполненными условия тео­

означает, что ее преобразование Фурье иг(со) удовлетворяет неравенству

(Аи, и )— j G, (ш) | nr (oj)|2aV

Отсюда, если (Аи, и) —о, функция G, (ш) | ит(ш) |2 эквивалентна нулю. Так как функция |« 7(о>)|2 обращается в нуль только

40

этому утверждать, что функция Ki{t—t') является эрмитовонеотрицательным ограниченным ядром (стр. 148 [8]). Это ядро порождает ядерный оператор А (стр. 151 [8]). Непрерывность ядра К\ можно доказать, если воспользоваться (стр. 82 [26]). Совершенно аналогично доказываются перечисленные утверж­ дения и для оператора В.

Л е м м а 2.7.3. Если при любом отличном от нулевого эле­ менте и £ Л линейный ограниченный оператор В удовлетворяет неравенству (Ви, и)>0, то существует определенный на всюду плотном в Н линейном множестве Dc линейный оператор С с всюду плотной в Н областью значений такой, что

Выберем С = В 2. Этот оператор имеет всюду плотную в Н линейную область определения DC = R ] и для него при лю-

в-

бых и и v из Dc справедливы равенства

41

рицательна, ограничена и суммируема, в силу чего к ней можно применить лемму 2.7.1. По этой лемме оператор Л0

Отсюда, как и в лемме 2.7.2, следует, что оператор Л^ яв­ ляется ядерным.

4 2

2 КА>и*. «*)1 < 03■ ft=l

прямым следствием тёоремы 2.4.1.

§2.8. Случайные процессы, удовлетворяющие найденным условиям ортогональности

'Пусть случайные процессы %(t) и £;(/), как и в § 2.6, по­ строены при помощи функционала бt(u), и процессу |(£) соот­ ветствует нулевое математическое ожидание и функция корре­ ляции

и та же самая функция корреляции, причем процесс £(f) П0‘ ■рождается мерой Р, а процесс %\{t) — мерой Р]. Пусть про­ странством Я будет L2[0, Т], а оператор К определяется равен­ ством

43

Легко показать, что область RK значений оператора К на Е2[0, Т] состоит из всех абсолютно непрерывных функций f(t) пространства L2[0, Т] с абсолютно непрерывной первой и квад­ ратично интегрируемой второй производными, удовлетворяю­ щих граничным условиям

/( 0 ) + /( Г ) = /'(0 )7 \ f'(0) + f ( T ) = 0.

Функция К (г), определяемая равенством (2.8.1), суммируема на всей оси, поэтому по лемме 2.7.1 оператор К будет положи­ тельным, а по лемме 2.7.2 — ядерным.

Дифференцированием равенства (2.8.3) найдем, что опера­ тор Л'-1 определяется на Як при помощи равенства

которое путем интегрирования по частям и применения гра­ ничных условий (2.8.4) приводится к симметричному (относи­

мыми первыми производными. Для решения вопроса, состоит ли пространство Нк -\ из всех таких функций или эти функции

должны удовлетворять граничным условиям (2.8.4), можно по-х ступить следующим образом (стр. 83 [1 7 ])строим функционал

числу принадлежат и краевые условия (2.8.4), они естествен­ ные, и функции из пространства Нк ~i не обязаны удовлетво­

рять им. В противном случае граничные условия называются главными, и. функции из Нк-\ обязаны удовлетворять им.

Решая вариационную задачу для рассматриваемого случая, находим, что условия (2.8.4) являются естественными, а про­ странство НЛ._1 состоит из всех абсолютно непрерывных функ­

44

ций с квадратично интегрируемой первой производной. При этом 'функция a(t), определяемая равенством (2.8.2), не при­ надлежит Нк -\> благодаря чему из теоремы 2.3.3 вытекает ор­

тогональность мер Р1 и Р. Разумеется, эти меры останутся ортогональными, если взять в качестве а(1) произвольную раз­ рывную функцию.

Л

Г л а в а 3

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЕМЕЙСТВА Pv

§3.1. Семейство Pv

Пусть f ( x ) — функция на числовой оси, являющаяся плот­ ностью вероятностей некоторой положительной случайной ве­ личины с конечным первым моментом. Введем семейство плот­ ностей распределения вероятностей,' определяемых формулой

f i t ( - И > • • • > ^ п )

СО

= Г / ( х ) П ^ 1 А ехр | _ J -(A [2 — z], (г — Щ й х , (3.1.1)

и( 2 к х ) 2

где Л представляет собой положительно определенную п- мерную квадратную матрицу с элементами 'km', detA— опреде­ литель матрицы Л;

странстве Rn. Случайные величины с плотностями совместного распределения вероятностей вида (3.1.1) обладают свойствами, до некоторой степени сходными со свойствами гауссовских случайных величин. В частности, центральные моменты нечет­ ного порядка для этих случайных величин, как и для гаус­

совских, равны нулю; и, если Z?, Z°, Z 3 и Z 4— результаты центрирования математическими ожиданиями случайных вели­ чин Zb Z,, Z3, Z, с плотностью совместного распределения вероятностей (3.1.1), то

м \z\z\z\z5] = *+,т ’х [м [z\z\J м [zgz^] +

т-.

+ Ж [Z?Za] М [Z§ZS] + М [Z?ZS] М [Z§ZS]}, (3.1.2)

45

причем

ранство, то при помощи семейства плотностей вероятностей (3.1.1), можно задать на нем конечномерные распределения вероятностей с функционалом математического ожидания m(v) и корреляционным функционалом K(v, v'). Пусть vu ...,

тогда и только тогда определяет счетно-аддитивную вероятно­

1.4.1.

Пусть мера Р счетно-аддитивна. Непрерывность m(v) и корреляционного функционала K(v, v'), а, следовательно, су­ ществование, ограниченность и неотрицательность корреляци­ онного оператора К являются следствием неравенства

J (z, v)2P{dz) — K{v, v) -f- m2(ц) < oo

н

(стр. 404 [6]). По теореме 1.4.2 для каждого е>0 найдется та­ кой ядерный оператор А, что характеристический функционал ср(ц) меры Р удовлетворяет условию

Re [1 — <р(о)] < е,

46

если (Лг1, v) < 1. Так как характеристический функционал

<Р (г/) = \ e J {v' Z)P ( dz) =

я

/С (г;, -о) < С 6,

где СЕ— положительная константа. Благодаря непрерывности функционала К (v, v), его можно выразить^равенством

K{v, v) — {Kv, v)

через корреляционный оператор К и написать неравенство

(Kv, т>)< Св (Лг\ v),

из которого следует, что оператор К имеет конечный след. По­ скольку этот оператор ограничен и положителен, то отсюда будет следовать его ядерность. Теорема доказана.

Назовем совокупность вероятностных мер, удовлетворяю­ щих условиям теоремы 3.1.1, семейством Pv.

Очевидно (§ 2.2),

Рт СРр.

§3.2. Случайные функции с распределениями вероятностей из Р7

Пусть В (о, v') — начальный момент второго порядка не­ которой вероятностной меры Р на Я (§ 1.4). Если ср(о)— ха­ рактеристический функционал меры Р, то при любых v я w из Я

47

!расширить по непрерывности на все пространство Нв, получен­ ное замыканием множества Н при помощи скалярного произ­ ведения

В частности, это справедливо и для характеристического функ­ ционала, определяемого формулой (3.1.6).

Если Нк — гильбертово пространство, полученное замыка­ нием множества Я относительно скалярного произведения

(и, v')K — K(v, ю').

а функционал m(v) непрерывен относительно нормы ||т>])А., то функционал ср (v) можно расширить и на все пространство Нк .

Это обстоятельство позволяет вычислять функции совместного распределения вероятностей случайных величин из соответствующих элементам г»,, ... , v„ из ИЁ (§ 1.6), как

функции распределения вероятностей, определяемые расти-, ренным характеристическим функционалом, поскольку каждый

не принадлежат И, но принадлежат Нк и линейно независи­ мы, а функционал m(v) непрерывен относительно нормы Ц ||Л-, то эти элементы принадлежат и Нв, причем функция совме­ стного распределения вероятностей случайных величин X v.f

L— 1, ... , п из L.,(B) для семейства Рт, как нетрудно пока­ зать, опять будет определяться плотностью (3.1.5). Если эле­ менты v-t, i — 1, . . . , п линейно зависимы, функция совме­ стного распределения вероятностей случайных величин X v.,

i = 1, . . . , п из L2{B) не будет иметь плотности. Для ее на­ хождения в общем случае нет необходимости использовать характеристические функционалы. Можно, например, восполь­

где cp — некоторая последовательность, стремящаяся, у би ­ вая, к числу с.

-18

а функционал m(v) — непрерывной функцией b(t). При помо­ щи функционала 8t(u) строим случайную функцию %{t) (§ 2.6).

х = 1, . . . , п и значения случайной функции S(^), . . . , k{tn). Функция совместного распределения вероятностей случайных величин £(£[), . . . , $ (£„) определяется при этом плотностью (3.1.5). Нужно -только положить в формуле (3.1.5)

K{vtl, *>,,) = *■(*„ U)

и

Полученные выражения позволяют интерпретировать случай­ ную функцию i(t) как произведение гауссовской случайной функции (() и случайного положительного коэффициента X

сплотностью вероятностей f(x).

Винженерной практике в качестве математической модели различных физических шумов широкое распространение полу­ чило гауссовское распределение вероятностей. Но не всегда

такая модель достаточно точно отражает реальную картину. Действительно, если .рассматривать шум в течение сравнитель­ но небольшого промежутка временя, то его иногда с удовлет­ ворительной точностью можно аппроксимировать гауссовской моделью. Однако часто дисперсия этого процесса сама явля­ ется случайной величиной, что обусловлено медленным (по сравнению е интервалом наблюдения) случайным изменением параметров источника шума. В этих условиях естественнее пользоваться моделью шума в виде гауссовского процесса со случайной интенсивностью.

§3.3. Семейство PJV. Сходимость последовательностей квадратичных форм первого типа

Определим семейство Р/т как совокупность всех пар мер ? i и Я из Рт с одной и той же для всех мер плотностью f{x), имеющей конечным» второй момент, и общим для каждой пары мер корреляционным оператором К.