Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

введём	гильбертово пространство Н в.						Аналогичным образом,
при помощи скалярного произведения
				(и,	v)A = (Аи, v)					(1.6.2)
введем	пространство Н А.				Из	положительности		и	ограничен
ности операторов			А и В и			сепарабельности пространства					Н
вытекает сепарабельность пространств							Н А и' Нв.
На элементах			Н равенством
					V u = u
определим отображение из Ив в НА.							Если при	этом		обозна
чим через		l/* отображение из НА в					Нв, сопряженное с				V,
а через		— оператор		V*V в Нв, то			получим	равенство
	(u ,v ) A = (Vti,			Vv)A= (V * \/и,			v )b = (A]l и,		v)B.	(1.6.3)
Возможны два случая:
а) оператор А { ограничен и положительно определен;
б) оператор А\			не удовлетворяет условиям а).
Будем		считать, что		выполнены условия а),				поскольку, как

показано в следующей главе, для широкого семейства вероят ностных мер при невыполнении этих условий меры Р и Р\ ока зываются ортогональными и необходимость в вычислении от ношения правдоподобия отпадает, так как в этом случае на основании теоремы 1.3.1 оно равно нулю почти всюду на Я относительно меры Р и равно бесконечности почти всюду на

Я относительно меры Р{. Если условия			а) выполнены,	прост
ранства	На и Нв состоят из одних и тех же элементов			(топо
логически эквивалентны).
Обозначим через {Kv{z)} класс функций от z на Н, опреде
ляемых	условиями Xv(z) = (z, v), vQH. Замкнув этот			класс
функций при помощи скалярного произведения
	М [XV’X*] =	[ AV (z) X*{z) Р (dz),		(1.6.4)
		н
получим	гильбертово пространство		Замкнув класс функ
ций [А\, (г)} относительно скалярного произведения
	Л\, \Х* А,- ] -	j AV (г) X-J- (z) Р, (dz),		(1.6.5)
		н
■получим	гильбертово пространство L2(A). Если бы меры Р и
Р 1 были	эквивалентными, пространства		L2(A) и L2(B)	можно

было бы отождествить. В общем случае этого сделать нельзя, поскольку элементы пространства L2(A) не обязаны быть из меримыми по мере Р, а элементы пространства L2(B) не обя заны быть измеримыми по мере Л , хотя между элементами этих пространств и существует некоторое соответствие.

Поскольку для любых v' и v" из Я, в силу формул (1.4.3), (1.6.1) и (1.6.4),

М [AVAVj =(х)', v")Bt

множество элементов пространства Н линейно и всюду плотно в Нв, а множество функций {А„(;г)} линейно и всюду плотно в L2(B), отображение

тв"° = Х * (z )

продолжается до изометрического отображения пространства Нв на Lo(B). Это обосновывает

Т е о р е м а	1.6.1.		Пусть	Hi(i = l, 2 ) — два		гильбертова
пространства	со скалярными произведениями (и, и) у Gi (i =
. = 7, 2) — некоторое подмножество					GidHi (i = 1, 2); L(Gi)—
линейная оболочка		множества		Gi,	a H(Gi) — ее	замыкание в
Hi. Если между G\		и G2 установлено взаимно однозначное со
ответствие, при котором
(И1. и.Л =			К ®г)а,	=	(7= 1,	2),
			И/бО„	G С7о,

то оно может быть продолжено до изометрического отображе ния H(G\) на H(G2) (стр. 235 [4]).

Аналогичным образом, при помощи теоремы 1.6.1, с учетом равенств (1.4.3), (1.6.2), (1.6.5) и совпадения множеств эле ментов Н 4 и Нв соответствие

TAv = X v (z)

поодолжается до изометрического отображения пространства Нв на L2(A). Следовательно, и между пространствами Ь2(В)

•и 7-2(А) существует изометрическое соответствие Т.

Каждый элемент v £ Нв является пределом последователь


ности Vn элементов		из //, сходящейся		по норме пространства
Нв. Всякая подпоследовательность v n				последовательности vn
сходится к тому же пределу. Поскольку отображение Тв						сопо
ставляет	каждому	элементу v £ H B		единственный элемент
X v£ L 2(B), являющийся			пределом в среднем		квадратическом
относительно меры		Р	последовательности функций X v			(z) =
= (z, v n),	а из этой	последовательности можно			выбрать	схо
дящуюся	почти всюду		на Н относительно меры Р (п.			в. Я)

подпоследовательность функций X v (z), элементу v ^ H Bможно сопоставить предел такой подпоследовательности. Функции X Vn

определены всюду на Н и Н-измеримы. Множество сходимо сти 5 этой подпоследовательности также Н-измеримо. Предель ная функция определена на S и тоже Н-измерима. Подпосле довательность V„ может быть выбрана так, что подпоследо

вательность X Vn (z ) будет сходиться почти всюду относительно

мер Я и Ру (п. в. Я, Я,). Если — множество сходимости этой подпоследовательности относительно меры Яь то это мно

жество Н-измеримо, как	и предельная	функция.	Обозначим
через < з, v> функцию,	совпадающую	с первым	пределом на
5 и со вторым пределом на S j\S . Эта		функция определена на

П->оо ё п ( ‘ П2 )

Н-измеримом множестве Si	U S, Н-измерима	и конечна (п. в.
Р, Pi)-	элементу v £ H s	ставится в соот
Таким образом, каждому	элементу v £ H s	ставится в соот

ветствие Н-измеримая функция <z, v>, принадлежащая как

пространству Ь2(В), так и пространству L2(A),					и равная (п. в.
Р) элементу Xv £	L2(B)	и (п. в.	Ру)	элементу Xv —TXV из
L2{A).
§ 1.7. Второй	метод вычисления		отношений		правдоподобия
Пусть на измеримом		пространстве		(Н, Н) определены две
удовлетворяющие	условию (1.4.4) вероятностные меры Р и Ру

с положительными операторами момента второго порядка В и А

соответственно.		Фиксируем	в Нв произвольный		базис {,п*}”_1
и обозначим через Тп отображение пространства					Н	в R",		за
даваемое	равенствами
_		tk— <z, v t!>, k — l,		, п.
Пусть Руп— распределение			на Rn,	индуцированное		при		ото
бражении	Тп мерой Ри а Р п— распределение на Rn,						индуци
рованное	при	отображении	Тп мерой Р. Если при каждом п
распределение		Рщ{С) определяется плотностью gin(t),					распре
деление Рп {С) — плотностью gn (t), а функция /					(z)	и	множе
ство 5 определяются формулой (1.5.1), то справедлива
Т е о р е м а		1.7.1.

HmglnSLnZ\ = f n(z) почта всюду на Н относительно меры Р,

Hm gln ^Z.nZ\~ =	f(z )	почти всюду на S	относительно меры Ру,
Л-.0О ё п \ ‘ П2 )
Пт g l f l =	-г со почти всюду на S		относительно меры Ру.
ё п ( Т „ 2 )		j
Доказательство		этой теоремы почти дословно совпадает с

доказательством теоремы 1.5.1. Разница лишь в том, что те

перь	нельзя считать а-алгебру	Н«„ совпадающей с Н.	Однако,
если	/ч	симметричную разность	между
если	обозначить через АДА	симметричную разность	между
	л

множествами А и А, то в данном случае можно воспользовать ся таким утверждением.

Для любого	А £Н	существует	непустое множество		/Ч
					Л £ Нот
такое, что	Р (АДА) = Рг (Л ДА) = 0.
					(1.7.1)
Это утверждение эквивалентно			следующему.	Пусть	F c H
является классом всех		множеств Л £ Н таких, что		A £ F	содер
жит непустое	множество А £ H^,		удовлетворяющее		(1.7.1).
Тогда		F = H.

			ч
Докажем	второе утверждение. Если	ряд V	ckv k сходится
по норме пространства Н в к элементу		А=1	то последова
по норме пространства Н в к элементу		Н в ,	то последова
тельность	П
	Т»п = 2С* <г-

* = 1

■функций от г сходится в среднем квадратическом относитель но каждой из мер Р, Р\. Каждая функция последовательности <г, и>п измерима относительно о-алгебры Нп, а, следова тельно, и относительно Н«,. Все функции этой последователь

ности определены на Нм-измеримом множестве			Е полной Р и
Р г меры,	являющемся пересечением	областей	определения
каждой из этих функций.		v > n подпоследователь
Выбрав	из последовательности <z,

ность <z, v>„v функций, сходящуюся (п. в. Р, Рi), опреде

лим функцию

-Сг, о » ,

совпадающую

с пределом (п.

в. Р)

подпоследовательности

<z; о > „ в

на

множестве S

ее сходимо

сти (п.

в.

Р)

и с пределом этой подпоследовательности на мно

жестве

ее

сходимости (п. в. Р\).

Очевидно, на

SUSi

оба

предела совпадают. Так как S n ^ i

Н-измеримо,-а

<Сz,

на

5 U5 i

равна

верхнему

пределу

подпоследовательности

<z,

o>nv, то функция <^z, v^> 'будет Н«,-измеримой.

Пусть

Тогда

(z, г») =

« 2, г>»

(п.

в.

Р,

РО.

(1.7.2)

Если A G Н

определено условием

А =

{z : (г, v t) < р„ v t £Н ,

i =

... , /г),

существует

непустое

множество

А £ Н т ,

удовлетворяющее

условию (1.7.1). Действительно, рассмотрим

множество

А — { г :< г , г/г» < р „ v ^ H , i = \, . . . , п].

Ясно,

что А £ Н ГО. Определим

S^GH условием

Разумеется,

Sv = { z :(z ,

v) =

<^z, т/>}, v £ H .

P(SV) = P 1(SV) =

1, v £ H .

(1.7.3)

Но поскольку

А = А П Д Я . J + А П

U S v, ] ,

(1-7.4)

A = A R [ QSi ,

+ А П

(1.7.5)

A n (fli5l'J =

л п \ p S v A

(1.7.6)

то из равенств (1.7.3)

Р АП U S v,	= р
i= i	^ n (iM Sv‘
А п ( и s 0(	= р , Аn (" и Sv,		:0. (1.7.7)
	1=1	1

Комбинируя теперь выражения (1.7.4)—(1.7.7), получим (1.7.1)-

Остается

доказать

равенство

F =

H. Класс F—алгебра. По

кажем, что

он является

а-алгеброй.

Пусть

A(£F,

i — 1, 2, ...

Тогда из определения F вытекает существование А; £ Н такого,

что

Я(А;Д А ,)= 0,

* =1 ,

2, ...

(1.7.8)

Определим

две

последовательности

множеств меры нуль Mi

и ЛД i — 1,

...

формулами

Тогда

М , =

Л , -

A,., N, =

Л ; — А {.

(1.7.9)

A;UA1;, г =

2, ...

Поэтому

А ,

—

N t C

Z &

t C Z

U At. - U A f , C U

Л, с

U Л,

U ЛЬ

1 -1

( = 1

1=1

\ i - l

\ i = l

откуда следует

U А г - U А(с U N„

U А, - U А,-С U М,.

1-1

1=1

1-1

1=1

Таким образом,

U А,

U А ,

i—\

i=i

т. е.

UA ,6 F,

1=i

икласс F является а-алгеброй. F содержит в себе класс мно жеств, порождающий Н. Действительно, А £ F, но класс всех множеств А порождает Н, поэтому

Из определения F		FD H .
Из определения F		FCH .
Следовательно,		FCH .
Следовательно,		F = Н.
Что и.требуется.		F = Н.
Что и.требуется.		пространстве (Н, Н) определена		о-ко-
Если	на измеримом	пространстве (Н, Н) определена		о-ко-
нечная	мера X и Н — пополнение Н относительно		X, то	с тем
же успехом можно в §		1.5—1.7 пользоваться не	пространст
вом (//,	Н), а пространством (/7, Н).

Г л а в а 2

ИДЕАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

§ 2.1. Постановка задачи

Вероятностные меры Р и Р ь определенные на измеримом пространстве (Н, Н), называются ортогональными, если суще ствуют непересекающиеся множества S и Si из Н, для кото рых

P (S ) =	1,	P(S>) = О
Pt (S) =	О,	Pi(S1) = l.

Если имеются две гипотезы и меры, соответствующие им, ортогональны, то, как следует из теорем 1.2.2 и 1.3.1, байесов ская процедура принятия решений определяется множествами S, Si н ей соответствуют вероятности ошибок, равные нулю. В случае, когда на пространстве (Н, Н) определены N вероят ностных мер Pj, t='l, ..., N и все эти меры попарно ортого

нальны, из теоремы_ 1.3.1 вытекает,	что функции fhi равны ну
лю на множествах Ski, а множества
( » : / „ Н =	А.}

пусты. По этой причине оптимальная по минимуму вероятно сти ошибки процедура принятия решений определяется, соглас но теореме 1.2.4, множествами

Е 'ь= П S kh

1= I

а соответствующие ей вероятности ошибок

A ( £ ‘*)<A(5i«v) = 0 при кф ч .

Назовем оптимальную по какому-либо из байесовских кри териев процедуру принятия решений идеальной, если все соот ветствующие ей вероятности ошибок равны нулю. Поскольку только что рассмотренные случаи представляют наибольший интерес для практических приложений и для них идеальностьпроцедур принятия решений вытекает из ортогональности мер, условия ортогональности вероятностных мер и будут предметом рассмотрения в данной главе. Вывод этих условий будет осно вываться на следующем положении.

Меры Р\ и Р ортогональны, если для некоторой последова тельности множеств Sn 6 Н, /г= 1, 2, ..., выполняются соотно шения

Н т Я (5 л) = 0,	lim Pl (S„) = 1
П - * СО	П - > СО

(стр. 95 [11]).

§ 2.2. Основные семейства распределений вероятностей

Будем рассматривать лишь вероятностные меры, удовлетво ряющие некоторым ограничениям.

Отнесем распределение Р к семейству Р„, если ему соот ветствует ядерный оператор момента второго порядка, а мера цилиндрических множеств с борелевскимн основаниями над линейно независимыми элементами определяется плотностью.

Справедлива			Ра соответству
Т е о р е м а 2.2.1. Распределению семейства			Ра соответству
ет положительный оператор момента второго порядка.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть В — оператор			момента второ
го порядка меры Р из семейства Ра.	Если	найдется отличный
от нуля элемент щ £ # , для которого
J(z, v xfP {dz) = {Bvx,	н,) =	0,
н

го мера Р сосредоточена на подпространстве, ортогональном к элементу щ. Фиксируем Некоторое конечномерное подпрост ранство, содержащее элемент щ, и цилиндрическое множество над этим подпространством. Мера цилиндрического множества равна мере основания в фиксированном конечномерном простран стве. Пусть эта мера будет отличной от нуля. Очевидно, она будет сосредоточена на подпространстве, ортогональном эле менту v\. Мера Лебега этого частного подпространства равна нулю. Следовательно, для выбранного цилиндрического мно жества мера не определяется плотностью. Но это противоре чит условию теоремы.

При каждом v £ H функция (г, и) от z Н-измерйма, а по этому является случайной величиной. Функция {z, и) от двух

переменных 2		£ Н и v £ Н по этой			причине	является случайной
функцией.		через m(v) математическое				ожидание	случай
Обозначим
ной функции (z, и), а			через	K{v,	v) — ее дисперсию. Началь
ный момент второго порядка				(Bv,	v) меры Р из Ра выражает
-ся через эти величины при помощи равенства
		{Bv,	v) — K{v,		v)-\-m l {v).		(2.2.1)
Так как	В —-ядерный		оператор,		то m(v) — непрерывный ли
нейный	функционал, a		K(v,	v) — непрерывный квадратичный

функционал в пространстве Н. Это означает, что существует элемент b £ Я, для которого

m{v) — {b, v),

(2.2.2)

и существует ограниченный линейный оператор К в Я, для ко торого

K{v, v) — {Kv, v).

(2.2.3)

Если примем во внимание ядерность оператора В и равенства (2.2.1) — (2.2.3), то легко придем к выводу, что оператор К также является ядерным.

.26

Назовем оператор К корреляционным.

Разумеется, если мера Р принадлежит семейству Ра, а Ьу,


•v=l,	2, ....	я — математические ожидания случайных			вели
чин (z, vv) с линейно независимыми элементами vv, v=l ,					2, ..
я из	Я, то	совместные	распределения случайных	величин (z,
vv)—m(vv),		v=l , . . я	полностью определяются	плотностями

вероятностей. Как и при доказательстве теоремы 2.2.1. нетруд но убедиться, что справедлива

Т е о р е м а 2.2.2. Вероятностной мере из семейства Ра со ответствует положительной корреляционный оператор.

Выделим теперь более узкое, чем Ра семейство вероятност ных мер. Пусть Fv(x) ■— функция распределения случайной ве личины (z, v). Будем считать, что ме р а Р ( ; Р а принадлежит семейству Рр, если она при любом отличном от нулевого v £ Н удовлетворяет равенству

х — m (у)

У К (v , v)

? v(x)= | g{t)dt,

—СО

вкотором g(t) является плотностью вероятностей, не завися щей от v £ Я.

§2.3. Условия ортогональности вероятностных мер

из семейства Рр

Используя тот же подход, что и для гауссовских мер (стр. 104 [11]), докажем несколько теорем об ортогональности мер из Рр. Пусть вероятностные меры Р и Pi принадлежат семей ству Рр, причем случайной величине (z, v) при фиксирован ном v относительно меры Р соответствуют математическое ожи дание (b, v), корреляционный оператор К и плотность вероят ностей g(t), а относительно меры Pi — математическое ожидание (a, v), корреляционный оператор Q и плотность ве роятностей g](t).

Т е о р е м а 2.3.1. Вероятностные меры Р			и Р\ из семейства
Рр ортогональны при нарушении неравенств				(2-зл)
0<ci<77SHJf<^<ю’
где ci и с2— константы.	Согласно	теореме	2.2.2,	операторы
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Q п К положительны,	поэтому в Я	не существует		элемента,

для которого бы какая-либо из форм (Kv, v) или (Qv, v) об ращалась в нуль.

Если существует последовательность v n элементов из Н

такая, что (/0	в,„ v n) — \, (Qvn, vn)	0 при	со., то
Р	{\| («, -»„) — (a, vn) \| <	ViQVn,	vn) } =

		=	j	g (t) dt -» 0,
	\t — {a — b , v n) \ < V(Q vn, *«„)
P\ (l (2.	®n) — (a,О		\| — r'(Qy„,			u„)} =	j gi (t) dt->			1.
.	>						I < 1<	4	1
.	>			(Kvn,	v n)			V (Qvn, 'V„)
Соответственно,		если		(Kvn,	v n)	0,	(Q^n,	-a,,)	1	при
n - У с о , TO
^{l (г,		®„) — (/>,		г)п) \| <	V (K vn, vn) } -у 1,

Pi \l (-. ®I.) — {b, v n) I < V0<vnt v „)} -» 0.

Теорема доказана.

Замыкая совокупность элементов Н при помощи скалярного произведения

		(н , v ) q = {Qu , v ),
получим	гильбертово	пространство Hq. Т очно таким же обра
зом для	скалярного	произведения
		(и, v)K — (Ku, v)

получим гильбертово пространство Нк . Из сепарабельности

пространства	Н в данном			случае вытекает		сепарабельность
пространств H q и Нк .			Если выполнено условие			(2.3.1), то про
странства Hq и Нк состоят из одних и тех же элементов.							вве
Так же, как в §		1.6 введен оператор			А и здесь можно
сти оператор Qb связывающий равенством
			(и, v)Q= (Q,k. v)K
скалярные произведения пространств H q и Нк.							если
Назовем оператор			Qx положительно		определенным,
найдется постоянная d> 0 такая, что
			{QiU,	и)к > d\\ufK.
Из теоремы 2.3.1		следует
Т е о р е м а	2.3.2.	Вероятностные меры Р и Р\ из семейства

Рр ортогональны при нарушении хотя бы одного из следующих условий:

1)оператор Q\ ограничен;

2)оператор Q\ положительно определен.

Исследуем теперь функционал

A {v) — (a, v) — (b\ v).	(2.3.2)
Т е о р е м а 2.3.3. Для неортогональных мер Р и Pi	из се

мейства Рр функционал А (и) на Н линеен и ограничен относи

тельно норм пространств Нк и H q .		яв
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Линейность функционала А (о)
ляется очевидным следствием равенства (2.3.2). Докажем		его
ограниченность. Можно	считать выполненным условие (2.3.1);

поэтому, если Д (и„)->--F°o при »-*оо для некоторой последо

вательности	On 6 ^	такой, что (Kv„,				оп) = 1,		то	при п->-оо
Р {(*,	v„) — (b,				=		j	g(t)dt-+ О,
							КЧ%)
			__________				со
Л {(г, ®„) — (&,		г»„) > V & (uj) =					j			{t) dt - r	1.
Если же — Д (г'„)-> +			со при	я ->■оо,			/ («"л- «л)
Если же — Д (г'„)-> +			со при	я ->■оо,		то
Я {(г, г/,;)— (a, v„) > V — а(г/я)} =							J		g(t)dt +		1,
Л {(Ч ®„) — (л,		v„) > / -		Д (г-,,)}	=		\|		(*) dt ■		0.
							~ л {vn)_
							V(« V п)				(Kv,
Таким образом,		функционал Д(и)					конечен		ода	сфере	(Kv,
и) = 1, т. е. ограничен относительно					нормы 1Ы 1к				на	множестве
Я. В силу условия			(2.3.1)	он оказывается				ограниченным на
этом множестве и относительно нормы \|\|i/\|\|q.									Р и Р\ из се
Т е о р е м а 2.3.4.			Для неортогональных мер						Р и Р\ из се
мейства Рр функционал A(v)				удовлетворяет неравенству
			& (4ft) <		°°,
			k = \
в котором Vk — собственные элементы,							a ).k — собственные				чис

ла корреляционного оператора К, соответствующего мере Р.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из принадлежности меры Р к семей ству Рр вытекает положительность и ядерность оператора К. Таким образом, оператор К имеет полную в Я ортонормиро-

ванную систему собственных элементов {г/;{}”=1 и систему по ложительных собственных чисел. По теореме 2.3.3 функционал Д(о) = (а—b, v) непрерывен, а, следовательно, и ограничен от носительно нормы пространства Нк- Благодаря этому, по тео реме Риса, 'В Нк существует элемент w, для которого при лю бом v ^ Я

(a — b, v) = {w, v)K .

(2.3.3)

Но при w £ H K и v ^ H

(то, v)K = (Kv>, v),

атак как множество Н всюду плотно в Нк , то

а— b — Kw.

Нетрудно показать, что система элементов

(2.3.4)

^>k_ оо

V 4 }/1=1

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ