книги из ГПНТБ / Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов

A(Z) =

/

V(*)

exp

U ( z )

(5.2.1)

f [ V ( z ) )

2

V ( z )

(п. в. Pu P); функция U(z)

определяется

леммой

3.5.4,

функция V(z) определяется леммой 3.5.1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если v u ...

, vn— собственные эле­

менты оператора A i,

совместные

распределения вероятностей

случайного вектора (<z,

... ,

<z,

t>„>} для первой и

нуле­

вой гипотез определяются формулами (3.5.1)

и (3.5.2). Для них

А С_\

fin (^Z, УУ,

• ■• |

KZ, f n>) __

n{z) ~ f n(<z, v y ........<*, t-„» —

] /

j f ( x ) ( x )

2 e x p j — ^ - ^ < z ,

)

о

1

*=i

_ г

L

J

(5.2.2)

Г«(г).

x"/n v

где

k~\

П

h=l

Угп (z) —

« , v k >

n

\ k

/1=1

42

Y u e

ДД

e x p {—ё ’- t ''•«(*)}rfjc

/,„(*)

7«(z)-

e2

fix)

Vn(z)

CXP \— vni*)\dx

2 /« Pn(*)

Нт чп(г)-.

/

V(z)

(5.2.3)

f[V{z) 1

(п. в. Ри Р).

Предельная

функция

в

этом

равенстве,

очевидно,

является

Н-измеримой.

Введем обозначение

vn (*)

X n(z)

Поскольку

In [Хп{г)\п = п \ п Х п{г) = п

£

,

то

*0

п[Хх [ % 7 ц

л Iх « (* > -1 ь

Но Х п (г) -> 1 (п. в. Ри Р),

П

^к —Хо <2,

\Г\

1'иУ-

п \Х

(z) — 11 =

п - Г"

~ Vln ^

=

__ —

Vln[z)

1

*l J

1J

П

Vla(t)

-

и, как следует из леммы 3.5.4,

Пт т

*2

± ^ < z ,

v k>*=U(z)

п —ОО

*=1

(п. в. Ри Р ),

(J(z)

Ри Р)

причем

функция

(п. в.

конечна и

Н-измерима. В силу этого

Пт

Vn{z)

1

—

Хп(г) 1Х *^

2

-

ехР { g, ’

к [z!

V\n (г)

(п. в. Plt

Р), причем

(5.2.4)

предельная функция Н-измерима.

СО

Поскольку

ряд

2(Х* —Х0) сходится абсолютно,

а 0 < Х 0<

ft==i

< оо, то

произведение

также сходится и не равно нулю.

* = i

венством (5.2.1). Теорема доказана.

на

функцию f(x) и

Наложим дополнительные

ограничения

исследуем особенности

оптимальной

процедуры

обнаружения

при этих условиях.

Если

мери

Рг

и

Р

принадлежат

С л е д с т в и е 5.2.1.

Обозначим

через Е

множество точек х ^ - 0 ,

удовлетворяю­

щих

условию

f(x)

со. На основании леммы 3.72

f ( h х)

/

r u

1

Л

z £ H : -

1

= Р

f f ( x ) d x = 0,

f

Px)

t . e.

функция

(п. B.

конечна.

Аналогичным

f [ V ( z ) ]

множества значений г,

образсм доказывается,

что Р х— мера

при которых функция

P\

У (г)=0, также равна нулю. Это вместе

с (п.

в. Р\) конечностью функции

U(z)

обеспечивает (п. в. Pi)

лютно непрерывна относительно меры Р х.

Меры Р х и Р из

Р ^

существенно

отличаются от

гауссов­

ских. Действительно, пусть

найдется такой промежуток [а, Ь\

(О < а < Ь ) , что f ( x ) =

0

при х £ [ а ,

b]

и / (л:) ф 0

при х £

£ [а, Ь].

Повторяя

только что проделанные рассуждения,

убедимся,

что отношение

правдоподобия

A (z)

в этом случае

(п. в. Я,)

конечно,

если

и только если А0 = 1,

причем

в отли­

чие от гауссовских

мер

здесь возможен

как

случай

ортого­

нальности

®

X0j , так и промежуточный случай

сингулярности ( у < Х 0< 1 ,

1 </ . 0< | ] .

§ 5.3. Операторы А и А у 1,

А у 1

Принадлежность

мер

Я,

и Я к семейству

Р/-р0 обеспечи­

о < с, <

(Аи,

и)

С-, < оэ,

(Bit,

и)

тельно определенные самосопряженные операторы Л-1

н В ~ \

обратные операторам

А

и В

соответственно;

положительные

_i_

j_

операторы

Л2

,

В 2

и

обратные им положительно определен-

ные

самосопряженные

операторы

_ 1

В

_ 1

такие,

что

Л

2

2

_ 1 _ 1

Л 2 Л

2

=

Л-1, В

2 В

~— В ~ х\

пространства

Н А и / / в

со­

стоят

из одних

и тех же элементов.

I

Оператор В

2

является

изометрическим

отображением

пространства //

,

на

И

(§

2.5).

Он

расширяется до

изоме-

трического отображения В

_

\_

Н на И в

2

пространства

(§ 2.4).

i_

При

этом

оператор В 2

, обратный

оператору

5

2, является

изометрическим

отображением

пространства

Нв на

Н и сов-

i_

падает с расширением

по непрерывности оператора В 2 с мно­

жества элементов Н на все

Нв . Как и в §

4.3,

находим,

что

оператор

В ~ у расширяется

до

изометрического

отображения

Аз

пространства А/в_i

на

Нв. Очевидно, оператор В,

обрат­

ный оператору

В

,

будет

совпадать

с расширением

по не-

непрерывности

оператора

В

с Я

на

все

Н в .

Кроме того,

i_

_ 1

j_

В 2В 2 = В ,

В

2 В 1— В ~

.

Аналогичным

образом

опреде-

_ _ I _

J_

ляются

операторы

Л

,

Л ", Л ^

,

Л.

Они

устанавливают

изометрическое

соответствие между

пространствами

Н и H At

НА и Н ,

/ /

j

и НА,

НА и Н л_х.

Неравенства

\ \ A u-f =(\ A A Ч

Л2 и < М 1

Л 2 и

=

IIЛ || (Аи, « ) < ||Л ||С2||М||2в

1

1

1

ратора

А2

с Н на Н в и оно совпадает с А 2 . Справедливы п

равенства

J-

i

А ~ 1— А

_ i

1

А2А 2 = А ,

2 А 2.

Применив теорему

2.4.1,

найдем,

что

L

_1

_j_

_ 1

В 2А хВ 2w = B 2 А В 2w

для

любого

v £ H B. Отсюда

для любого

w £ H B

A lw — B ~ 1A w .

(5.3.1)

Поменяв

в

предыдущих рассуждениях

местами

операторы А

и В ,

определим

оператор 5, — аналог оператора

А,

и

найдем,

что

B xw — А~ lBw

для

любого

w £ H a . Поскольку пространства НА и Н в состоят

из одних

и тех же элементов,

из найденных выражений, вы­

текает,

что оператор АГ1, обратный оператору А,., существует,

причем

АГ1= 5 ,

= А -15 .

(5.3.2)

Равенство

(5.3.1)

показывает,

что

область

значений

оператора

А на Нв , т. е. пространство НА~\

принадлежит

области

определения

оператора

В ~1,

совпадающей

с про­

странством

Н

Таким

образом,

Обратное

включение

вытекает из равенства

(5.3.2)

Следовательно, про­

странства

//д -l

и Нв- 1 состоят из одних

и тех же элементов,

а операторы А-1

и

В ~ 1 (по

терминологии

С.

Г. Михлина)

оказываются полусходными. Для них операторы

± _i_L _ 1

_ 1 I

_ _L L

(5.3.3)

В 2 А

2 ,

А2 В 2 ,

В

2 А 2 , А

2 В 2

ограничены и существуют такие

постоянные с[ и

с'2, что

О < с'3<

INI2

1

<

с ; < СО.

(5.3.4)

— £ —

ный ограниченный оператор Aj-1, действующий

в простран­

стве // д-1 по

формуле

(АГ’и, v)B = {u, v)A.

(5.3.5)

Установим

соответствие между операторами

АГ1 и АГ1-

(«, ъ)А_х= {А~'и, Л-1т;)л = (лИ-Ч

=

=

А ~ \ ) в = { в ~ 1и, A ~ 1B B ~ 1v )b =

= (в~1и, ЛГ'Я-1^)

'

'В

для

любых и и v из Ma_ v а

следовательно, и из Н

у С дру­

гой

стороны,

, (гг, т»)л-1 = (и. ЛГМ в- i

для

любых и итг из WB- i.

Отсюда

л г^ я л г’я-1.

Поскольку

операторы Л^"1 и _д~* ограничены каждый в своем

ш

S p [ ^ 1- X 0/] =

2 (X * -X 0),

(5.3.6)

/1=1

СО

Sp [Л, — Хо/] =

2

(х* —хо)2.

(5.3.7)

л=1

Sp [ / - Х 0ЛГТ,= 2

-

'

(5-3.8)

s P [ / - х0л г Т =

2

( ^ г 1)2 •

(5.3.9)

Из принадлежности Р, и Р к семейству

Р ^;

вытекает

ядерность оператора Лх — Х0/, а

следовательно,

и абсолютная

(5.3.8) и сходимость рядов (5.3.7)

и (5.3.9). В частности, это

обеспечивает ядерность оператора

I — Х0ЛГ'-

§ 5.4.

Функция U(z)

Пусть

— система

собственных

элементов

опера­

тора В.

Эта система

образует ортонормированный

базис в Н

и все ее

элементы принадлежат R B. Фиксировав

п,

построим

оператор

проектирования Еп в подпространство,

натянутое на

элементы

да,, . . . , w n. Пусть, далее, 7 — какой-либо

сим­

метричный оператор

в Н,

определенный

на R B.

(стр. 423 [6]), из которого

с учетом равенств (5.4.1) следует,

что

[{BTEnz,

Enz ) \ - XP{(tz) =

И

со

~ J /(х ) dx j

{Еп TEnz, z)2 P (dzjx) =

0

H

if

. '2

f (BTEnz , EnzfB^ P ( d z ) =

2 Sp (EnBTEn)2-f

H

mr

(5.4.3)

,°2 + <

2Sp(EnBTEnEnBSEn) +

+ *%+ mx ( S p ^ S ^ J l S p ^ S ^ ) .

(5.4.4)

тельно меры Р квадрат.

Так как Bwh = Xh^h, то

1

Sp В Т — ^ (BTwk,

wk)

1

■ . ^ { B T B 'w b

B i w k}B_ It

k~\

A — 1

1

I

СО

Sp (ВТ)2

2 (BTBTwk, wk)

V

' BTBTB2wk,

,

k=\

A =

1

а поскольку

система элементов

B 2w

является

ортонор-

мированным

базисом

в

k —i

ВТ, рас-

И ,, ядерность оператора

СО

U-> (z) Р (dz) =

(О* +

ml) 2 Sp ^

)2 +

Н

А = 1

+ (« ’ + о

у ;

Ха ■- \

(5.4.5)

Ха

А = 1 \

/

Учитывая теперь формулы (5.3.8), (5.3.9) и унитарную

экви­

валентность

операторов

/ —

и

I — ^Лг"1,

вместо

(5.4.5}

получим равенство

j

U%(z) P{dz) =

(а2 +

ml) 2 Sp ( / — X ^ 1) +

н

+ (о2 +

/7&) [S p (/-X H ^ )]2.

(5.4.6),

7 З а к . 3S9

9?

рируемьш квадратом, равная тх ([/— >.0.4г l| z, z)B~ 1.

Таким

•образом,

U(z) — mx {[l — )0AT{]z, z)B-1 .

(5.4.7)

= тх (E„z, Enz)B__l — mx\0(Enz,

/:„с)д _ г

По этой причине можно также написать, что

U (z) = m,v (г, z )b _ , — отлХ0 (г,

г)д_ ,.

(5.4.8)

если Цл-И) при п-»-оо. Для

меры Р i рассуждения

несколько

усложняются.

существование интеграла

/ (z) для

Докажем прежде всего

02 + m2

S ~

-1

r

£

2

{(A A. Фл)д(А А A)b + 2

'}'i)|| A A,

ft = 1

i= l

'

(5.5.1)

ss

\ l l ( z ) P , ( d z ) =

O .

2

n

n

°2 + mA-

-------

{(а ф ;. ф;а саф;>ф;)* а 2( а ф ;. ф^ }

а а ,

ft=l

1=1

j/« (2 )/« ' И Я, (</*) =

3

2

"

п'

„2

Л,^ ]У ]{(А Ф й , Фа)в(АФ/-

Ф])д А 2(А Ф а. Ф/')*} Д*А.

-----------

А=1

1=1

из которых

находим

|

(/„ (z) — !n’ (2)12 Я, (<fe):

н

°2+ <

(АФ*. Фй)вДА

^^(Афл. Ф*)вА*

п

п

- *57

п

*=1

п '

ft=1■•

1=1■■

h=l

tS\

n r

ftr

\

+

2 2

2 (А А -

Ф,:)2В A A

•

(5-5.2)

Очевидно,

- X02

(Ай. <МвA A X02

(Aft. Фй)в A =

/I

л—1

n1

ft-1

— —X02 A A X02

A*= —X0(^2 — A X0(^2— Л )= 0.

ft= l

ft= l

поэтому

с

учетом

экстремальных

свойств

собственных

чисел

ха— хо опёратора

j4t — Х0/

П

2 (АФ*. Ф*)в А — 2 (АФ*. Фй)я А*

fc-1

fc=i

/г

п'

2

(Mi —V ]

Фа. Ф*)д А — 2

(1А - V

] Ф*. А)в А

<

ft=i

п

(5.5.3)

А 2^i,, 2 IА

А !•

л=1

7*

99