книги из ГПНТБ / Казьмин, В. М. Вероятностный метод анализа контактного взаимодействия забойных крепей с боковыми породами

четном пролете 0,5 м. В данном примере значению I экв = 0,5 м с о -

ответствует значение Р =0,56, Это значит, что в 56% случаев контак­ тирования верхняка с кровлей эквивалентный пролет не будет превы­ шать принятой величины расчетного пролета 0,5 м, и, следовательно, 56 верхняков из 100 при номинальном сопротивлении гидроопоры не бу­ дут подвергаться опасности остаточной деформации.

Для одностоечной части перекрытия механизированной крепи "Дон­ басс" расчетный пролет равен 1,2 м. Перпендикуляр, восстановленный от оси абсцисс из точки со значением 1,2, не пересекает полученную кривую. Это значит, что перекрытие при номинальном сопротивлении гид­ роопоры не может быть деформировано при любом варианте контакти­ рования с кровлей.

Если, например, будет установлена целесообразность снижения зна­ чения вероятности безотказной работы перекрытия в пределах упругих деформаций до 0,95, то при помощи построенного графика легко найти величину необходимого расчетного пролета -1,0 м; в этом случае необходимый расчетный момент сопротивления получится уменьшенным и вес перекрытия соответственно снизится.

Методика определения оптимальной вероятности работы поддерживаю­ щих конструкций в пределах упругих деформаций и установления соответ­ ствующих ей схем для расчета верхняков и перекрытий на прочность излагается в разделе 4.

Методика определения вероятностной характеристики режима работы

для каждого из вариантов контактирования определяются величина дейст­ вующего на перекрытие максимального изгибающего момента М^ и воз­

никающая в месте действия этого момента величина крутящего момента М ; затем определяется .величина приведенного момента М (см.

подробней в разделе 4 ), определяется частость появления каждой из определенных величин М и строится график искомой характеристики.

Методика получения аналогичной характеристики для оснований сек­ ций механизированной крепи в случае пренебрежения влиянием нахо­ дящегося между неровностями почвы штыба на распределение опорных реакций под основанием не отличается от изложенной. Учи­ тывать же наличие штыба под основанием автором предложено путем построения эквивалентных расчетных схем для всех возможных вари­ антов контактирования, приведенных к контактированию опорной кон­ струкции со сплошным упругим основанием. Поскольку распределение опорных реакций под конструкцией, лежащей на сплошном упругом основании, зависит главным образом от отношения жесткости кон­ струкции EJ к модулю деформации контактирующих пород EQ, при соблю­

дении этого условия в пределах каждого из рассматриваемых участков основания схемам, изображенным на рис. 2.7,а, будут соответствовать

40

Р и с. 2.7. Основные и эквивалентные схемы взаимодействия осно­ вания механизированной крепи с почвой

схемы, изображенные на рис. 2.7,6. Задача сводится, таким образом, к применению известного метода расчета реакции сплошного упругого основания под балкой переменного сечения [ 7 ], а затем к изложен­ ному выше приему оценки напряженного состояния конструкции и по­ строению вероятностной характеристики режима работы основания ме­ ханизированной крепи. При расчетах следует обращать внимание на появление.обратносимметричных (варианты: контактирования 1-4 и 3-6 на рис. 2.7) и симметричных схем (варианты контактирования 2-5, 1-6 и 3 -4) и учитывать это в целях сокращения и упрощения вычислений..

2. 2. Применепне формул

Стремление избежать проведения изложенных выше рассуждений (особенно после того, как физический смысл вероятностных характе­ ристик и методика их получения стали ясны), сократить вычислитель-

41

ную работу, применить аппарат математического анализа, а также уточнить эти характеристики, отказавшись от разбиения конструкций на условные участки, стимулировало вывод формул, которые меняно было бы использовать для вычисления данных, необходимых для полу­ чения вероятностных характеристик.

Вначале формулы дл.° вычисления среднего сопротивления на кон­

шлхся на рассматриваемый участок по ширине поддерживаемого прост­ ранства, были записаны на основании анализа результатов вычислений,

ср

42

•Равенства останутся справедливыми, если их переписать следующим )бразом:

для левой части

43

такт с кровлей одноименные участки левой части перекрытия, выража­ ется суммой, число членов которой равно числу участков правой части перекрытия ( т Пр)« деленной на число участков правой части; •

6) среднее сопротивление крепи, приходящееся на вступившие в ко такт с кровлей одноименные участки правой части перекрытия, выража­ ется суммой, число членов которой равно числу участков левой части перекрытия ( ш ), деленной на число участков левой части;

в) каждое слагаемое такой суммы является дробью с двучленом

вчислителе и трехчленом в знаменателе, где первый член числи­

теля численно равен порядковому номеру слагаемого, второй член равен постоянному числу 0,5;, первый член знаменателя численно ра­ вен номеру условного участка перекрытия (при принятом на рис. 2.4 порядке нумерации участков), второй член - порядковому номеру сла­ гаемого, а третий член знаменателя равен постоянному числу 1.

Это дало основание записать формулы для определения среднего сопротивления крепи (средней нагрузки на контакт, расположенный в пределах рассматриваемого участка) в виде частичной суммы ряда для всех целых положительных п':

для участков левой части

лы для определения доли сопротивления всего лавокомплекта секций ' крепи, приходящейся на рассматриваемый участок:

44

кая задача (перекрытие считалось балочным) и была использована пер­ вая вероятностная модель, предусматривающая контактирование перекры­ тия в двух точках при равновероятности появления всех возможных ва­ риантов.

Начало координат было расположено в точке приложения равнодей­ ствующей (рис. 2.8,а), текущая координата точки, расположенной на левой части перекрытия, была обозначена через Xj, текущая коорди­ ната точки, расположенной На правой части перекрытия, - через ^ >а

координаты концов балки - через а и . b (при а < 0, Ь > 0).

45

Р и с . 2.8. К выводу формулы для расчета среднего сопротивления крепи в произвольной точке балочного перекрытия

Тогда согласно условиям (2.5) и (2.6)

(2.15)

(2.16)

Так как усилия Qx (Ox-j) в точках Xj (х ) являются функциями слу­

чайной величины Xj CXj ) ,равномерно распределенной в интервале (0 ,Ь )-

(0,а ), то среднее значение сопротивления крепи в этих точках (мате­ матическое ожидание) определилось следующим образом:

График, построенный на основании вычисленных по этим формулам результатов, изображен на рис. 2.8,6, где нанесены также значения Q ср , полученные при помощи приема перебора вариантов контактиро-

46

вания при разделении перекрытия на участки (см . графу 4 табл. 2 .2 ); из сопоставления явствует, что различие полученных двумя способами

. При выводе этой формулы две-точки контактирования А; и А2 были

зафиксированы и меняла положение только третья точка А^; усред­

нение было произведено сначала по переменным х^у3 , а затем по х2у2>

Однако получение формул (2.17) и (2.18) вовсе не означает, что удалось избавиться от разделения перекрытий на участки. Эти фор­ мулы дают неполное решение поставленной задачи, т.е. позволяют отве­ тить только на первый из перечисленных выше вопросов, а именно оп­ ределить среднее сопротивление перекрытия в точке контактирования, но не долю сопротивления лавокомплекта секций крепи в точке. Полное решение задачи, определяемое соотношением (2 .7), для точки невоз­

интервала, причем если мы не хотим исказить распределение иско­ мой величины по ширине поддерживаемого пространства, то обязаны выполнить вычисления для интервалов одинаковой длины, т.е. вернуть­ ся к тем же самым участкам, называя их интервалами.

Автором с использованием (2.17) и (2.18) получены формулы для определения доли сопротивления крепи в любом интервале.

Согласно (2 .7 ), искомая величина для интервала aj—а- (см. рис.

2,8) будет равна произведению среднего значения функции (2.17) в этом

интервале, которое определяется как

и ^зроятности появления контакта в этом интервале, которую можно

47

определить как

ai - aj

Однако если непосредственно выполнить интегрирование и начать производить вычисления по полученным формулам, то придется встре­ титься с логарифмами отрицательных чисел (так как отрицательные координаты точек левой части перекрытия войдут под знаки логарифмов), в результате чего нельзя будет получить численные значения искомых величин, поскольку отрицательные числа, как известно, логарифмов не имеют. Поэтому, чтобы решить задачу, будем считать направление оси абсцисс положительным по обе стороны от точки 0 (см . рис. 2.8,а) при­ ложения равнодействующей. Заметим, что к такому приему мы уже при­ бегали (см . обозначение участков на рис. 2.4) и получали имеющее физический смысл решение задачи как при помощи перебора вариантов контактирования, так и при выводе и применении формул (2 .11)-(2 .14). Поскольку формулы для левой и правой частей перекрытия выводятся

48

Ь;

из которых после интегрирования и некоторых преобразований получим

Иногда целесообразно произвести укрупненную Оценку, определив долю сопротивления крепи, приходящуюся на всю левую или на всю правую часть перекрытия. Для этого выведены следующие формулы:

для левой части перекрытия

Результаты, полученные по формулам (2.30) и (2.31), также чис­ ленно равны среднему сопротивлению крепи на контактах, располо­ женных соответственно в пределах левой и правой частей перекрытия, поскольку вероятность контактирования каждой из этих частей равна единице.

Воспользуемся теперь формулой (2.28) для определения доли со­ противления крепи на том же участке 4 левой части перекрытия (см.

896 4